Winkler-Pasternak彈性地基FGM梁自由振動二維彈性解

第一作者蒲育男，碩士,講師，1984年5月生

通信作者滕兆春男，副教授，1969年8月生

Winkler-Pasternak彈性地基FGM梁自由振動二維彈性解

蒲育1，滕兆春2

(1. 蘭州工業學院土木工程學院，蘭州730050；2. 蘭州理工大學理學院，蘭州730050)

摘要：基于二維線彈性理論，建立Winkler-Pasternak彈性地基上功能梯度(Functionally Graded Material,FGM)梁自由振動控制微分方程。假設材料物性沿梁厚度方向按冪律分布，采用微分求積法(Differential Quadrature Method,DQM)數值求解4種不同邊界FGM梁自由振動無量綱頻率特性。將計算結果與Winkler-Pasternak彈性地基梁對比表明，該分析方法對彈性地基梁自由振動研究行之有效,并考慮邊界條件、梯度指數、跨厚比、地基系數對FGM梁自振頻率影響。

關鍵詞：Winkler-Pasternak彈性地基；FGM梁；自由振動；無量綱頻率；微分求積法

基金項目：國家自然科學基金(11372123)

收稿日期：2014-07-16修改稿收到日期：2014-10-11

中圖分類號:O343

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.20.013

Abstract:Based on the two-dimension theory of linear elasticity, the free vibration differential equations for FGM beams resting on Winkler-Pasternak elastic foundations were derived. The material properties were supposed to change continuously along the thickness of the beam according to the power law distribution. Using the differential quadrature method (DQM), the dimensionless natural frequencies of FGM beams under four different boundary conditions were investigated. The formulations were validated by comparing the results obtained with those available in the literature for homogeneous beams on Winkler-Pasternak elastic foundations. The influences of the boundary conditions, material graded index, length-to-thickness ratio and elastic coefficients of foundations on the non-dimensional frequency parameters of FGM beams were discussed.

Two-dimensional elasticity solutions for free vibration of FGM beams resting on Winkler-Pasternak elastic foundations

PUYu1,TENGZhao-chun2(1. College of Civil Engineering，Lanzhou Institute of Technology，Lanzhou 730050，China；2. School of Science, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China)

Key words:Winkler-Pasternak elastic foundation; functionally graded material beam; free vibration; dimensionless frequency; differential quadrature method

彈性地基梁的動力學研究在工程領域有十分重要意義及廣泛應用背景，因此已有諸多對其動態響應的研究[1-3]。Rosa等[4]研究彈性地基Euler梁在集中質量塊作用下的自由振動。Chen等[5]結合狀態空間法(SSM)及微分求積法(DQM)數值研究雙參數彈性地基梁的彎曲與自由振動。Ding等[6]用Airy應力函數多項式形式求解彈性地基功能梯度梁在不同邊界條件下的動態響應。Ying等[7]用SSM分析簡支-簡支邊界條件的二維彈性地基FGM梁彎曲、自由振動。Alshorbagy等[8]采用FEM分析FGM梁自由振動。Thai等[9]基于高階剪切梁理論，研究FGM梁彎曲、自由振動。然而對梁自由振動研究大多基于不同的梁理論。

經典梁理論忽略橫向剪切變形影響，故僅適用細長梁。而一階剪切梁理論克服經典梁理論局限性，考慮橫向剪切變形影響。本文針對金屬-陶瓷功能梯度梁，假設材料性能沿厚度方向呈梯度分布，基于二維線彈性理論，建立Winkler-Pasternak彈性地基FGM梁自由振動微分方程，采用二維DQM數值研究FGM梁自由振動無量綱頻率特性，并與各向同性材料梁結果比較。結果顯示，該分析方法適用研究彈性地基長梁、短梁自由振動。且DQM較有限差分、有限元、邊界元等數值方法具有易收斂、精度高、工作量小等優點?？紤]邊界條件、梯度指數、跨厚比、地基系數等對FGM梁自振頻率影響，獲得有益結論。

1控制微分方程及參數的無量綱化

考慮單位寬度金屬-陶瓷功能梯度非均勻材料梁見圖1，其材料性質沿厚度方向呈梯度分布。梁的上表面為陶瓷(ZrO2)，下表面為金屬(Ti-6Al-4V)。彈性模量E，泊松比μ，密度ρ等物性參數是坐標z的函數，用統一式可表示為

(1)

式中：P為梯度指數。

圖1　Winkler-Pasternak彈性地基FGM梁 Fig.1 Geometry of a FGM beam on Winkler-Pasternak foundation

設Winkler-Pasternak彈性地基系數分別為kp及kw，x方向位移分量為u，z方向位移分量為w，建立坐標系(圖1)?；诙S線彈性理論，物理方程為

(2)

式中：Ci j為材料物性系數，滿足關系式為

(3)

將幾何方程代入物理方程，再將物理方程代入運動方程得彈性地基FGM梁自由振動微分方程為

(4)

彈性地基梁上下邊界條件為

在z=0處

(5)

在z=h處

σz=0，τxz=0

(6)

考慮4種梁的邊界條件，即

左端簡支-右端簡支(S-S)

x=0及x=l處：σx=0及w=0

(7)

左端固支-右端固支(C-C)

x=0及x=l處：u=w=0

(8)

左端固支-右端簡支(C-S)

(9)

左端固支-右端自由(C-F)

(10)

無量綱化為

(11)

式中：A為橫截面面積；J為慣性矩；ω為固有頻率；λ為無量綱頻率。

設位移分量為

(12)

式中：I為虛數單位。

將式(11)、(12)代入式(4)及式(5)～式(10)，可得控制微分方程及相應邊界條件。

控制微分方程為

(13)

邊界條件為:下邊界η=0處

(14)

上邊界η=1處

(15)

左右邊界ξ=0，ξ=1處

固支端(C)

U=W=0

(16)

簡支端(S)

(17)

自由端(F)

(18)

2DQM離散化及特征值問題

由文獻[10-11]，DQM中梁在x、z方向節點劃分算式為

式中：Nξ,Nη分別為ξ及η方向節點總數。

一、二階導數權系數矩陣滿足關系式為

(21)

式中：η與ξ方向權系數矩陣類似，此處省略。

微分方程(13)用DQM離散化后為

式(14)、(15)離散化后分別為

(23)

式中：i=1, 2, …,Nξ； j=1。

(24)

式中：i=1, 2, …,Nξ； j=Nη。

式(16)～式(18)離散化后分別為

(25)

(26)

自由端(F)：

(27)

式中：i=1，Nξ；j=2,3,…Nη-1。

式(23)、(24)與(25)～式(27)對應組合可得4種不同邊界條件彈性地基FGM梁，即

左端簡支-右端簡支(S-S) 彈性地基FGM梁

左端固支-右端固支(C-C) 彈性地基FGM梁

左端固支-右端簡支(C-S) 彈性地基FGM梁

左端固支-右端自由(C-F) 彈性地基FGM梁

式(22)與式(23)～式(27)對應聯立后便構成不同邊界條件Winkler-Pasternak彈性地基FGM梁自由振動邊值問題，用分塊矩陣形式表示為

(28)

[S]{wb}-Ω2[I]{wb}={0}

(29)

式中：[S]=[Sbb]-[Sbd][Sdd]-1[Sdb]；[I]為單位陣； {wb}為特征向量，可描述彈性地基FGM梁自由振動振型。

3計算結果與分析

算例中FGM梁金屬-陶瓷材料物性系數分別為Em=122.7 GPa,μm= 0.288 8,ρm= 4 420 kg/m3,Ec=132.2 GPa,μc= 0.333,ρc=3 657 kg/m3，節點數Nξ=17，Nη= 13，編寫MATLAB程序獲得式(29)特征值問題無量綱頻率。不同地基參數下各向同性材料(p=0)簡支梁自由振動基頻見表1，其中泊松比μ=0.3，將所得結果與文獻[4-5]進行比較知，本文結果與其非常接近，且取較少節點數即能滿足精度所需，工作量較小，說明DQM對研究本問題適用性與優越性。當s=1/120，1/15時可視為長梁(Bernoulli-Euler梁)；s=0.2時可視為短梁(Timoshenko梁)。由表1可見，本文方法對長、短梁自由振動分析均適用。

固支-簡支(C-S)邊界FGM梁在不同厚跨比、不同地基系數下自由振動前三階無量綱頻率見表2。由表2看出，梁的厚跨比s、Winkler彈性系數Kw及剪切地基系數Kp對頻率均有影響，所得數值結果可作為工程結構振動分析的參考依據。

表1　彈性地基簡支梁自由振動基頻λ 1結果比較(S-S)，μ=0.3

表2　彈性地基FGM梁自由振動前三階無量綱頻率(C-S)，p=1

各向同性梁(p=0)幾何參數(跨厚比1/s=l/h)對C-C梁、S-S梁、C-F梁一階無量綱頻率影響見圖2，其中泊松比μ=0.3，地基系數Kw=1 000，Kp=10。由圖2看出，l/h=[2,50]范圍內跨厚比越小其對短梁自由振動頻率影響越明顯；跨厚比越大其對長梁自由振動頻率影響越不明顯。1/s≥10時跨厚比對梁頻率影響較小，此時可視為細長梁，符合對細長梁的劃分界限；但相關報道較少。

彈性地基各向同性梁(p=0)在C-C、C-S、S-S、C-F四種邊界下一階無量綱頻率λ1隨Winkler地基系數Kw的變化見圖3，其中剪切地基系數Kp=10，厚跨比s=0.2，泊松比μ=0.3。由圖3可見，Kw=[0,500]范圍內，對四種不同邊界λ1均隨Kw增大而增大，且相同參數時基頻由大到小順序為C-C梁、C-S梁、S-S梁、C-F梁。而剪切地基系數Kp對梁頻率影響類似。由此知，系統地基彈性越大頻率較高，約束越強頻率較大。

Winkler彈性系數Kw與FGM固支-固支(C-C)梁一階無量綱頻率λ1關系曲線見圖4。其中Kw=[0,1 000]，Kp=10，s=0.2。顯然，對不同梯度指數p，λ1均隨Kw增大而增大。

剪切地基系數Kp與FGM簡支-簡支(S-S)梁一階無量綱頻率λ1關系曲線見圖5，其中Kp=[0,100]，Kw=100，s=0.2。由圖5看出，對不同梯度指數p，λ1均隨Kp增大而增大。

跨厚比1/s與FGM固支-簡支(C-S)梁一階無量綱頻率λ1關系曲線見圖6，其中1/s=[5,50],Kw=100，Kp=10.由圖6看出，對不同梯度指數p，1/s對C-S短梁頻率λ1影響明顯，而對長梁頻率λ1影響不明顯。在相同參數下，梯度指數越大頻率越小。

不同剪切系數下，FGM固支-固支(C-C)梁Winkler彈性系數Kw與一階無量綱頻率λ1的關系曲線見圖7，其中橫坐標用指數劃分，厚跨比s=h/l=0.2，p=1。由圖7可見，在相同參數下，頻率λ1先隨地基系數Kw增大而增大，當Kw取得較大值時頻率基本保持不變(收斂)。表明Kw大到一定值時地基彈性已逐步過渡到“剛性”狀態，Kw對λ1影響變小。同樣，剪切地基系數Kp對梁自由振動頻率關系類似，但相關報道較少。

圖2 幾何系數跨厚比對一階無量綱頻率影響Fig.2Theeffectofthegeometricalparameteronthefirstnon-dimensionalfrequencyparameterofthebeamonelasticfoundation圖3 Winkler地基系數對一階無量綱頻率影響Fig.3Thefirstnon-dimensionalfrequencyparameterversusWinklerelasticcoefficient圖4 固支梁一階無量綱頻率與地基系數關系Fig.4Thefirstnon-dimensionalnaturalfrequencyparameterofC-CFGMbeamonelasticfoundationversusKw

圖5 簡支梁一階無量綱頻率與地基系數關系Fig.5Thefirstnon-dimensionalnaturalfrequencyparameterofS-SFGMbeamonelasticfoundationversusKp圖6 幾何系數對彈性地基FGM固支-簡支梁一階無量綱頻率影響Fig.6Theeffectofthegeometricalparameter1/sonthefirstnon-dimensionalnaturalfrequencyparameter圖7 FGM固支梁一階無量綱頻率與地基系數關系Fig.7Thefirstnon-dimensionalnaturalfrequencyparameterofC-CFGMbeamversusKw

圖8　固支-簡支梁前三階 無量綱頻率與梯度指數關系 Fig.8 The effect of the material graded index p on the first three non-dimensional frequency parameters of the C-S FGM beam

彈性地基FGM梁在固支-簡支(C-S)邊界下前三階無量綱頻率λ與梯度指數p關系曲線見圖8，其中p=[0,100]，Kw=100，Kp=10，s=0.2。由圖8看出，λ隨梯度指數p增大而減小，p增大到一定值時頻率趨于常數。該關系曲線與金屬—陶瓷材料物性有關，p=0時FGM梁退化為各向同性陶瓷(ZrO2)梁，p趨于∞時FGM梁視為各向同性金屬(Ti-6Al-4V)梁。

4結論

(1)基于二維線彈性理論建立Winkler-Pasternak彈性地基FGM梁自由振動方程，用二維DQM獲得不同邊界條件下梁自由振動無量綱頻率，通過與已有結果比較表明，DQM對彈性地基長、短梁自由振動分析行之有效。

(2)Winkler彈性地基系數與剪切地基系數均對梁振動頻率有顯著影響。梁自振頻率隨地基系數增大而增大，地基系數增大到一定值時頻率基本不變，地基彈性已逐步過渡到“剛性”狀態，即地基彈性越大頻率較高；約束越強頻率較大。地基系數足夠大，頻率趨于固定值。

(3)幾何系數跨厚比越小對短梁自由振動頻率影響越明顯，跨厚比越大對長梁自振頻率影響越不明顯?？绾癖萳/h≥10時對梁頻率影響較小，此時可視為細長梁(符合力學教材對細長梁的劃分界限)。

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