風力機葉片的自由振動特性分析

第一作者馬靜敏女，博士，講師，1978年10月生

通信作者任勇生男，博士，教授，1956年7月生

風力機葉片的自由振動特性分析

馬靜敏1,任勇生2

(1.山東科技大學礦業與安全工程學院, 青島266510; 2.山東科技大學機械電子工程學院, 青島266510)

摘要：基于綜合考慮拉伸、彎曲和扭轉等變形對翹曲影響的位移函數，使用擴展拉格朗日方程，建立風力發電機復合材料翼型截面葉片的自由振動微分方程，并應用伽遼金法求解三種翼型截面葉片的固有頻率，進而比較它們的自由振動特性，分析復合材料的鋪層角度、截面尺寸和旋轉速度等對翼型葉片的自由振動特性的影響。同時綜合應用大型通用有限元軟件ANSYS， 三維造型軟件Pro/E和前處理軟件Hypermesh，計算葉片的固有頻率與伽遼金法的求解結果進行對比，驗證理論計算的正確性。

關鍵詞：風力機；葉片；復合材料；固有頻率

基金項目：國家自然基金項目(10872118 );山東省科技大學人才引進計劃科研啟動基金項目(2013RCJJ028)

收稿日期：2014-04-21修改稿收到日期：2014-07-30

中圖分類號:TB123

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.17.018

Abstract:Based on displacement functions considering warpings caused by tensile, bending and torsion, using extended Lagrange equations, the vibration differential equations of composite wind turbine airfoil section blades were established, and solved with Galerkin method. The three kinds of airfoil section blades’ free vibration characteristics were compared. The influences of composite ply angle, taper ratio and rotating speed on the free vibration charateristics of the blades were analyzed. The natural frequencies of the blades were also computed with comprehensive application of large-scale general finite element software ANSYS, Pro/E and Hypermesh. The results were compared with those of Galerkin mechod to verify the correctness of the theoretical calculations.

Free vibration characteristics of wind turbine blades

MAJing-min1,RENYong-sheng2(1. College of Mining and Safety Engineering, Shandong University of Science and Technology, 266510, China;2. College of Mechanical and Electronic Engineering, Shandong University of Science and Technology, 266510, China)

Key words:wind turbine; blade; composite material; natural frequency

風力發電機葉片的作用是捕捉風能，是風力發電機的核心部件，直接影響風力發電機的發電效率。為了最有效地捕捉風能，風力發電機葉片具有復雜的氣動外形，同時為了最大限度地減輕重量、增強抗疲勞性能，風力發電機葉片一般是采用纖維增強復合材料制成的空心薄壁細長柔性結構。由于復合材料的各向異性再加上空心薄壁結構的特點，在葉片的拉伸、彎曲和扭轉變形之間存在著很強的彈性耦合，因此具有上述特征的葉片的動力學建模以及動力學特性分析相對于傳統的各向同性實心結構葉片模型顯然要復雜得多。

由于風力發電機葉片具有細長結構的特點，因此對于細長梁的動力學特性的分析研究理論同樣適用于葉片的動力學分析。Mansfield 等[1-2]提出了復合材料封閉截面薄壁梁的運動模型，由于該模型忽略了梁的橫向剪切變形和橫截面的翹曲影響，僅適用于解決具有特定鋪層順序的復合材料梁的振動問題。Libove[3]建立了廣泛適合于工程領域問題的模型，得到了用于計算封閉截面薄壁梁剪切流和正應力的簡單理論，該理論雖然考慮了彎曲剪切變形，但是沒有考慮到由于不均勻翹曲引起的變形。Song等[4]基于一階剪切變形理論，考慮截面的基本扭轉翹曲和與截面厚度有關的高階翹曲，運用哈密頓原理，建立了封閉等截面懸臂梁的運動微分方程并應用拉普拉斯變換方法求解了固有頻率。該方程既適用于薄壁梁也適用于有一定厚度的空心梁的動力學分析計算。此外，Song 和Librescu還在文獻[5-8]中，對復合材料旋轉薄壁梁、末端有集中質量的智能材料旋轉葉片、有預扭角自適應旋轉復合材料薄壁梁和一定溫度下有預扭角薄壁梁的動力學特性進行了分析。Chandiramani等[9]考慮了自由邊界條件，建立了基于高階橫向剪切變形理論的旋轉復合材料薄壁梁的運動微分方程，分析了鋪層角度、旋轉速度等對固有頻率的影響，并且與一階剪切變形理論求解的結果進行了對比。Oh等[10]引入了截面的預扭角，并分析了預扭角對旋轉梁固有振動的影響。然而上述這些研究主要是針對等截面梁的復合材料薄壁結構模型進行靜力或動力建模與分析，而實際的風力機葉片的截面尺寸和形狀是變化的。為此，一些學者[11-13]對復合材料變截面薄壁梁進行了研究，通過動力學建模與數值計算，分析了變截面不旋轉梁和變截面旋轉梁的振動特性。上述針對復合材料薄壁梁的研究，基本方法是計算梁的應變能和動能的表達式，進而基于哈密頓原理獲得薄壁梁的振動微分方程，且在上述模型中如果忽略壁厚對運動的影響，翹曲函數只包含由于扭轉變形所產生的截面翹曲，而沒有考慮由于彎曲和均勻拉伸所引起的翹曲的影響。

Berdichevsky等[14-15]基于變分漸進法，對各向異性柱殼結構的動力學特性進行分析，建立了其上考慮均勻軸向拉伸、繞y軸和z軸的彎曲所引起的截面翹曲的任意一點的位移函數。Armanios[16-17]基于該位移函數，應用哈密頓原理推導出復合材料封閉等截面薄壁梁的自由振動方程，并給出了微分方程的具體求解方法。任勇生等[18-21]基于該位移函數應用拉格朗日方程對復合材料封閉等截面和變截面矩形截面梁的自由振動特性進行分析。雖然對于矩形截面薄壁梁的分析，能夠反應葉片各向異性、懸臂和薄壁的特性，但是不能體現真實葉片的復雜的翼型截面形狀的特性，因此本文基于Berdichevsky位移函數，對復合材料翼型截面葉片的自由振動特性進行分析。

1葉片幾何模型及運動方程

1.1葉片幾何模型

實際的風力機葉片不僅具有復雜的翼型截面，其尺寸和截面輪廓在不同的位置也是不規則變化的，不同位置的弦長可以依據不同的氣動理論進行分析計算[22]。本文忽略葉片根部截面為圓形，且認為葉片的弦長沿葉片長度方向呈線性變化，意在對王旭東等[23]給出的三種翼型截面梁自由振動特性進行分析并給出翼型截面梁振動特性的相關變化規律。簡化后的翼型截面薄壁梁的幾何模型及截面形狀及參考坐標系見圖1，截面輪廓曲線方程分別由文獻[23]的式(5)～式(10)確定。梁根部弦長CR=0.024 21 m，長度L=0.762m。任意截面弦長為：

C(η)=[1-η(1-σ)]·CR

(1)

其中：σ=CT/CR，表示錐度；η=x/l表示橫截面位置的無量綱量，且η∈[0,1]。下標R和T分別表示根截面和端截面。若規定由根部到端部截面尺寸逐漸減小，則σ∈[0,1]，且錐度取0值時對應著端截面尺寸變為0，而取1時對應著截面尺寸不變化。

葉片的材料選取石墨環氧樹脂復合材料，其力學性能見表1。

圖1　翼型葉片幾何模型及坐標系 Fig.1 The wing-section blade geometry and coordinate systems

層厚=0.127mm 鋪層數目=6ν23=0.5 ν12=ν13=0.42 E11=142GPaE22=E33=9.8GPa G12=G13=6.0GPa G23=4.83GPa

1.2葉片位移函數

基于Badir等[24]給出的變分漸進法得到的各向異性薄壁閉口截面梁的位移場函數，且令x位置所在的截面沿x，y，z坐標軸方向的平均位移分別為U1(x)、U2(x)、U3(x)，該截面的扭轉角為φ(x)，則有梁上任意一點的位移函數為：

(2)

1.3葉片運動方程

基于位移方程(2)計算變截面翼型梁的動能密度、應變能密度，進而得到拉格朗日密度函數，應用推廣的連續系統拉格朗日方程可以得到變截面翼型葉片的自由振動微分方程[19]：

C11′U1′+C11U″1+C12′φ′+C12φ″+C13′U″3+C13U?3+

(3)

(4)

(5)

(6)

式中:Cij(i=1,2,3,4;j=1,2,3，4)為葉片的剛度系數，數值大小與截面的尺寸和復合材料的鋪層角度有關。mc為單位長度的質量，Iy和Iz為葉片截面對y軸和z軸慣性矩，Sy和Sz為葉片截面對y軸和z軸的靜矩。限于篇幅上述葉片的剛度和質量慣性系數的具體表達式可參見文獻[16]。

本文采用連續系統振動分析常用的伽遼金近似求解方法，利用假設振型消除葉片空間位置變量，將自由振動方程轉化為關于時間的常微分方程。

拉伸、彎曲和扭轉變形選取標準的非旋轉、非耦合、均勻懸臂梁的振型函數：

cos(βj)*cosh(βj)=-1,(7)

將式(7)的振型函數代入到式(3)～式(6)中，并應用伽遼金法，經化簡可得到下列的4N個常微分方程組：

(8)

其中：

上述矩陣中的各元素具體表達式為：

(9)

通過葉片的剛度矩陣和質量矩陣可以計算出葉片固有頻率。

2有限元模型

葉片振動特性的有限單元分析與求解，采用ANSYS商業軟件完成。由于葉片翼型截面的復雜性，直接由ANSYS建立實體模型難度大、劃分網格精度低。因此，葉片實體模型的構造由曲面造型功能強大的Pro/E軟件實現，再通過專業網格劃分軟件Hypermesh劃分網格，最后導入ANSYS中進行有限單元法的模態分析得到復合材料葉片的自由振動頻率值。有限元分析的單元類型為SHELL181，網格單元數量為3 000個，約束為一端固定一端自由，見圖2。

圖2　翼型截面梁有限元模型 Fig.2 The finite element model of the wing-section beam

3結果分析

針對文獻[23]給出的三種不同的翼型截面梁，應用式(7)～式(10)進行自由振動特性分析，得到的結果列于表2～表4中。由表2數據可知，錐度相同的情況下，三種翼型葉片中，Ⅰ型葉片的固有頻率比Ⅱ型和Ⅲ型葉片的固有頻率大。表3給出了三種翼型葉片不同錐度固有頻率隨轉速的變化情況，由數據分析可知，轉速對于Ⅲ型葉片固有頻率的影響最大，Ⅰ型葉片的影響最小。且不同翼型截面葉片的第1階和第3階頻率受轉速影響幅度最大。由表4可知，三種葉片的固有頻率都是隨著鋪層角度的增加而逐漸降低，且Ⅰ葉片受鋪層角度的影響最為明顯。

表2　三種翼型截面不同錐度梁的前5階固有頻率及質量

表3　三種翼型截面不同轉速葉片前5階固有頻率

三種翼型的葉片固有頻率隨轉速、鋪層角度和錐度的變化規律是類似的，為了更加直觀地了解翼型截面固有頻率的變化情況，圖3、圖4和圖5以Ⅱ型葉片為例，給出了其前三階固有頻率隨轉速、鋪層角度和錐度的變化規律。由圖3可知，鋪層角度為20°時，不同錐度葉片的前三階固有頻率隨著轉速的增加而逐漸增大，且錐度越小轉速的影響也越明顯。圖4說明了轉速為100 rad/s時，不同錐度葉片固有頻率隨著鋪層角度的變化規律。可見不同錐度的葉片，固有頻率隨著鋪層角度的增加是逐漸降低的。圖5給出了鋪層角度為20°，轉速為100 rad/s時前三階固有頻率隨錐度的變化規律。可見隨著錐度的增加，固有頻率值是降低的。

圖3　翼型葉片固有頻率隨轉速變化規律 Fig.3 The natural frequencies of airfoil blade vs beam rotating speed

圖6顯示了MATLAB理論分析結果與ANSYS有限單元法分析結果的對比。圖中的葉片參數信息為：翼型為Ⅱ型，轉速為100 rad/s，錐度為0.5，由圖可見二者的計算結果隨鋪層角度的變化規律是完全一致的，說明了本文對翼型分析的可靠性。需要指出的是，與文獻[19]的矩形截面梁ANSYS有限單元法與MATLAB理論數值分析法求解結果相比，翼型截面葉片的MATLAB理論分析結果與ANSYS分析結果的誤差要明顯高于矩形截面梁，這是由于翼型截面葉片方程的耦合程度要明顯高于矩形截面梁，且理論分析模型沒有考慮橫向剪切變形的影響。

表4　三種翼型截面不同鋪層梁的前5階固有頻率

圖4　翼型葉片固有頻率隨鋪層角度變化規律 Fig.4 The natural frequencies of airfoil blade vs ply angel

圖5　翼型葉片前3階固有頻率隨錐度變化規律 Fig.5 The first three natural frequencies of airfoil blade vs taper ratio

圖6　前三階固有頻率隨鋪層角度變化規律 Fig.6 The first three natural frequencies vs ply angle

4結論

本文應用基于復合材料梁的位移函數建立了翼型截面葉片的自由振動微分方程。基于上述理論模型計算和比較了三種不同截面形狀的葉片的自由振動特性。研究結果表明，錐度、弦長和葉片長度相同的條件下，Ⅰ型葉片的固有頻率相對最大，且受到轉速的影響最小，受到鋪層角度的影響最大。以Ⅱ型葉片為例給出了鋪層角度、轉速和錐度等對固有頻率影響的曲線圖。將本文提出的理論分模型結果與基于pro/E、Hypermesh和ANSYS的分析結果進行了對比，說明了理論分析結果的正確性。基于本文提出的理論近似模型研究葉片的振動特性與基于ANSYS的有限元動力學建模方法相比，在確保滿足工程要求精度的前提下，同時具有降低計算成本, 便于參數分析等優越性。

參考文獻

[1]Mansfield E H, Sobey A J. The fiber composite helicopter blade. Part I: stiffness properties. Part II: prospects of aeroelastic tailoring [J]. Aeronaut Quart, 1979, 30:413-449.

[2]Mansfield E H. The stiffness of a two-cell anisotropic tube [J]. Aeronaut Quart, 1981, 32: 338-353.

[3]Libove C. Stresses and rate of twist in single cell thin-walled beams with anisotropic walls [J]. American Institute of Aeronautics and Astronautics Journal, 1988, 26(9):1107-1118.

[4]Song O, Librescu L. Free vibration of anistropic composite thin-walled beams of closed cross-section contour [J]. Journal of Sound and Vibration, 1993, 167(1): 129-147.

[5]Song O, Librescu L. Structure modeling and free vibration analysis of rotating composite thin-walled beams [J]. American Helicopter Society, 1997, 42(4):358-369.

[6]Song O, Librescu L. Modeling and dynamic behavior of rotating blades carring a tip mass and incorporating adaptive capabilities [J]. Acta Mechanica, 1999, 134:169-197.

[7]Song O, Librescu L, Oh S Y. Vibration of pretwisted adaptive rotating blades modeled as anisotropic thin-walled beams [J]. American Institute of Aeronautics and Astronautics Journal, 2001, 39(2):285-295.

[8]Song O, Librescu L, Oh S Y. Dynamic of pretwisted rotating thin-walled beams operating in a temperature environment [J]. Thermal Stresses, 2001, 24(3):255-279.

[9]Chandiraman N K, Librescu L, Shete C D. On the free vibration of rotating composite beams using a higher-order shear formulation [J]. Aerospace Science and Technology, 2002, 6:545-561.

[10]Oh S Y, Song O, Librescu L. Effects of pretwist and presetting on coupled bending vibrations of rotating thin-walled compostie beams [J]. Solids and Structures, 2003, 40:1203-1224.

[11]Librescu L, Na S S. Active vibration control of doubly tapered thin-walled beams using piezoelectric actuation [J]. Thin-Walled Structures, 2001, 39:65-82.

[12]Na S S, Librescu L. Dynamic behavior of aircraft wings modeled as doubly-tapered composite thin-walled beams [C]. Recent Advances in Solids and Structures, New York: ASME, 1999(398):59-68.

[13]Na Sungso, Liberscu L, Shim J K. Modeling and bending vibration control of nonuniform thin-walled rotating beams incorporating adaptive capabilities [J]. Mechanical Sciences, 2003, 45:1347-1367.

[14]Berdichevsky V, Armanios E A, Badir A M. Theory of anistropic thin-walled closed-cross-section beams [J]. Composites Engineering, 1992, 2:411-432.

[15]Badir A M. Analysis of advanced thin-walled composite structures [D]. Atlanta: Georgia Institute of Technology, 1992.

[16]Armanios E A, Badir A M. Free vibration analysis of anisotropic thin-walled closed-section beams [J]. American Institute of Aeronautics and Astronautics Journal, 1995,33(10):1905-1910.

[17]Dancila S D, Armanios E A. The influence of coupling on the free vibration of anistropic thin-walled closed-section beams [J]. Solids and Structures, 1998, 35(23): 3105-3119.

[18]馬靜敏, 任勇生, 姚文莉. 復合材料封閉變截面薄壁梁自由振動分析[J]. 振動與沖擊, 2012, 31(14):117-124.

MA Jing-min, REN Yong-sheng, YAO Wen-li. Free vibration analysis of composite thin-walled cantilever beams with variable closed-section [J]. Journal of Sound and Shock, 2012, 31(14):117-124.

[19]馬靜敏, 任勇生, 姚文莉. 復合材料變截面旋轉懸臂梁自由振動特性分析[J]. 工程力學,2013,30(1):37-44.

MA Jing-min, REN Yong-sheng, YAO Wen-li.Free vibration analysis of rotating composite thin-walled cantilevel beams with variable closed-section [J]. Engineering Mechanics,2013,30(1):37-44.

[20]Ma J M, Ren Y S, Tan T. Vibration characteristics of composite thin-wall beams [C]. Advanced Material Research, Hai Kou: Trans Tech Publications, 2011 (250-253): 3993-4000.

[21]任勇生，代其義，孫丙磊，等.旋轉幾何非線性復合材料薄壁梁的自由振動分析[J].振動與沖擊,2013,32(14):139-147.

REN Yong-sheng,DAI Qi-yi,SUN Bing-lei, et al. Free vibration of a rotating composite thin-walled beam with large deformation[J].Journal of Vibration and Shock,2013,32(14):139-147.

[22]王學勇.風力發電機葉片設計及三維建模[D].北京:華北電力大學,2008.

[23]王旭東, 陳進,Wenzhong Shen,等. 風力機葉片翼型型線集成設計理論研究[J]. 中國機械工程, 2009, 20(2):211-228.

WANG Xu-dong, CHEN Jin,Wenzhong Shen, et al. Integration study on airfoil profile for wind turbines [J]. China Mechanical Engineering, 2009, 20(2):211-228.

[24]Berdichevsky V, Armanios E A, Badir A M. Theory of anistropic thin-walled closed-cross-section beams [J]. Composites Engineering, 1992, 2:411-432.