基于雙樹(shù)復(fù)小波與非線性時(shí)間序列的降噪方法

第一作者胥永剛男，博士，副教授，1975年生

郵箱:xyg@bjut.edu.cn

基于雙樹(shù)復(fù)小波與非線性時(shí)間序列的降噪方法

胥永剛，趙國(guó)亮，馬朝永，張建宇

(北京工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院先進(jìn)制造技術(shù)北京市重點(diǎn)試驗(yàn)室，北京100124)

摘要：針對(duì)雙樹(shù)復(fù)小波變換傳統(tǒng)軟閾值降噪方法對(duì)實(shí)、虛部樹(shù)系數(shù)分別進(jìn)行閾值處理時(shí)提取的強(qiáng)背景噪聲下軸承故障特征信號(hào)效果不理想，且實(shí)、虛部分離的閾值處理方法會(huì)引起局部相位失真問(wèn)題，利用故障信號(hào)小波變換系數(shù)具有周期性與雙樹(shù)復(fù)小波系數(shù)模震蕩小等特點(diǎn)，提出雙樹(shù)復(fù)小波變換與非線性時(shí)間序列方法相結(jié)合的強(qiáng)背景噪聲下軸承故障特征提取方法。對(duì)故障信號(hào)進(jìn)行雙樹(shù)復(fù)小波變換，獲得各層小波系數(shù)并求模，選擇系數(shù)模周期性較強(qiáng)層系數(shù)進(jìn)行非線性時(shí)間序列處理，增強(qiáng)系數(shù)中周期性成分，抑制隨機(jī)噪聲；對(duì)增強(qiáng)后系數(shù)進(jìn)行軟閾值處理消除直流成分對(duì)提取結(jié)果的影響；將處理后系數(shù)還原為復(fù)數(shù)形式進(jìn)行雙樹(shù)復(fù)小波重構(gòu)，可成功提取弱故障特征信號(hào)。仿真、試驗(yàn)信號(hào)處理結(jié)果表明，該方法能有效提取強(qiáng)背景噪聲下的故障特征信號(hào)。

關(guān)鍵詞：雙樹(shù)復(fù)小波變換；非線性時(shí)間序列；軟閾值；降噪

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(51375020)；北京市優(yōu)秀人才培養(yǎng)資助計(jì)劃(2011D005015000006)；北京市教委科研計(jì)劃項(xiàng)目(KM201310005013)；北京市屬高等學(xué)校青年拔尖人才培育計(jì)劃；北京工業(yè)大學(xué)基礎(chǔ)研究基金

收稿日期：2014-04-01修改稿收到日期：2014-07-16

中圖分類(lèi)號(hào):TH133.3；TH165文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

New denoising method based on dual-tree complex wavelet transform and nonlinear time series

XUYong-gang,ZHAOGuo-liang,MAChao-yong,ZHANGJian-yu(Key Laboratory of Advanced Manufacturing Technology, Beijing University of Technology, Beijing 100124, China)

Abstract:A new denoising method based on dual-tree complex wavelet transform and nonlinear time series was proposed, considering the weakness, such as the phase distortion, of the wavelet soft-threshold denoising method, in which the real and image parts of the coefficient are processed individually. The new method process the magnitude of the complex coefficients instead, taking into account the fact that the magnitude does not oscillate in positive and negative directions which is more suitable for threshold denoising and the fact that the coefficients of the fault signal are always periodic. The nonlinear time series method can be used to strengthen the periodicity of the coefficients caused by the fault signal and to restrain the noise meanwhile. In the method proposed, the fault signal was decomposed by dual-tree complex wavelet transform to obtain the coefficients of different layers, the nonlinear time series method was used to strengthen the periodicity of the coefficient, and then the soft-threshold denoising was carried out to remove the DC component. Finally, the fault characteristic signal was obtained by coefficient reconstruction. The simulation and experimental results show the effectiveness of the method, and a new efficient denoising method was provided.

Key words:dual-tree complex wavelet transform (DT-CWT); nonlinear time series; soft threshold; denoising

滾動(dòng)軸承作為旋轉(zhuǎn)機(jī)械的關(guān)鍵組成部分最易發(fā)生故障。據(jù)統(tǒng)計(jì)，旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障的30%均由軸承故障引起。滾動(dòng)軸承故障振動(dòng)信號(hào)常表現(xiàn)出非線性非平穩(wěn)特性，且現(xiàn)場(chǎng)存在強(qiáng)噪聲干擾，較難提取滾動(dòng)軸承故障特征[1]。 因此，研究強(qiáng)背景噪聲下滾動(dòng)軸承故障特征信號(hào)的提取方法具有重要意義。

傳統(tǒng)離散小波變換(DWT)對(duì)非線性非平穩(wěn)信號(hào)的處理效果良好?；谛〔ㄗ儞Q的降噪方法研究主要集中于小波系數(shù)閾值的選取，且較成熟；但由于DWT小波系數(shù)震蕩劇烈，采用閾值降噪會(huì)丟失部分細(xì)節(jié)信息。雙樹(shù)復(fù)小波變換[2]作為傳統(tǒng)離散小波變換的改進(jìn)方法，采用兩樹(shù)濾波器組完成小波分解與重構(gòu)，較傳統(tǒng)方法具有良好的抗頻率混疊特性、近似平移不變性與完全重構(gòu)特性。已成功用于圖像處理[3]、語(yǔ)音識(shí)別[4]、電力系統(tǒng)[5]及故障診斷[6-8]等。邱愛(ài)中[9]通過(guò)研究軟閾值降噪方法，提出閾值降噪并用于水輪機(jī)軸承故障診斷。陳志新[10]對(duì)雙樹(shù)復(fù)小波的NeighBlock降噪方法進(jìn)行研究；但均忽略故障特征信號(hào)周期性造成小波系數(shù)周期性對(duì)降噪的重要性。

本文提出基于雙樹(shù)復(fù)小波與非線性時(shí)間序列的降噪方法，充分利用小波系數(shù)的周期性進(jìn)行強(qiáng)背景噪聲信號(hào)故障特征提取。仿真、試驗(yàn)信號(hào)處理結(jié)果證明該方法的可行性、有效性。

1雙樹(shù)復(fù)小波變換

雙樹(shù)復(fù)小波變換(Dual-tree Complex Wavelet Transform, DT-CWT)采用兩樹(shù)平行近似互為希爾伯特變換對(duì)的濾波器進(jìn)行信號(hào)分解與重構(gòu)，分別稱(chēng)為實(shí)部樹(shù)、虛部樹(shù)。分解、重構(gòu)過(guò)程中兩樹(shù)濾波器采樣頻率相同，但要求虛部樹(shù)采樣位置落后實(shí)部樹(shù)采樣間隔1/2。半個(gè)采樣間隔延遲與互為希爾伯特變換對(duì)的濾波器性質(zhì)使實(shí)、虛部樹(shù)聯(lián)合能更充分利用采樣前小波變換系數(shù)信息，亦能克服傳統(tǒng)離散小波變換的平移不變性差與頻率混疊等缺陷，且具有良好的方向選擇性、完全重構(gòu)性及較高計(jì)算效率。雙樹(shù)復(fù)小波小波函數(shù)可表示為

ψ(t)=ψh(t)+iψg(t)

(1)

式中：ψh(t)，ψg(t)為兩實(shí)小波；i為復(fù)數(shù)單位。

雙樹(shù)復(fù)小波變換由兩個(gè)并行的實(shí)小波變換組成，分解、重構(gòu)過(guò)程見(jiàn)圖1。其中h0，h1分別為實(shí)部樹(shù)對(duì)應(yīng)的低、高通濾波器；g0，g1分別為虛部樹(shù)對(duì)應(yīng)的低、高通濾波器；h0′，h1′為重構(gòu)時(shí)實(shí)部樹(shù)濾波器組；g0′，g1′為重構(gòu)時(shí)虛部樹(shù)濾波器組。

2非線性時(shí)間序列局部投影算法原理

2.1基本原理

非線性時(shí)間序列分析方法已成功用于醫(yī)療[11]及故障診斷[12-13]等。該方法基本思想為將非線性時(shí)間序列進(jìn)行相空間重構(gòu)，通過(guò)局部投影方法將背景信號(hào)、特征信號(hào)及噪聲投影到不同子空間，抑制時(shí)間序列中隨機(jī)噪聲成分，達(dá)到分離效果。

設(shè)動(dòng)力系統(tǒng)非線性狀態(tài)方程為

xk+1=F(xk)

(2)

當(dāng)F未知時(shí)，xk+1可近似為狀態(tài)xk在{xk},k=1,…,N中u(n)鄰域內(nèi)的線性化估計(jì)，即

(3)

不存在噪聲時(shí)Anxn+bn-xn+1=0，系統(tǒng)處于超平面內(nèi)；受噪聲干擾時(shí)yn=xn+ηn，對(duì)信號(hào)進(jìn)行相空間重構(gòu)，噪聲處于超平面外的相空間中?？蓪n投影到該超平面進(jìn)行信號(hào)消噪。

對(duì)任意時(shí)間序列sn，可重構(gòu)m維相空間為

sn={sn(m1)τ,sn(m2)τ,…,snτ,sn}

(4)

式中：τ為延時(shí)時(shí)間；m為嵌入維數(shù)。

該相空間與原系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性相同，與原系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為微分同胚。通過(guò)sn最小化解對(duì)其修正。該投影降噪法稱(chēng)為非線性空間局部投影算法。具體步驟如下：

(1)對(duì)時(shí)間序列S=s1,s2,…,sn，確定延時(shí)時(shí)間τ及嵌入維數(shù)m，進(jìn)行m維相空間重構(gòu)，即

sn={sn-(m-1)τ,sn-(m-2)τ,…,sn}

(5)

(2)確定鄰域半徑ε，尋找滿(mǎn)足‖sk-sn‖∞<ε的向量及個(gè)數(shù)N。

(3)計(jì)算滿(mǎn)足條件的N個(gè)向量質(zhì)心，即

(6)

(4)計(jì)算協(xié)方差矩陣，即

(7)

式中：R為對(duì)角權(quán)重矩陣，可抑制相點(diǎn)首尾元素產(chǎn)生的畸變。R11，Rmm取較大值，其它Rii=1。

(8)

(6)返回步驟(2)，直到所有相點(diǎn)處理完畢。

修正完畢后將sn中標(biāo)量信號(hào)取平均值即可重構(gòu)獲得降噪后信號(hào)，投影多次效果更佳。

2.2參數(shù)確定方法

參數(shù)選擇直接影響算法的降噪效果。延遲時(shí)間τ的確定方法有自相關(guān)函數(shù)法、平均位移法、復(fù)自相關(guān)法及平均互信息法等。其中自相關(guān)函數(shù)法與復(fù)自相關(guān)法較常用。嵌入維數(shù)m的確定方法有幾何不變量法、虛假鄰點(diǎn)法及改進(jìn)虛假鄰點(diǎn)法等。文獻(xiàn)[14]對(duì)非線性時(shí)間序列局部投影算法參數(shù)確定的幾種常用方法進(jìn)行總結(jié)，并討論各自計(jì)算復(fù)雜性與使用便捷性。

本文利用局部投影算法對(duì)周期性較明顯的小波分解系數(shù)進(jìn)行隨機(jī)噪聲抑制與周期性特征增強(qiáng)。由于處理數(shù)據(jù)周期性特征較明顯，故在確定延遲時(shí)間τ時(shí)采用自相關(guān)函數(shù)法。對(duì)嵌入維數(shù)m，采用效果更好的改進(jìn)虛假鄰點(diǎn)法進(jìn)行確定，Q一般為3～5。

3DT-CWT與非線性時(shí)間序列局部投影算法相結(jié)合的降噪方法

通常小波變換系數(shù)在信號(hào)沖擊特征明顯處幅值較大，且實(shí)小波變換系數(shù)在特征明顯處出現(xiàn)正負(fù)值劇烈交替震蕩，給局部投影算法對(duì)周期性特征提取造成較大影響，如對(duì)延遲時(shí)間十分敏感等。信號(hào)經(jīng)雙樹(shù)復(fù)小波變換所得小波系數(shù)可表示為復(fù)數(shù)形式，其模在信號(hào)沖擊特征明顯處具有幅值較大特點(diǎn)，且變化較平穩(wěn)(無(wú)劇烈正負(fù)值交替震蕩)，周期性更明顯，使其對(duì)延遲時(shí)間與嵌入維數(shù)的敏感性降低從而更適合非線性時(shí)間序列局部投影算法的處理要求。

對(duì)系數(shù)模進(jìn)行降噪，利用保留的相位信息可將降噪后的模還原為復(fù)數(shù)形式，避免對(duì)實(shí)虛部分別進(jìn)行閾值降噪再還原為復(fù)數(shù)所致相位失真現(xiàn)象(在實(shí)部樹(shù)系數(shù)較大被保留、虛部樹(shù)較小歸零下出現(xiàn))。具體實(shí)施步驟為：①對(duì)信號(hào)進(jìn)行雙樹(shù)復(fù)小波變換，獲得不同層系數(shù)矩陣，計(jì)算其模保留相位信息。②選模周期性較明顯的層系數(shù)及合適的τ，m及Q值進(jìn)行單次或多次非線性局部投影算法處理。當(dāng)系數(shù)模的周期性不十分明顯時(shí)，可借助系數(shù)譜選擇；當(dāng)系數(shù)模存在周期性時(shí)其系數(shù)譜必定會(huì)出現(xiàn)倍頻現(xiàn)象。③選取合適閾值對(duì)周期增強(qiáng)后的小波系數(shù)模進(jìn)行軟閾值處理以消除直流成分對(duì)重構(gòu)信號(hào)影響，再利用保留的相位信息還原為復(fù)數(shù)形式的小波系數(shù)。④將處理后的小波系數(shù)進(jìn)行單支重構(gòu)，即可獲得降噪后信號(hào)。

4仿真與試驗(yàn)

4.1仿真信號(hào)處理效果

單邊沖擊序列x(t)由10段衰減正弦信號(hào)組成，x(t)定義為

(9)

式中：fn=2 000；ζ=0.1。

采樣頻率10 kHz，每段100點(diǎn)，總點(diǎn)數(shù)N=1 000。通過(guò)向x(t)添加信噪比為-5 dB高斯白噪聲獲得噪聲污染信號(hào)y(t)。x(t)與y(t)的時(shí)域波形見(jiàn)圖2。由圖2可見(jiàn)，y(t)中未發(fā)現(xiàn)明顯的周期性沖擊成分。

將y(t)進(jìn)行3層雙樹(shù)復(fù)小波分解，繪制各層系數(shù)模波形，見(jiàn)圖3。圖中d1～d3為1～3層小波系數(shù)模，c3為第3層尺度系數(shù)模，由圖3看出，d2的周期性較明顯，故選擇對(duì)d2進(jìn)行降噪。

圖2　x(t)與y(t)時(shí)域波形 Fig.2 Waveform of x(t) and y(t)

圖3　雙樹(shù)復(fù)小波分解各層系數(shù)模 Fig.3 The magnitude of the DT-CWT coefficients

采用自相關(guān)函數(shù)法獲得延遲時(shí)間間隔見(jiàn)圖4。圖中虛線為門(mén)限值1-1/e位置，十字線表示自相關(guān)函數(shù)隨時(shí)延τ的變化趨勢(shì)，相關(guān)值下降接近該門(mén)限值時(shí)即為合適的時(shí)延時(shí)間，本文選τ=6。據(jù)改進(jìn)虛假臨近點(diǎn)法(Cao方法)指標(biāo)E1，E2隨嵌入維數(shù)變化曲線見(jiàn)圖5。由圖5看出，選兩條線變化平穩(wěn)、值較接近的點(diǎn)作為嵌入維數(shù)即可，故本文選m=13。鄰域半徑選擇方法較簡(jiǎn)單，只需略大于噪聲的平均幅值水平即可，本文選鄰域半徑ε=0.5。R11，Rmm一般為103，Q=3。

圖4　自相關(guān)函數(shù)法選取延遲時(shí)間間隔 Fig.4 Choose the time delay using autocorrelation function

圖5　改進(jìn)虛假鄰點(diǎn)法選取嵌入維數(shù) Fig.5 Choose the embedding dimension using Cao method

圖6　d 2非線性時(shí)間序列降噪結(jié)果 Fig.6 Denoising result by nonlinear time series

圖6為對(duì)d2進(jìn)行兩次非線性時(shí)間序列局部投影算法降噪結(jié)果(參數(shù)相同)。由圖6發(fā)現(xiàn)，d2經(jīng)投影算法處理后波形中隨機(jī)沖擊成分已明顯減少，只保留周期性成分及直流成分(直流分量約0.3)。

為去除直流成分降低其對(duì)重構(gòu)波形干擾，對(duì)降噪后的結(jié)果進(jìn)行簡(jiǎn)單的閾值為0.3的軟閾值處理，結(jié)果見(jiàn)圖7。

圖7　d 2最終降噪效果 Fig.7 The final magnitude of the second layer complex coefficient after denoising

對(duì)d2進(jìn)行單獨(dú)軟閾值處理，結(jié)果見(jiàn)圖8。其中閾值用Donoho方法[15]計(jì)算，即

(10)

圖8　Donoho軟閾值降噪 Fig.8 Denoising using Donoho soft-threshold

分別將處理后系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)，獲得降噪信號(hào)，結(jié)果見(jiàn)圖9。由圖9看出，時(shí)域波形方面，d2直接重構(gòu)信號(hào)雖出現(xiàn)周期性沖擊特征，但仍含較強(qiáng)噪聲；軟閾值降噪結(jié)果雖保留部分沖擊特征，但大部分沖擊特征與背景噪聲被一并去除，不能達(dá)到良好的降噪效果；基于非線性時(shí)間序列的降噪方法在去除強(qiáng)背景噪聲的同時(shí)更完整保留故障特征信號(hào)，較傳統(tǒng)軟閾值降噪方法降噪效果更好。該效果可用信噪比定量評(píng)價(jià)，即

(11)

圖9　非線性時(shí)間序列與軟閾值降噪效果對(duì)比 Fig.9 Comparison of the noise reduction effect based on nonlinear time series and soft-threshold

圖9中3種信號(hào)相對(duì)x(t)信噪比見(jiàn)表1，對(duì)比發(fā)現(xiàn)，本文方法所得信號(hào)信噪比更高，降噪效果更好。

表1　降噪效果對(duì)比

4.2試驗(yàn)信號(hào)處理效果

試驗(yàn)系統(tǒng)包括軸承試驗(yàn)臺(tái)、壓電式加速度傳感器及數(shù)據(jù)采集儀。滾動(dòng)軸承故障模擬試驗(yàn)臺(tái)結(jié)構(gòu)見(jiàn)圖10。試驗(yàn)臺(tái)滾動(dòng)軸承型號(hào)為6307，傳感器垂直安裝于末端軸承座。通過(guò)末端軸承座內(nèi)分別安裝正常軸承及模擬故障軸承獲取試驗(yàn)臺(tái)正常及軸承模擬故障下振動(dòng)信號(hào)。

圖10　軸承試驗(yàn)臺(tái) Fig.10 Rolling bearing test rig

為模擬軸承外圈裂紋故障，利用線切割技術(shù)在正常軸承外圈滾道加工寬約0.5 mm，深0.5 mm凹槽。試驗(yàn)時(shí)，電機(jī)轉(zhuǎn)速為1 496 r/min，采樣頻率設(shè)為15 360 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)2 048。所得外圈裂紋模擬故障振動(dòng)信號(hào)見(jiàn)圖11，可見(jiàn)無(wú)明顯周期性沖擊。

圖11　外圈故障模擬信號(hào) Fig.11 Outer ring fault simulation signal

利用DT-CWT對(duì)試驗(yàn)信號(hào)進(jìn)行3層分解，獲得3層小波系數(shù)及第3層尺度系數(shù)，見(jiàn)圖12。其中，d1～d3分別為第1～3層小波系數(shù)模，c3為第3層尺度系數(shù)模。由圖12看出，各層小波系數(shù)與尺度系數(shù)模無(wú)明顯的周期性。

圖12　小波系數(shù)與尺度系數(shù)模 Fig.12 The magnitude of the detail coefficients and approximation coefficients computed using DT-CWT

求得各層系數(shù)模的系數(shù)譜見(jiàn)圖13。由圖13看出，d1的系數(shù)譜呈現(xiàn)倍頻特征，預(yù)示其存在周期性特征，故選d1分別進(jìn)行非線性時(shí)間序列局部投影算法及單獨(dú)軟閾值處理。

圖13　小波系數(shù)與尺度系數(shù)系數(shù)譜 Fig.13 Spectrum of the detail coefficients and approximation coefficients

分別利用自相關(guān)函數(shù)法與改進(jìn)虛假臨近點(diǎn)法確定延遲時(shí)間及嵌入維數(shù)，即τ=100，m=10。鄰域半徑ε=5，Q=3。通過(guò)分析處理結(jié)果可確定軟閾值處理過(guò)程閾值為3。經(jīng)計(jì)算單獨(dú)Donoho軟閾值處理的閾值為3。處理結(jié)果見(jiàn)圖14。

圖14 　d 1非線性局部投影算法與單獨(dú)軟閾值降噪效果 Fig.14 Comparison of the coefficients noise reduction effect based on nonlinear time series and soft-threshold

圖15　降噪效果對(duì)比 Fig.15 Comparison of the noise reduction effect based on nonlinear time series and soft-threshold

將處理的系數(shù)模還原為小波系數(shù)，進(jìn)行雙樹(shù)復(fù)小波重構(gòu)，獲得降噪后信號(hào)見(jiàn)圖15。由圖15看出，直接重構(gòu)信號(hào)仍存在較強(qiáng)的背景噪聲，由于故障頻帶內(nèi)含較強(qiáng)烈背景噪聲，單獨(dú)雙樹(shù)復(fù)小波單支重構(gòu)降噪方法并不能成功提取強(qiáng)背景噪聲下的故障特征信號(hào)；軟閾值降噪方法降噪效果同樣不理想，難以分辨是否存在周期性沖擊；本文的基于雙樹(shù)復(fù)小波與非線性時(shí)間序列降噪方法能在去除強(qiáng)背景噪聲同時(shí)較完整保留弱沖擊故障特征，成功提取到強(qiáng)背景噪聲下故障特征信息，降噪效果明顯優(yōu)于傳統(tǒng)軟閾值降噪方法。

5結(jié)論

通過(guò)研究雙樹(shù)復(fù)小波變換與非線性時(shí)間序列局部投影方法相結(jié)合的軸承故障特征信號(hào)提取，利用故障特征信號(hào)引起的小波系數(shù)周期性實(shí)現(xiàn)強(qiáng)背景噪聲下故障特征提取，結(jié)論如下：

(1)雙樹(shù)復(fù)小波變換的小波系數(shù)模能更準(zhǔn)確反映信號(hào)中周期性沖擊成分；可利用故障頻帶所處層小波系數(shù)的周期性進(jìn)行故障特征信號(hào)提取。

(2)非線性時(shí)間序列局部投影算法能提取小波系數(shù)的周期性成分，有效降低系數(shù)中隨機(jī)噪聲，進(jìn)而從小波系數(shù)層面進(jìn)行降噪。

(3)將雙樹(shù)復(fù)小波變換與非線性時(shí)間序列局部投影方法相結(jié)合能有效提取強(qiáng)背景噪聲中軸承故障特征信號(hào)，較傳統(tǒng)軟閾值降噪方法降噪效果更好，同時(shí)亦為小波系數(shù)降噪提供了新方法。

參考文獻(xiàn)

[1]楊國(guó)安. 滾動(dòng)軸承故障診斷實(shí)用技術(shù)[M]. 北京：中國(guó)石化出版社，2012：13-17.

[2]Selesnick I W, Baraniuk R G, Kingsbury N G. The dual-tree complex wavelet transform[J]. IEEE Digital Signal Processing Magazine, 2005, 22(6): 123-151.

[3]Snekhalatha U, Anburajan M. Dual tree wavelet transform based watershed algorithm for image segmentation in hand radiographs of arthritis patients and classification using BPN neural network[C]. Information and Communication Technologies(WICT),World Congress on, IEEE, 2012: 448-452.

[4]王娜,鄭德忠,劉永紅. 雙樹(shù)復(fù)小波包變換語(yǔ)音增強(qiáng)新算法[J]. 傳感技術(shù)學(xué)報(bào),2009,22(7):983-987.

WANG Na, ZHENG De-zhong, LIU Yong-hong. New method for speech enhancement based on dual tree complex wavelet packet transform[J]. Journal of Sensors and Actuators, 2009, 22(7): 983-987.

[5]季晨宇,袁振海. 基于雙樹(shù)復(fù)小波的行波選線選相法[J].電力系統(tǒng)保護(hù)與控制,2011,39(12)：48-54.

JI Chen-yu, YUAN Zhen-hai. Fault line and phase selection based on traceling wave and dual-tree complex wavelet[J]. Power System Protection and Control, 2011, 39(12): 48-54.

[6]蘇文勝,王奉濤,朱泓，等. 雙樹(shù)復(fù)小波域隱Markov樹(shù)模型降噪及在故障診斷中的應(yīng)用[J]. 振動(dòng)與沖擊,2011,30(6)：47-52.

SU Wen-sheng, WANG Feng-tao, ZHU Hong, et al. Denoising method based on hidden Markov tree model in dual tree complex wavelet domain and its application in mechanical fault diagnosis[J]. Journal of Vibration and Shock, 2011,30(6): 47-52.

[7]胥永剛,孟志鵬,陸明,等. 基于雙樹(shù)復(fù)小波和奇異差分譜的齒輪故障診斷研究[J]. 振動(dòng)與沖擊,2014,33(1)：11-16.

XU Yong-gang, MENG Zhi-peng, LU Ming, et al. Gear fault diagnosis based on dual-tree complex wavelet transform and singular value difference spectrum[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(1): 11-16.

[8]陳彬強(qiáng),張周鎖,何正嘉. 雙密度雙樹(shù)復(fù)小波變換及其在機(jī)械故障微弱特征提取中的應(yīng)用[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào),2012, 48(9): 56-63.

CHEN Bin-qiang, ZHANG Zhou-suo, HE Zheng-jia. Enhancement of weak feature feature extraction in machinery fault diagnosis by using double density dual tree complex wavelet transform[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2012, 48(9): 56-63.

[9]邱愛(ài)中. 對(duì)偶樹(shù)復(fù)小波閾值降噪法及在機(jī)械故障診斷中的應(yīng)用[J]. 機(jī)械傳動(dòng)，2011，35(9)：58-61.

QIU Ai-zhong. A new denoising method of DT-CWT and its application in mechanical fault diagnosis[J]. Journal of Mechanical Transmission, 2011, 35(9): 58-61.

[10]陳志新. 對(duì)偶樹(shù)復(fù)小波分析及其在故障診斷中的應(yīng)用[D]. 北京：北京科技大學(xué)，2007.

[11]任明榮,王晨,方濱,等. 基于非線性時(shí)間序列的胎兒心電信號(hào)提取算法[J]. 系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào),2009，21(16)：5006-5008.

REN Ming-rong, WANG Chen, FANG Bin, et al. Fetal ECG extraction algorithm based on nonlinear time series[J]. Journal of System Simulation, 2009, 21(16): 5006-5008.

[12]陽(yáng)建宏,徐金梧,楊德斌,等. 鄰域自適應(yīng)選取的局部投影非線性降噪方法[J]. 振動(dòng)與沖擊,2006,25(4)：64-67.

YANG Jian-hong, XU Jin-wu, YANG De-bin, et al. Nonlinear noise reduction method by local projection with adaptive neighborhood selection[J]. Journal of Vibration and Shock, 2006, 25(4): 64-67.

[13]黃艷林,李友榮,肖涵,等. 基于相空間重構(gòu)與獨(dú)立分量分析的局部獨(dú)立投影降噪算法[J]. 振動(dòng)與沖擊,2011,30(1)：33-36.

HUANG Yan-lin, LI You-rong, XIAO Han, et al. Local independent projection de-noising algorithm based on phase-space reconstruction technique and independent component analysis[J]. Journal of Vibration and Shock, 2011,30(1): 33-36.

[14]王晨. 基于非線性時(shí)間序列的胎兒心電信號(hào)分析與提取[D]. 北京:北京工業(yè)大學(xué),2009.

[15]Donobo D L. De-noising by soft-thresholding[J]. Transactions on Information Theory, 1995, 41(3): 613-627.