壓膜阻尼作用下微機械諧振器動力學分析

第一作者張琪昌男，博士，教授，1959年生

通信作者王煒男，博士，講師，1980年8月生

壓膜阻尼作用下微機械諧振器動力學分析

張琪昌，周凡森，王煒

(天津大學機械工程學院天津市非線性動力學與混沌控制重點實驗室，天津300072)

摘要：靜電驅動微機械諧振器由于其高頻率、低功耗和小型化被廣泛應用于工作在空氣中和液體中的化學傳感器和生物物種傳感器中。對于微機械諧振器，作為表面效應的空氣阻尼以及三次非線性靜電剛度會顯著影響器件的動態響應特性。通過壓膜阻尼理論，探究了雙端固支梁在自由振動過程中由于環境壓力引起的空氣阻尼和三次非線性靜電剛度對微梁的運動形態、諧振響應等性能參數的影響，發現了雙極板微諧振器振動特性與環境壓力以及立方非線性靜電剛度的關系。結果表明：環境壓力的增加會使微機械諧振器的共振頻率增加，振動的幅值以及共振漂移的幅度減小。微機械諧振器在小位移振動時，通過對幅頻曲線的分析發現，三次非線性靜電剛度會使微機械諧振器表現出或軟或硬的非線性特性且不可忽略。

關鍵詞：微機械諧振器；壓膜阻尼；環境壓力

基金項目：國家自然科學基金(11372210)；國家青年科學基金(11102127)；高等學校博士點基金(20120032110010)；天津市應用基礎與前沿技術研究計劃(12jCYBjC12500,12jCZDjC28000)

收稿日期：2014-05-23修改稿收到日期：2014-08-14

中圖分類號:O322

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.17.021

Abstract:Electrostatically actuated micromechanical resonators with advantages of high frequency, low-power consumption and small size are widely used in chemical sensors and sensors of biological species, these sensors work in air or liquid. The air damping as surface effects and the cubic nonlinear static electrical stiffness can significantly affect the dynamic response characteristics of a micromechanical resonator. Here, via the squeeze-film damping theory, the effects of air damping caused by ambient pressure during free vibration and cubic nonlinear static electrical stiffness on the patterns of movement and response performance of a mirco beam fixed at both ends were investigated in detail. The relationships between the dynamic characteristics of the resonator and ambient pressure as well as nonlinear static electrical stiffness were found. The results indicated that the resonance frequencies of the micromechanical resonator increase with increase in ambient pressure, while the vibration amplitudes and the resonance drift decline with increase in ambient pressure; the cubic nonlinear static electrical stiffness makes the resonators exhibit softening or hardening nonlinear characteristics, they can not be ignored in amplitude-frequency curves of the resonaters' small amplitude vibration.

Dynamic characteristics of a micro-mechanical-resonator with squeeze film damping

ZHANGQi-chang,ZHOUFan-sen,WANGWei(Tianjin Municipal Key Laboratory of Nonlinear Dynamics and Chaos Control, School of Mechanical Engineering, Tianjin University, Tianjin 300072, China)

Key words:micro-mechanical-resonator; squeeze film damping; ambient pressure

硅微機械諧振器因其體積小、能耗低、易集成等優點被廣泛應用于微機電系統中。因此，在微系統領域對硅微機械諧振器的研究受到人們的普遍關注。其中，對硅微機械諧振器的動力學表現的關注尤為顯著。目前，影響硅微機械諧振器動力學表現的耗散機制包括：壓膜阻尼、熱彈性阻尼、支撐損耗和內損耗等耗散機制。岳東旭等[1]和Ruzziconi等[2]做了關于微懸臂梁運動方程的建模工作，并用理論和實驗相結合的方法探討了交直流電以及過腐蝕對微結構剛度和頻率響應的影響。Mestrom等[3]研究了真空狀態微機械諧振器在簡諧激勵載荷下的動態響應，探究了微機械諧振器機械部分、靜電部分和熱彈性阻尼對其運動形態、諧振響應等性能的影響。Mestrom等[4-5]利用鐵木辛柯梁理論以及伽遼金離散和攝動分析，在考慮幾何非線性以及靜電非線性影響下，進一步研究了微機械諧振器機械部分、靜電部分和熱彈性阻尼的影響，并創新性的研究了錨點丟失對微機械諧振器的影響。Gologanu等[6]和Belardinelli等[7-8]，利用有限元的方法綜述了粘性流體阻尼、聲輻射、熱彈性阻尼等耗散機制對微機械諧振器共振頻率以及質量因子的影響。

近年來，由于封裝技術的日趨成熟，為了獲得盡可能高的質量因子，降低壓膜阻尼對微機械諧振器的影響，微機械諧振器通常在真空環境下工作。但是，在諸如微生物傳感器、微化學傳感器和微生物物種傳感器等微系統中，真空封裝是不可取的，它們一般工作在不同的環境壓力之下。Wu等[9]通過數值模擬與實驗相結合的方法，發現了壓膜阻尼對微機械諧振器振動的主要影響因素為剛度系數和阻尼系數，并提出了其等效電路模型。Nigro等[10]對于稀薄效應下的壓膜系數做了比較深入的研究，比較了幾種有效粘度的計算公式，并給出了他們的適用范圍和準確度。Keyvani 等[11]通過理論分析，探討了氣體壓強、交直流電等因素對微機械諧振器共振頻率以及質量因子的影響。Gualdino等[12]以理論和實驗為基礎，分析了不同環境壓力作用下，盤式結構微機械諧振器的動態特性，指出同一壓力作用下，提高共振頻率除減小微結構的尺寸外，還可以改變盤式結構的振動形態。Zhang等[13-14]分析了壓膜阻尼作用下微共振傳感器動態響應，通過歐拉伯努利梁理論，建立微振動部件的運動方程，并分析了交直流電以及壓膜阻尼對微振動部件動力學特性的影響。

目前，微機械諧振器在實驗和理論方面研究已經比較成熟，但是在理論上還有許多非線性問題亟待解決和探索。隨著微機械技術的發展，壓膜阻尼得到了廣泛的應用，成為一種新的阻尼技術，可用于調節微機械結構的質量因子以及線性和非線性共振頻率。壓膜阻尼中可控的因素即為環境壓力。所以，清楚了解環境壓力與微諧振器線性和非線性共振頻率之間的關系成為設計微器件的重要依據。立方非線性靜電剛度作為微機械諧振器非線性特性的重要影響因素之一。在微諧振器小位移振動時，立方非線性靜電剛度是否可以省略關系到設計者設計出的微器件能否達到使用的預期，所以對于該問題的研究具有非常重要的理論價值。如果能夠將微機械諧振器的各種微觀影響因素的機理分析清楚，這將不僅有利于我們進一步加深對諧振式微器件的工作原理的認識，同時也將有利于優化產品的設計，提高產品的工作性能。

1運動方程

圖1　微型雙端固支梁模型 Fig.1Model of clamped-clamped beam

本文采用單自由度模型，既能很好的描述微機械諧振器的結構，又能準確的探究微機械諧振器的動力學行為以及其非線性特性。MEMS微型雙端固支梁系統動力學模型見圖1，微梁結構采用對稱位置放置直流偏置電壓，這樣可以有效地降低直流偏置電壓對微機械諧振器的影響，更有利于微機械諧振器性能的發揮。微型雙端固支梁的動力學方程可表示為：

(1)

(2)

式中:C0表示當x=0時的電容，d0表示基底和微梁間的初始距離，V1(t)和V2表示基底的加載電壓，表達式分別為：

V1(t)=Vdc+Vacsin(wt),V2=Vdc

(3)

式中:Vdc為直流偏置電壓，Vac為交流電壓的幅值。將非線性靜電力在x=0處泰勒公式展開：

(4)

式中:h.o.t為高階小量。

非線性靜電力Fe(x,t)展開后的動力學模型與Duffing方程相似，但具有高階位移項，由于諧振器的振動位移是小量，所以舍去高階位移項。最終的非線性靜電力為：

(5)

MEMS的阻尼機制對其動力學、控制、性能和設計至關重要。由于矩形微梁的振動，導致轉換間隙中的空氣壓縮，從而形成壓膜阻尼。壓膜阻尼力主要由兩部分組成：由于粘性而導致的粘性阻尼力和由于流體壓縮引起的彈性阻尼力。由文獻[9]可知，矩形微梁標準化的壓膜阻尼力為：

(6)

式中:ke和cd分別表示彈性阻尼力系數和粘性阻尼力系數。其中ke和cd分別表示為：

(7)

(8)

式中:m和n為奇整數,β為矩形板長寬比，w、Ae和pa分別表示微梁振動角速度、基底和微梁重合面積以及環境壓力。壓膜數σ的表達式為：

(9)

式中:μep表示有效粘度系數，l表示微梁的特征長度。由文獻[10]可知，有效粘度的表達式為：

(10)

式中:a=0.018 07，b=1.353 55，c=-1.174 68，且D表示為：

(11)

式中:Kn為Knudsen數，由文獻[6]可知，Kn的表達式為：

(12)

式中:λ0為平均自由程，且λ0=64 nm，p0為標準大氣壓。

引入無量綱量：

(13)

其中：

(14)

系統動力學方程可寫成以下無量綱式：

(15)

2多尺度攝動分析

(16)

利用多尺度法對方程(15)進行攝動分析，為了使分析方程中不出現長期項，可得：

(17)

(18)

(19)

(20)

根據方程(20)可以得到微機械諧振器各參數對其幅頻響應的影響，以及各參數與非線性共振頻率之間的關系。

3理論分析和數值仿真

微機械諧振器重要的動力學性質包括：共振頻率、幅頻響應等。這些動力學性質對微機械諧振器性能的表現有非常顯著的影響。所以，本文采用理論分析和數值模擬的方法分析了微機械諧振器的幾何結構、環境壓力等因素對諧振器動力學特性的影響。

3.1共振頻率

共振頻率是微機械諧振器的重要參數之一，其對微機械諧振器的設計參數有著直接的影響，探究不同環境壓力下，壓膜阻尼對共振頻率的影響是非常重要的。

圖2是不同環境壓力下一階共振頻率與直流偏置電壓之間的關系，其中d0=2.2 μm。由圖可知，隨著直流電壓的增大，共振頻率逐漸減小，有很明顯的“彈簧軟化”現象，即剛度軟化；微機械諧振器隨著環境壓力的增加，共振頻率逐漸增加，引起明顯的“彈簧硬化”現象，即剛度硬化。

3.2幅頻響應

通過方程(20)來描繪微機械諧振器的幅頻響應。非線性控制因素主要包括：環境壓力pa、直流偏置電壓Vdc、交流電壓幅值Vac、微梁與固定基底間的距離d0以及立方剛度系數η。本文將分別分析各個參數對微機械諧振器的影響。

3.2.1環境壓力的影響

微諧振式壓力傳感器[15]是工業控制、生物檢測、航天、軍事等領域中應用最廣泛的傳感器之一。了解腔內環境壓力與微諧振器非線性共振頻率之間的關系是設計微壓力傳感器的關鍵。環境壓力的改變，會導致微懸臂梁非線性共振頻率的改變，通過檢測非線性共振頻率及其變化，推斷出外界壓力。

圖3描述了當取參數Vdc=50 V，Vac=0.5 V時不同環境壓力下的幅頻響應曲線 。隨著環境壓力的增加，微機械諧振器的非線性共振頻率逐漸減小，穩態幅值也逐漸減小。由圖3可知，環境壓力與微機械諧振器非線性共振頻率之間的關系。當環境壓力大于30 000 Pa時，共振漂移量幾乎為零，微機械諧振器呈現線性振動。

圖2 不同的環境壓力第一階共振頻率與直流電壓之間的關系圖Fig.2Differentambientpressuresbetweenfirst-orderresonantfrequencyandDCvoltagediagram圖3 不同環境壓力下系統的幅頻響應曲線Fig.3Amplitude-frequencyresponsecurveofsystemunderdifferentambientpressure圖4 不同直流偏置電壓下系統的幅頻響應曲線Fig.4Amplitude-frequencyresponsecurveofsystemunderdifferentDCbiasvoltage

3.2.2直流偏置電壓Vdc的影響

圖4給出了不同直流偏置電壓下微機械諧振器的幅頻響應特性曲線。從圖可知，幅頻曲線變化不大，但是隨著直流偏置電壓的增加，穩態振動的幅值上升，頻率響應曲線向右逐漸彎離σ=0軸，呈現硬式非線性。

3.2.3交流電壓幅值Vac的影響

不同交流電壓幅值下微機械諧振器的幅頻響應特性曲線見圖5，改變交流電壓的幅頻響應特性曲線和改變直流偏置電壓幅頻響應特性曲線相似，不同點在于，相同百分比的幅值改變，改變交流激勵電壓可以降低能源輸入。所以，在微機械諧振器的設計中，可以通過改變交流激勵電壓，以較小的能源輸入，設計出滿足工作要求的微系統。

3.2.4微梁與固定基底間的距離d0

圖6給出了不同間距下微機械諧振器的幅頻響應特性曲線。由圖可知，隨著間距的減小，穩態振動的幅值增加，共振漂移量逐步變大。

3.2.5立方剛度系數的影響

由立方剛度系數可知，其中控制參數分別為直流偏置電壓，微梁與固定基底間的距離。立方剛度主要影響微機械諧振器幅頻曲線的偏轉方向。當η>0時，幅頻響應曲線向右彎離σ=0軸，呈現硬式非線性；當η<0時，幅頻響應曲線向左彎離σ=0軸，呈現軟式非線性。

圖7表示的是在相同條件下，直流偏置電壓與交流電壓幅值相乘為常數時，微機械諧振器的幅頻曲線。當直流電壓逐漸減小，交流電壓幅值逐漸增加的過程中，微機械諧振器逐漸從軟式非線性向硬式非線性過度。所以，對于微機械諧振器不同的設計參數，可以確定相應參數下直流偏置電壓和交流電壓幅值的取值范圍，在此范圍內，微機械諧振器的幅頻響應曲線不會出現軟硬非線性，即不會有滯后現象的發生。因此可以利用其穩定的幅頻響應滿足某些微機電應用的需求。

圖5 不同交流電壓幅值下系統的幅頻響應曲線Fig.5Amplitude-frequencyresponsecurveofsystemunderdifferentACvoltage圖6 不同間距下系統的幅頻響應曲線Fig.6Amplitude-frequencyresponsecurveofsystemunderdifferentspacing圖7 直流交流電壓相乘為常數時的幅頻響應曲線Fig.7Amplitude-frequencyresponsecurveofDCandACvoltagemultipliedbyaconstant

圖8研究了在微機械諧振器處于小位移振動時，立方非線性靜電剛度對其幅頻響應曲線的影響。圖8(a)是在直流偏置電壓為70 V，交流電壓幅值為150 mV，間距為2.2 μm時微系統的幅頻響應曲線。由圖可知，立方非線性靜電剛度對微機械諧振器的幅頻響應幾乎沒有影響。但是，對于不同微系統不同的參數設計，立方非線性靜電剛度往往起決定性作用。圖8(b)是在直流偏置電壓為70 V，交流電壓幅值為75 mV,間距為1 μm時的幅頻響應曲線。虛線表示的是立方剛度項不含非線性靜電剛度，實線表示的是立方剛度項含有非線性靜電剛度。結果表明，微機械諧振器表現出不同的非線性特性，含有非線性靜電剛度時表現出軟式非線性，而不含有非線性靜電剛度時卻表現出硬式非線性。

通過兩幅圖的對比，本文得到相應的結論，對于不同的設計參數，是否考慮立方非線性靜電剛度對微機械諧振器表現出來的性能有很大的影響。為了能夠讓微機械諧振器達到預期的設計要求，在對微機械諧振器進行設計的時候，立方非線性靜電剛度是至關重要的且不可忽略。

圖8　小位移振動立方非線性靜電剛度影響 Fig.8 The effect of small displacement cubic nonlinear electrostatic

圖9 無量綱與有量綱幅頻曲線對比Fig.9Dimensionlessincontrasttodimensionedamplitudefrequencycurve圖10 不同環境壓力下微機械諧振器的相圖Fig10Thephasediagramofthemicromechanicalresonatorsunderdifferentambientpressure

圖9是環境壓力為20 000 Pa時，無量綱幅頻曲線與有量綱幅頻曲線的對比，圖9(a)為有量綱幅頻曲線，圖9(b)為無量綱幅頻曲線。由圖可知，無量綱與有量綱幅頻曲線的一致性，驗證了本文理論分析的正確性。

3.3數值仿真

不同環境壓力下微機械諧振器的相圖見圖10，隨著環境壓力的增加，微機械諧振器穩態振動的幅值逐漸降低，與理論分析結果保持一致。

圖11為環境壓力為20 000 Pa，激勵頻率逐漸增加時的相圖。線性固有頻率為0.421 9 MHz，由圖中可以看到，微機械諧振器穩態振動的峰值并不是在線性固有頻率點，而是向右有較小的偏移。而且，當激勵頻率從0.426 0 MHz增加到0.426 1 MHz時，微機械諧振器穩態振動幅值出現了突跳，與本文的理論分析保持一致。

圖11　不同激勵頻率下微機械諧振器的相圖 Fig.11 Thephase diagram of the micromechanical resonators under different excitation

根據對微機械諧振器共振頻率、幅頻響應以及動力學特性的理論分析和數值模擬，了解了不同環境壓力以及直流電壓對微機械諧振器共振頻率的影響規律，并通過幅頻響應分析得到了不同因素影響下共振頻率漂移的規律。共振頻率漂移是微機械諧振器非常重要的特性，在生物傳感器、化學傳感器中，都是通過測量共振頻率的漂移來探測質量等因素的變化。為設計者提供了理論依據。

4分析與討論

通過對微機械諧振器運動方程的分析和數值模擬，清楚的了解了其響應和動力學特性。直流偏置電壓軟化微機械諧振器的有效剛度，環境壓力硬化微機械諧振器的有效剛度，另外，隨著基底與極板間距離的增加，共振頻率也逐漸的增加。共振頻率漂移是微機械諧振器至關重要的特性，一般共振式微機電器件都是通過共振頻率漂移來實現其基本功能。同時，由于微機械諧振器較高的靈敏度、較小的體積、易集成等優點被廣泛應用。

微機械諧振器的頻率響應特性對于共振式微機電器件是非常重要的。例如微諧振式壓力傳感器，它被廣泛應用于工業控制、生物檢測、航天軍事等領域。了解腔內環境壓力與微機械諧振器與非線性共振頻率之間的關系是設計微壓力傳感器的關鍵。本文通過分析環境壓力對微機械諧振器幅頻響應的影響，得到了微機械諧振器非線性共振頻率與環境壓力之間的關系，為微諧振式壓力傳感器的設計提供了理論依據。又如，國內微陀螺儀[16]常采用常壓封裝，空氣阻尼成為影響陀螺性能的主要因素。因此，在陀螺的研制過程中，建立有效的空氣阻尼模型十分關鍵。本文采用了單自由度模型，分析了包括環境壓力在內的各種因素對微機械諧振器的影響，并得到了相應的結論，這些結論將為陀螺儀的設計提供理論依據。

對于運動方程的三次非線性項應該包括三次機械剛度、三次非線性靜電剛度以及非線性阻尼項。所有的這三項都將對微機械諧振器的動力學特性造成影響，但是，根據Zhang等[13]對微諧振式傳感器的研究表明，當微機械諧振器處于小位移振動時，非線性阻尼項是可以忽略的。本文通過分析發現，當微機械諧振器處于小位移振動時，三次非線性靜電剛度對微機械諧振器的振動響應有著非常重要的影響。在某些設計參數下，如不考慮三次非線性項時，幅頻響應曲線呈現硬非線性，而考慮三次非線性靜電力時，幅頻響應曲線呈現軟非線性。所以在微機械諧振器設計時，三次非線性靜電剛度是不可忽略的。詳細的動力學模型和分析是設計共振式微機電器件的重要工具和理論依據。溫度也會對微機械諧振器的動力學特性產生影響，為了提高微機械諧振器的靈敏度，了解微機械的動力學特性，溫度的影響不可忽略。

微機械諧振器的動力學特性是諧振式傳感器的根本，本文分析了不同設計參數下，微機械諧振器的動力學特性， 這將為設計者設計出成本低廉、性能可靠的微機電器件提供理論依據。

5結論

本文用理論和數值的方法探究了硅微機械諧振器在交直流載荷作用下非線性動力學分析，在考慮主共振情況下，主要研究了環境壓力和三次非線性靜剛度對微機械諧振器動態響應的影響，主要有如下結論：

(1)通過理論分析，得到了環境壓力對微機械諧振器非線性動力學的影響規律，建立了環境壓力與線性共振頻率和非線性共振頻率的關系；

(2)根據對三次非線性靜電剛度的詳細討論，得到相應的結論，即在微機械諧振器設計時，三次非線性靜電剛度至關重要且不可忽略；

(3)本文雖然對微機械諧振器的非線性動力學特性進行了較為深入的研究，但也忽略了溫度等其他因素對微機械諧振器的影響。同時，本文的仿真和分析，都是基于軟件上的仿真和理論上的分析，缺少對實物進行實際的測試和對理論的驗證。實驗驗證和更全面的參數分析是本文將來的研究方向。

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