材料和結(jié)構(gòu)參數(shù)對懸壁梁式壓電振子機(jī)電耦合性能的影響

第一作者林政女，博士生, 1988年10月生

通信作者張永良男，博士, 教授, 博士生導(dǎo)師, 1964年生

材料和結(jié)構(gòu)參數(shù)對懸壁梁式壓電振子機(jī)電耦合性能的影響

林政,張永良

(清華大學(xué)水利水電工程系水沙科學(xué)與水利水電工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100084)

摘要：對材料和結(jié)構(gòu)參數(shù)對壓電和基板不等長的矩形截面懸臂梁式雙晶壓電振子機(jī)電耦合性能影響進(jìn)行研究。由Hamilton原理推導(dǎo)了壓電振子振動(dòng)方程模型，并試驗(yàn)驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性。理論分析顯示，當(dāng)電路阻抗匹配時(shí)，轉(zhuǎn)換效率最大，且當(dāng)粘性阻尼系數(shù)相同時(shí)，最優(yōu)轉(zhuǎn)換效率隨著機(jī)電耦合系數(shù)增大而增大。壓電振子機(jī)電耦合系數(shù)和壓電材料機(jī)電耦合因子成正比；隨著壓電與基板模量比增大，機(jī)電耦合系數(shù)增大；壓電與基板密度比對機(jī)電耦合系數(shù)影響微弱；機(jī)電耦合系數(shù)隨壓電與基板長度比和厚度比都呈先增后減趨勢，存在最優(yōu)長度比和厚度比使機(jī)電耦合系數(shù)達(dá)到最大值。結(jié)構(gòu)優(yōu)化后的機(jī)電耦合系數(shù)隨模量比的增加而增大；不同模量比和密度比條件下，最佳長度比變化較小，總體變化范圍為0.6～0.7；模量比對最佳厚度比影響顯著，隨著模量比增大最佳厚度比減小。研究成果可用以指導(dǎo)壓電振子的設(shè)計(jì)。

關(guān)鍵詞：壓電俘能；優(yōu)化；材料特性；結(jié)構(gòu)尺寸

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金(51079072, 51279088);863計(jì)劃(2012AA052602);水沙科學(xué)與水利水電工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室自主課題資助(2013-KY-3)

收稿日期：2014-09-09修改稿收到日期：2014-09-29

中圖分類號(hào):TH212；TH213.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.17.025

Abstract:Here, the effects of physical and geometrical parameters on the electromechanical coupling characteristics of a one-step cantilevered piezoelectric energy harvester were studied. The model equation governing vibration of a piezoelectric vibrator was derived based on Euler-Bernoulli beam assumption in the linear and elastic range, and validated through comparison of theoretical results with experimental ones. Results revealed that the impedance matching leads to the maximum mechanical to electrical energy transfer efficiency; the optimal energy transfer efficiency increases with increase in the electromechanical coupling coefficient under a constant air and structural damping; the coupling coefficient is proportional to the material electromechanical coupling factor; and the coupling coefficient increases with increase in the modulus ratio between piezoelectric structure and base plate; the effect of piezoelectrics structure to base plate density ratio on the coupling coefficient is relatively smaller; with increase in length and thickness ratios between them, the coupling coefficient increases initially then decreases; there are the optimal length ratio and the optimal thickness ratio, they make the coupling coefficient reach the maximum; the optimal length ratio has a variation range of 0.6～0.7; the modulus ratio has an obvious effect on the optimal thickness ratio, the latter decreases with increase in the former. The study results provided a guidance for design of piezoelectric vibrators.

Effects of physical and geometrical parameters on electromechanical coupling characteristics of a cantilevered piezoelectric vibrator

LINZheng,ZHANGYong-liang(Sate Key Laboratory of Hydroscience and Hydraulic Engineering, Department of Hydraulic Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China)

Key words:piezoelectric energy harvesting; optimization; material properties; geometrical parameters

壓電材料在傳感、作動(dòng)和換能領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，近年來廣泛地應(yīng)用于環(huán)境俘能研究。[1～4]壓電發(fā)電結(jié)構(gòu)簡單，易于嵌入傳感單元中，使一些難以更換電池設(shè)備實(shí)現(xiàn)“自供電”。為適應(yīng)環(huán)境能量低頻特性，一般采用懸臂梁式壓電振子構(gòu)型進(jìn)行俘能。由于環(huán)境余能密度低，為滿足一些電子設(shè)備的用電需求，需提高壓電振子的工作效率。材料和結(jié)構(gòu)參數(shù)對壓電振子的發(fā)電特性有著重要影響，研究人員[5～11]通過理論研究、試驗(yàn)和數(shù)值計(jì)算等多種手段開展了大量的研究，獲得了廣泛結(jié)果，但由于評(píng)價(jià)指標(biāo)、材料特性、結(jié)構(gòu)尺寸以及激勵(lì)條件等不統(tǒng)一，難以根據(jù)已有研究成果獲得完整的影響規(guī)律用以指導(dǎo)壓電振子的設(shè)計(jì)，且研究大多針對單一變量進(jìn)行研究，對材料特性和結(jié)構(gòu)尺寸同時(shí)優(yōu)化的研究十分有限。本文旨在通過對壓電和基板不等長的矩形截面懸臂梁式雙晶壓電振子進(jìn)行研究，使壓電振子的設(shè)計(jì)獲得初步指導(dǎo)。

本文的其余部分安排如下。在第1部分中，基于Hamilton原理，推導(dǎo)了壓電和基板不等長的矩形截面懸臂梁式雙晶壓電振子的振動(dòng)模型，利用Rayleigh-Ritz法獲得了基頻激勵(lì)條件下壓電振子轉(zhuǎn)換效率與機(jī)電耦合系數(shù)的關(guān)系式。在第2和3部分，對由振動(dòng)模型所得結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了比較，然后采用已驗(yàn)證的模型研究了材料和結(jié)構(gòu)參數(shù)對壓電振子機(jī)電耦合性能的影響規(guī)律。第4部分給出了結(jié)論。

1模型

1.1壓電振子振動(dòng)方程

在直角坐標(biāo)系(x,y)中，考慮壓電片和基板不等長矩形截面懸臂梁式的雙晶壓電振子結(jié)構(gòu)，見圖1(圖中采用雙晶并聯(lián)連接方式)。

圖1　壓電和基板不等長懸臂梁式雙晶壓電振子結(jié)構(gòu)示意圖 Fig.1 Schematic of a one-step cantilever piezoelectric vibrator

模型基于線彈性理論及Euler-Bernoulli梁假設(shè)。由Hamilton原理有

(1)

其中:δ為變分符號(hào)，t為時(shí)間，T、U和W分別為動(dòng)能、勢能和外力做功，可分別表達(dá)為

(2)

其中:m，ξ，σ，V分別是單位長度質(zhì)量、應(yīng)變、應(yīng)力和體積，下標(biāo)s和p分別對應(yīng)基板和壓電片，w是梁在x處的垂向振動(dòng)位移，D是電位移，E是電場強(qiáng)度，q是單位長度梁上分布的外力，Q是電量，v是外界電阻兩端電壓，w上一點(diǎn)表示函數(shù)w對時(shí)間t的一階導(dǎo)數(shù)。基板和壓電材料符合線彈性理論，本構(gòu)方程為

σs=Ysξs

σp=YpEξp-e31E

(3)

其中:Y是材料的楊氏模量，上標(biāo)E表示系數(shù)在固定電場強(qiáng)度(短路條件)測得，e31是固定應(yīng)變條件(加持條件下)的壓電應(yīng)力系數(shù)，ε33是壓電材料的介電系數(shù)，上標(biāo)ξ表示系數(shù)在固定應(yīng)變(夾持條件)測得。由Euler-Bernoulli梁假設(shè)，梁的應(yīng)變?yōu)?/p>

ξ=-yw″

(4)

其中:w″表示位移函數(shù)w關(guān)于軸向坐標(biāo)x的二階偏導(dǎo)數(shù)。將式(2)～(4)以及場強(qiáng)和電壓關(guān)系式E=-v代入式(1)中，進(jìn)行變分運(yùn)算，并利用狄拉克δ函數(shù)特性進(jìn)行下述變換

(5)

利用變分任意性，并在振動(dòng)方程中考慮粘性阻尼影響，對電路方程各項(xiàng)對時(shí)間t求導(dǎo)并替換Q對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)為-v/R，R為外接電阻阻值，可得到壓電振子耦合振動(dòng)方程為

(6)

及相應(yīng)的邊界條件

(7)

變截面變形協(xié)調(diào)條件

(8)

(9)

其中:H(x)為單位階梯函數(shù)，雙晶并聯(lián)輸出時(shí)，系數(shù)θc和壓電振子等效電容Cp為

θc=e31b(hs+hp),Cp=2ε33blp/hp

(10)

雙晶串聯(lián)輸出時(shí)，

θc=e31b(hs+hp)/2,Cp=ε33blp/(2hp)

(11)

1.2Rayleigh-Ritz法求解

由Rayleigh-Ritz法，將位移函數(shù)表達(dá)為

(12)

其中:i階模態(tài)ψi(x)滿足短路條件下振子振動(dòng)特征方程

YI(x)ψ″″-ωi2m(x)ψ=0

(13)

質(zhì)量歸一化條件，邊界條件(7)以及變截面變形協(xié)調(diào)條件(8)，τi(t)為第i階模態(tài)對應(yīng)時(shí)間函數(shù)，ωi為短路條件下振子i階固有頻率。

由于大部分壓電振子設(shè)計(jì)以基頻附近頻率工作，在此條件下，高階模態(tài)與基頻振動(dòng)模態(tài)相比對位移空間分布影響微弱，位移函數(shù)可縮減為單階模態(tài)形式，即

w(x,t)=ψ(x)τ(t)

(14)

簡便起見，不再標(biāo)示一階模態(tài)階數(shù)的下標(biāo)。設(shè)q=q0sinΩt，將式(14)代入式(6)中，應(yīng)用模態(tài)的正交性可解得

φd=arctan(RCpΩ)-arctan(a3/a2)

φv=arctan(a3/a2)

(15)

其中，

(16)

γλ/(γλ+2ζ+2ζλ2r2)

(17)

其中:相對阻尼系數(shù)ζ，機(jī)電耦合系數(shù)γ，無量綱化激勵(lì)頻率r，電路時(shí)間因子λ表達(dá)式為

(18)

令η對λ的導(dǎo)數(shù)值為零，則當(dāng)λr=RΩCp=1 ，即外電路阻抗匹配時(shí)，轉(zhuǎn)換效率最大，最大轉(zhuǎn)換效率

(19)

對于具有初始速度或初始撓度的自由衰減振動(dòng)可獲得同樣的轉(zhuǎn)換效率表達(dá)式。從式(17)、(19)中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)電路阻抗匹配時(shí)振子獲得最大轉(zhuǎn)換效率；最大轉(zhuǎn)換效率為4rζ/γ的函數(shù)，且隨著兩者比值增大，效率減小。粘性阻尼無量綱參數(shù)4rζ相同時(shí)，隨著機(jī)電耦合系數(shù)增大，壓電振子的轉(zhuǎn)換效率增加：當(dāng)γ<1-4rζ時(shí)，壓電振子的轉(zhuǎn)換效率隨著γ增大增加較為顯著；隨著γ增大，最大轉(zhuǎn)換效率隨其增加的速率減緩。粘性阻尼的影響因素廣泛，機(jī)理復(fù)雜，壓電振子的優(yōu)化主要著眼于提高結(jié)構(gòu)的機(jī)電耦合系數(shù)。通過合理的選材、尺寸設(shè)計(jì)以及電路設(shè)計(jì)使得能量轉(zhuǎn)換效率達(dá)到最大。

2試驗(yàn)驗(yàn)證

2.1試驗(yàn)設(shè)備

所試驗(yàn)壓電振子由表面鍍鋁的壓電聚合物PVDF片和磷青銅基板粘結(jié)構(gòu)成，上下壓電片采用并聯(lián)連接輸出，外接電阻。試驗(yàn)設(shè)備見圖2。壓電振子固定于激振器上，激勵(lì)信號(hào)由信號(hào)發(fā)生器產(chǎn)生，經(jīng)由功率放大器輸送至激振器用以對壓電振子施加基礎(chǔ)簡諧激勵(lì)，電流傳感器監(jiān)視輸入端位移幅值保持不變，在自由端通過非接觸式激光位移傳感器獲得壓電振子末端位移響應(yīng)幅值。示波器探頭連接外接電阻兩端，采集輸出電壓信號(hào)。材料參數(shù)、結(jié)構(gòu)尺寸以及其它相關(guān)參數(shù)列于表1中。

圖2　試驗(yàn)設(shè)備及布置 Fig.2 Experimental setup

參量數(shù)值基板長/cm14.5壓電片長/cm10.0壓電振子寬/cm3.9基板厚/mm1.03單層壓電片厚/mm0.50基板楊氏模量/GPa113壓電片楊氏模量/GPa2.5基板密度/(kg·m-3)8800壓電片密度/(kg·m-3)1760壓電應(yīng)力常數(shù)/(10-3NV-1m-1)2.75相對介電常數(shù)9.5激勵(lì)位移幅值/mm0.12電阻值(考慮示波器阻抗)/kΩ9.9,90.91,1060,3370,10000單位長度阻尼系數(shù)/(Nm-2s)5.6

2.2試驗(yàn)結(jié)果與模型驗(yàn)證

不同外接電阻條件下，末端響應(yīng)位移幅值隨頻率變化關(guān)系見圖3。從圖中可以看到，位移頻響曲線隨外接電阻變化十分微小，這主要是由于PVDF的壓電耦合能力相對較弱，電路反饋的作用力矩對整體結(jié)構(gòu)振動(dòng)影響微弱。理論結(jié)果也表現(xiàn)出了一致的特性，從圖3中可以看出，計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果一致性良好。

圖3　末端位移頻響曲線.理論(——)；試驗(yàn) (離散點(diǎn)) Fig.3 Variation of tip displacement with frequency. Theory (——); experiment (scatter points)

圖4　電壓頻響曲線.理論(——),試驗(yàn) (離散點(diǎn)) Fig.4 Variation of voltage with frequency. Theory (——); experiment (scatter points)

不同外接電阻條件下，電阻兩端電壓幅值隨頻率變化關(guān)系見圖4。從圖中可以看出，電阻阻值對壓電振子輸出電壓影響顯著，隨著阻值增大，輸出電壓增大。理論計(jì)算結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果相符，驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性。

3參數(shù)研究

當(dāng)雙晶壓電振子輸出并聯(lián)時(shí)，將式(10)代入式(18)中γ的表達(dá)式并展開得

(20)

對于單階梯變截面梁，由式(13)得

ω2=β4(YIs+YIp)/(ms+mp)

(21)

其中:系數(shù)β由邊界條件(7)以及變截面變形協(xié)調(diào)條件(8)確定。將式(21)代入式(20)，整理后得

γ=

k312·κ

(22)

f(Yp/Ys,ρp/ρs,lp/ls,hp/hs)

(23)

采用已驗(yàn)證的模型，研究材料和結(jié)構(gòu)影響因子κ隨壓電和基板模量比(Yp/Ys)、密度比(ρp/ρs)、長度比(lp/l)和厚度比(hp/hs)的變化關(guān)系，以及各項(xiàng)參數(shù)綜合優(yōu)化條件下，最大影響因子及其對應(yīng)最佳長度比、厚度比隨模量比和密度比的變化關(guān)系。在參數(shù)研究中，均設(shè)定雙晶壓電材料并聯(lián)連接輸出。

3.1材料參數(shù)——模量比和密度比

圖5為長度比lp/l=1和厚度比hp/hs=1時(shí)，材料和結(jié)構(gòu)影響因子κ隨壓電和基板模量比和密度比變化關(guān)系。從圖中可以看出，影響因子隨模量比增大而增大，隨密度比變化微小。說明在選擇壓電振子基板材料時(shí)應(yīng)該優(yōu)先考慮材料的彈模，基板彈模越小，影響因子越大，轉(zhuǎn)換效率越高，基板材料密度對轉(zhuǎn)換效率影響較為微弱，從圖中不能顯見。

圖5　l p/l=1和h p/h s=1時(shí)材料和結(jié)構(gòu)影響因子 隨壓電和基板模量比和密度比的變化 Fig.5 Variation of κ with modulus and density ratios for l p/l=1 and h p/h s=1

3.2結(jié)構(gòu)參數(shù)——長度比和厚度比

圖6為模量比Yp/Ys=2.5和密度比ρp/ρs=1.55時(shí)，材料和結(jié)構(gòu)影響因子κ隨壓電和基板長度比(lp/l)和厚度比(hp/hs)的變化關(guān)系。從圖中可以看出，影響因子隨長度比和厚度比的增加而先增加后減小，存在最優(yōu)長度比0.68和厚度比0.38使得影響因子達(dá)到最大。在給定的計(jì)算條件下，當(dāng)壓電和基板為等長時(shí)，任何厚度比條件下都不能使得影響因子達(dá)到最大。

3.3材料和結(jié)構(gòu)參數(shù)綜合影響

圖7顯示的是優(yōu)化結(jié)構(gòu)參數(shù)后所能獲得的最大材料和結(jié)構(gòu)影響因子隨模量比(Yp/Ys)和密度比(ρp/ρs)的變化關(guān)系。從圖7中可以看到，結(jié)構(gòu)優(yōu)化后的影響因子隨著模量比增大而增大，隨著密度比先增加后減小，整體上，影響因子受模量比的影響更為顯著，而密度比對其影響較為微弱。圖8給出了最佳長度比隨模量比和密度比的變化關(guān)系。從圖中可以看到，最佳長度比隨著模量比的增加而增加，隨密度比的增加而減小，增加或減小的幅值都十分有限，總體變化的范圍為0.6～0.7，增加或減小在某些材料參數(shù)條件下發(fā)生急劇變化，使得其在圖中變化顯示出了一定的階躍性質(zhì),實(shí)際從數(shù)值結(jié)果看，變化是連續(xù)的。圖9顯示的是最佳厚度比隨模量比和密度比的變化關(guān)系，從圖中可以看出，最佳厚度比隨著模量比的增加而減小，其與密度比關(guān)系較為復(fù)雜，在大多數(shù)條件下非單值對應(yīng)關(guān)系。相比較而言，模量比較密度比對最佳厚度比的影響更為顯著。

圖6 Yp/Ys=2.5和ρp/ρs=1.55時(shí)材料和結(jié)構(gòu)影響因子隨壓電和基板長度比和厚度比變化關(guān)系Fig.6VaritiaonsofκwithlengthandthicknessratiosforYp/Ys=2.5andρp/ρs=1.55圖7 最大材料和結(jié)構(gòu)影響因子隨模量比和密度比的變化關(guān)系Fig.7Variationsofgeometricallyoptimizedκwithmodulusanddensityratios圖8 最佳長度比隨模量比和密度比的變化關(guān)系Fig.8Variationsofoptimallengthratiowithmodulusanddensityratios

圖9　最佳厚度比隨模量比和密度比的變化關(guān)系 Fig.9 Variations of optimal thickness ratios with modulus and density ratios

4結(jié)論

本文對壓電和基板不等長的矩形截面懸臂梁式雙晶壓電振子進(jìn)行了研究。由Hamilton原理推導(dǎo)了壓電振子振動(dòng)方程模型，并與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了比較，驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性。理論分析顯示，當(dāng)電路阻抗匹配時(shí)，轉(zhuǎn)換效率最大，且當(dāng)粘性阻尼系數(shù)相同時(shí)，最優(yōu)轉(zhuǎn)換效率隨著機(jī)電耦合系數(shù)增大而增大。

壓電振子機(jī)電耦合系數(shù)與壓電材料機(jī)電耦合系數(shù)的平方成正比；隨著壓電與基板模量比的增大，機(jī)電耦合系數(shù)增大；壓電與基板密度比對機(jī)電耦合系數(shù)影響微弱；機(jī)電耦合系數(shù)隨壓電與基板長度比和厚度比的增加都呈先增后減趨勢，存在最優(yōu)長度比和厚度比使機(jī)電耦合系數(shù)達(dá)到最大值。結(jié)構(gòu)優(yōu)化后的機(jī)電耦合系數(shù)隨模量比的增加而增大；不同模量比和密度比條件下，最佳長度比變化較小，總體變化范圍為0.6～0.7；模量比對最佳厚度比影響顯著，隨著模量比增大最佳厚度比減小。研究成果可用以指導(dǎo)壓電振子的設(shè)計(jì)。

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