層狀巖體濾波特性研究

第一作者王觀石男，博士，副教授，1977年生

層狀巖體濾波特性研究

王觀石1，龍平1，胡世麗1,2

(1.江西理工大學建筑與測繪工程學院，江西贛州341000；2.中國地質大學工程技術學院，北京100083)

摘要：用振幅、相位透射、反射系數描述應力波在結構面的波形變化，充分考慮應力波在層間、層內多重透射、反射條件下建立層狀巖體中透射、反射系數計算模型；分別計算的層狀巖體透射系數及波形與已有研究結果吻合，表明該模型計算結果合理。討論結構面剛度、巖層厚度及結構面數量對層狀巖體濾波特性影響。結果表明，結構面剛度及巖層厚度是影響彈性層狀巖體濾波特性的主要因素，層狀巖體具有多尺度梳狀濾波器特性，隨巖層厚度與波長之比γ增加，振幅透、反射系數成兩種尺度周期性變化，由層內多重透、反射形成大尺度周期γ=0.5，并存在一個帶通、一個帶阻，在帶通內又存在多個小尺度周期，由層間多重透、反射形成；層狀巖體具有多帶通濾波特性，結構面剛度增加，巖體帶通上、下限頻率同時增加，且上限頻率增加幅度較下限大，隨頻率增加，帶通寬度近似成負指數減小；所有巖層厚度相同時帶通中心頻率約為巖層一階固有頻率的整數倍，各巖層厚度不相等時層狀巖體僅在各巖層共同諧振頻率處表現為帶通。

關鍵詞：層狀巖體；多重透反射；梳狀濾波器；低通濾波

基金項目：國家自然科學基金(41462009,51104069)；2014年江西理工大學科研基金(NSFJ2014-G06)

收稿日期：2014-11-27修改稿收到日期：2015-04-27

中圖分類號:TU443

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.20.023

Abstract:The waveform change of stress wave propagating across the interfaces can be described by the transmission and reflection coefficients of its amplitude and phase. The calculation model for the transmission and reflection coefficients of stress wave propagating through stratified rock mass was established on the basis of considering fully the conditions of propagating through multiple interlayers as well as the intrastratal transmissions and reflections. The transmission coefficient and transmission waveform through stratified rock mass were calculated using the established model, and the results are of good agreement with the previous research results. The analysis results show that the model is reasonable. The effects of interface stiffness, thickness of stratum and interface number on the filter property of stratified rock mass were discussed. The study results indicate that interface stiffness and thickness of stratum are the main influential factors on filter property of elastic stratified rock mass. And the stratified rock mass has the multi-scale comb filtering properties. The amplitude transmission and reflection coefficients have two-scale periodic change with the increase of the ratio of stratum thickness to wavelength. The large-scale period, for intrastratal multiple transmissions and reflections of stress wave across stratified rock mass, is 0.5. There exist a pass band and a stop band in a large-scale period. There are as well multiple small-scale periods in a pass band caused by multiple transmissions and reflections between interlayers. The stratified rock mass possesses the multiple band-pass filtering property. The upper limit frequency and lower limit frequency of pass band increase simultaneously with the increased of interface stiffness. The increased extent of upper limit frequency is more than that of lower limit frequency. The width of pass band decreases approximately in a negative exponential form with the increase of frequency. The center frequency of pass band is about an integral multiple of the first order inherent frequency of stratum when each stratal thickness is equal. But, the stratified rock mass has the band-pass property only at its resonance frequency when each stratum has unequal thickness.

Filter property of stratified rock mass

WANGGuan-shi1,LONGPing1,HUShi-li1,2(1. Jiangxi University of Science and Technology, School of Architectural and Surveying Engineering, Ganzhou 341000，China；2. China University of Geosciences, School of Engineering and Technology, Beijing 100083，China)

Key words:stratified rock mass; multiple transmissions and reflections; comb filter; low-pass filtering

層狀巖體在各類工程建設中經常遇到，研究應力波在其中的傳播過程及規律具有重要意義[1-2]。單一結構面透射、反射系數作為研究應力波在層狀巖體中傳播規律基礎，已建立巖層緊密連接模型、巖層彈簧連接模型、軟弱夾層模型、結構面非線性變形模型及結構面黏彈性變形模型等[3-4]。與單一結構面相比，應力波在層狀巖體傳播過程復雜得多，主要原因為應力波會發生層內及層間多重透射、反射，產生大量相干波形，導致波場計算非常復雜。

針對精確疊加多重透射、反射波計算的困難，已提出等效介質法。研究結果表明，巖層厚度與波長之比遠小于1時，層狀介質波動現象方可用等效介質理論描述[5]。而該方法忽略應力波在結構面間的多重透射、反射作用，不能完全體現節理巖體的頻率相關性，因而在某些頻率范圍內對介質的動力特性反映不準確[6-7]，故嘗試建立充分考慮多重透射、反射條件的系數計算公式。Pyrak-Nolte等[8]利用位移不連續模型研究應力波在多個平行且剛度相等結構面間的傳播過程，認為結構面間距與入射波波長相比較大時，可不考慮應力波多重透、反射；結構面間距與波長相比較小時多重反、透射影響較顯著，并在不考慮多重透、反射條件下給出層狀巖體總透射系數計算公式。Cai等[9]在考慮多重反射前提下將位移不連續模型與特征值方法相結合，研究應力波垂直入射多個平行結構面時的衰減問題。結果表明，結構面間距與波長之比ζ對層狀巖體總透射系數具有重要影響，隨ζ增加總透射系數先增加后減小，最后趨于穩定值，且與基于一次透射波計算的透射系數相等，存在兩個臨界值ζcri1與ζcri2。文獻[10]研究表明，兩個臨界值與K/Zω有關，K/Zω增大臨界值減小。LI等[11]通過引入“虛振源”概念，討論應力波在層狀巖體中的傳播特性，將透射波分為直達波與多重透射波兩部分，建立等間距平行節理巖體的透射系數計算模型。

應力波穿過一組平行節理巖體時波形會發生明顯變化[12]，數值計算、理論及試驗研究結果表明，應力波穿過層狀巖體或隨機介質模型，形成特征頻率及特征波形, 不同厚度巖層會對某一頻率的波產生明顯放大效應[13]，波場橫向中心頻率、縱向中心頻率及能量相對值均隨介質自相關長度增加而降低，隨機介質模型特征頻率隨自相關長度倒數成正比關系[14]。特征頻率及波形本質上一致，前、后者分別在頻、時域上反映波場信息。解釋此現象，不僅需充分考慮應力波在層狀巖體中層內、層間多重透射、反射，亦需建立可考慮任意巖層厚度、結構面剛度的數學模型。

應力波穿過層狀巖體總透射波為所有透射波的疊加，每一列透射波不僅受巖層幾何參數(巖層厚度)、物理力學參數(密度、巖層彈模和結構面剛度)及入射波頻率、相位影響，且受多重反射波影響，給出嚴謹的透射、反射系數計算公式有一定難度；但可進行不同程度簡化，如假設巖層為等厚度或巖層物理力學參數相等。

本文用振幅透射、反射系數與相位透射、反射系數描述應力波在結構面的波形變化，將應力波穿過含m條平行結構面過程分解為應力波下行入射與上行入射(m-1)條結構面及單一結構面兩種，充分考慮應力波多重透射、反射，建立水平層狀巖體中透射、反射系數計算模型，分析結構面剛度、巖層厚度及結構面數量對層狀巖體透射系數影響規律。

1層狀巖體濾波的計算模型

1.1P波穿過線性變形結構面振幅及相位變化

考慮水平層狀巖體，巖層間為薄結構面，建立坐標系，z軸向下為正向，坐標原點在巖層1、2間結構面1上，隨z軸坐標值增加巖層及結構面編號從1依次增加，第1個巖層與最后一個巖層均為半無限體。當一列圓頻率為ω的P波垂直入射至層狀巖體，在結構面處產生反射P波及透射P波時，傳播方向與z軸正向一致的稱為下行波，反之為上行波。P波入射至結構面后，設結構面發生線性變形，結構面兩側應力連續，位移不連續量等于應力與節理剛度之比，不考慮多重透射、反射時P波在結構面i的總透射、反射系數[15]分別為

(1)

(2)

式中：下標i為結構面及巖層編號；T_i為P波在結構面i的總透射系數；Ri為P波在結構面i的總反射系數；j為虛數單位；ω為入射波圓頻率；Ki為結構面i的法向剛度；Zi為第i巖層P波阻抗。

由式(1)知，簡諧P波通過線性變形結構面的總透射系數為復數形式，表明結構面同時影響透射波振幅及相位。為便于分析結構面對透射波振幅譜、相位譜影響，將總透射系數模定義為振幅透射系數，將總透射系數幅角主值定義為相位透射系數，反射波定義相同。在結構面i處振幅透射、相位透射系數分別為

(3)

(4)

(5)

(6)

P波在結構面i處的振幅及相位反射系數為

(7)

(8)

(9)

(10)

由式(3)～式(10)對比看出，對單一線性變形結構面，入射波從結構面任一側入射時振幅反射系數與相位透射系數不發生變化，但振幅透射系數與相位反射系數發生變化。

1.2層狀巖體透射及反射系數

在討論及計算公式基礎上，充分考慮多重透射、反射條件下P波穿過層狀巖體的透、反射系數計算。本文據各列透、反射波振幅及相位變化，設已知應力波垂直穿過(m-1)條平行結構面的透射、反射系數，將應力波垂直穿過m條平行結構面情況轉化為多次穿過(m-1)條結構面與單一結構面組合情況，從而建立應力波垂直穿過m條及(m-1)條平行結構面的透射、反射系數計算模型。

圖1　P波在層狀巖體中傳播過程 Fig.1 P-wave propagation process across stratified rock mass

圖2　下行入射P波時透、反射簡圖 Fig.2 Transmission and reflection diagram of downward incident P-wave

圖3　上行入射P波時透、反射簡圖 Fig.3 Transmission and reflection diagram of upgoing incident P-wave

(11)

設第i巖層厚度、波速為hi、ci，第i巖層走時i=hi/ci(不考慮第1層巖層走時，1=0)，前(m-1)個巖層走時及τi，不考慮第1及最后1層巖層走時，m≤2時T=0。由分析知，p波在層狀巖體傳播過程中振幅變化由振幅透射系數計算，相位變化由相位透射系數計算，并考慮走時引起的相位。設入射p波振幅為u0、圓頻率為ω、初相位為φ0的正弦波，寫出p2、p6、p10的計算公式為

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

給定各巖層阻抗、厚度、波速及結構面剛度，由式(16)、(18)、(22)、(24)可計算應力波穿過m條結構面的透射、反射系數，即此4式構成層狀巖體中透射、反射系數計算模型。

2層狀巖體濾波模型驗證

各巖層厚度相等時，定義γ為巖層厚度h與波長λ之比，即γ=h/λ。據遞推公式，采用歸納法可論證獲得振幅透射系數關于γ的周期為0.5(論證過程在此不詳述)。結構面數量為2時法向剛度均為5.4 GPa/m，巖層密度均為2 700 kg/m3，各巖層P波波速均為4 000 m/s，入射波頻率為50 Hz。改變巖層厚度，用本文遞推公式計算獲得振幅透射系數與γ的關系，并與文獻[16]結果比較，見圖4。由圖4看出，兩種計算結果吻合較好，表明本文應力波穿過層狀巖體計算模型合理。

圖4　γ對振幅透、反射系數影響 Fig.4 Effect of γ on amplitude transmission and reflection coefficients

一個半正弦波垂直入射至結構面數量為5的層狀巖體時，入射波頻率為100 Hz，振幅為1.0 m/s，結構面剛度均為3.5 GPa/m，巖層密度為2 650 kg/m3，巖層波速為5 746.2 m/s，巖層厚度為5.75 m。據本文層狀巖體振幅、相位透射系數計算獲得半正弦波穿過層狀巖體波形，并與文獻[17]結果比較，見圖5。由圖5看出，采用兩種方法計算所得波形非常一致，表明本文的遞推公式合理。

圖5　半正弦波穿過層狀巖體波形變化 Fig.5 Waveform change of half sine wave propagation across the stratified rock mass

3層狀巖體濾波特性

3.1層狀巖體多帶通濾波

設基本參數為：巖層密度ρ=2 500 kg/m3，巖層P波阻抗Z=8.0 MPa·s/m。當入射波頻率為50 Hz、結構面數量為10時，結構面剛度均為4 GPa/m。改變巖層厚度，計算所得振幅透射系數與γ關系見圖6，相位透射系數見圖7。由兩圖看出，結構面間距與各巖層物理力學參數相同時，層狀巖體具有多尺度周期帶通濾波特性，振幅透射、反射系數隨巖層厚度與波長之比成周期性變化；周期為0.5，在每周期內存在一個帶通、一個帶阻，在帶通內又存在多個小透射系數峰并在帶通內等間距分布，個數與巖層數相等，反射系數類似。本文計算模型中，設第1巖層與最后1個巖層均為半無限體，不考慮第1巖層上邊界及最后1個巖層下邊界反射，因此當結構面數量為10時，參與多重透射、反射的巖層數量為9個，與圖6、圖7 中小透射系數峰個數相等。

分析表明，對任意巖層數量，振幅透射系數關于γ的周期為0.5，若考慮層內多重透射、反射過程，巖層厚度為半波長及整數倍時，振幅透射系數最大，即層內透射系數成周期性變化；若考慮層間多重透射、反射，即各巖層總厚度為半波長及整數倍時，振幅透射系數最大，亦成周期性變化。對含10個結構面的層狀巖體，若同時考慮層內與層間的多重透射、反射，每一巖層厚度增加半波長的1/9時，各巖層總厚度增加半波長，因層間多重透射、反射使振幅透射系數出現最大值；所有巖層厚度均增加半波長時，層內與層間的多重透射、反射使振幅透射系數出現最大值。此時層狀巖體的振幅透射系數才出現一個周期。相位透射系數分析過程類似?？傊?，振幅透射系數關于γ的大周期由層內多重透射、反射決定，小透射系數峰形成的小周期由層間多重透射、反射決定。

巖層厚度為2 m時(其它參數同前)，改變入射波頻率，計算獲得振幅透射系數與頻率的關系見圖8。由圖8看出，在頻域內層狀巖體的帶通區間分兩部分，即低通區間與高頻帶通區間。低通區間透射系數大并成非對稱波浪式分布，共9個谷，第2個及其后的帶通組成高頻帶通區間，該區間內透射系數成對稱波浪式分布，共9個峰；層狀巖體表現梳狀濾波器，隨頻率增加帶通寬度減小，前3個帶通寬度分別為300 Hz、88 Hz、48 Hz。

圖6 γ對振幅透射、反射系數影響Fig.6Effectofγonamplitudetransmissionandreflectioncoefficients圖7 γ對相位透射、反射系數影響Fig.7Effectofγonphasetransmissionandreflectioncoefficients圖8 振幅透射系數與頻率關系Fig.8Relationshipbetweenamplitudetransmissioncoefficientandfrequency

3.2結構面剛度對層狀巖體濾波影響

結構面數量為15、巖層厚度均為2.0 m、巖層密度阻抗為基本參數、所有結構面剛度相等時，改變結構面剛度，定義中心頻率為帶通上、下限頻率的平均值，計算獲得帶通寬度與結構面剛度及中心頻率關系見圖9，用相位解纏繞運算所得相位透射系數與結構面剛度、頻率關系見圖10。由圖9看出，頻率增加帶通寬度近似成負指數減小，結構面剛度增加帶通下限頻率略有增加，上限頻率增加明顯，使帶通寬度增加，中心頻率也有所增加；頻率越小帶通寬度及中心頻率增加越明顯，如結構面剛度從2 GPa/m增加到15 GPa/m，第2個帶通下限頻率從800.6 Hz增加到804.1 Hz，而上限頻率從847.2 Hz增加到1 058.5 Hz，下限頻率增加3.5 Hz，上限頻率增加211.3 Hz，帶寬增加207.8 Hz，但第7個帶通下限頻率從4 800.4 Hz增加4 800.8 Hz，而上限頻率從4 808 Hz增加到4 861.7 Hz，帶寬增加53.3 Hz，較第2帶通帶寬增加幅度小得多。由圖10看出，結構面對應力波傳播具有延遲作用，其剛度越小相位透射系數越大，即延遲越大，且隨頻率增加相位延遲量增加。研究結果表明[18]，隨剛度增加諧振頻率向高頻方向漂移，本文結果與其一致。

圖9 巖體帶通寬度與結構面剛度及中心頻率關系Fig.9Relationshipbetweenband-passwidthofrockmassandinterfacestiffnessandcenterfrequency圖10 相位透射系數與結構面剛度及頻率關系Fig.10Relationshipbetweenphasetransmissioncoefficientsandinterfacestiffnessandfrequency圖11 結構面剛度漸變時振幅透射系數與頻率關系Fig.11Relationshipbetweenamplitudetransmissioncoefficientsandfrequencyforgradualchangesininterfacesstiffness

以結構面剛度遞減為例，研究結構面剛度不相等時層狀巖體中透射系數變化規律。結構面數量為5時其剛度分別為5 GPa/m、4 GPa/m、3 GPa/m、2 GPa/m、1 GPa/m(其它參數同前)，計算獲得漸變剛度下振幅透射系數與頻率關系，并與結構面剛度均為3 GPa/m時的振幅透射系數比較，見圖11。由圖11看出，結構面剛度逐漸減小時層狀巖體仍表現為多帶通濾波特性，在第2個及以后帶通寬度略有增加，但振幅透射系數明顯減小，且帶通內各透射系數峰的間距不相等。如第3個帶通，結構面剛度均為3 GPa/m時各透射系數峰值頻率分別為2 402.4 Hz、2 408.8 Hz、2 416.3 Hz、2 422.6 Hz，各透射系數峰關于中心頻率成對稱分布，而結構面剛度遞減時帶通內各透射系數峰值頻率分別為2 401.9 Hz、2 407.2 Hz、2 414.8 Hz、2 426.4 Hz，成非等間距分布。

3.3巖層厚度對層狀巖體濾波的影響

結構面數量為15，剛度為4 GPa/m，巖層密度、阻抗為基本參數，在巖層厚度相同條件下改變巖層厚度，計算獲得帶通寬度與巖層厚度及中心頻率關系，見圖12，采用相位解纏繞運算獲得相位透射系數與巖層厚度及頻率關系，見圖13。由圖12看出，巖層厚度不同帶通中心頻率也不同。當巖層厚度為2 m時按參數計算得巖層一階固有頻率為800 Hz，前7個帶通中心頻率分別為134.8 Hz、845.2 Hz、1 624.6 Hz、2 416.6 Hz、3 212.6 Hz、4 010.1 Hz及4 808.4 Hz，第2及以后帶通約為巖層一階固有頻率的整數倍，頻率越大帶通中心頻率與該頻率整數倍誤差越?。挥捎? 600 Hz為4種巖層厚度的公共諧振頻率，故4種等巖層厚度層狀巖體在1 600 Hz及整數倍頻率處具有共同帶通；巖層厚度越小諧振頻率越高，帶通個數越少，破碎巖體濾波能力越強。由圖13看出，巖層厚度越大巖體對應力波的相位延遲越大。

對結構面厚度逐漸遞減的巖體，設應力波穿過5層層狀巖體，5巖層厚度分別為5 m、4 m、3 m、2 m、1 m(其它參數同前)，計算得厚度漸變條件下振幅透射系數與頻率關系，并與巖層厚度均為3 m時振幅透射系數比較，見圖14。由圖14看出，與等厚度層狀巖體相比，巖層厚度逐漸減小時層狀巖體仍表現為多帶通濾波特性，但帶通頻率范圍發生變化，厚度漸變巖體在539.7～613.8 Hz范圍內透射系數為0，只在所有巖層的公共諧振頻率1600 Hz及整數倍頻率處振幅透射系數不為0，因此巖層厚度分布對巖體濾波特性具有重要影響；巖層厚度漸變時帶通數減少，帶通寬度減小，帶通內透射系數減小，各透射系數峰值頻率成非等間距分布。

圖12 帶通寬度與巖層厚度及中心頻率關系Fig.12Relationshipbetweenband-passwidthandstratumthicknessandcenterfrequency圖13 相位透射系數與巖層厚度及頻率關系Fig.13Relationshipbetweenphasetransmissioncoefficientsandstratumthicknessandfrequency圖14 結構面厚度漸變時振幅透射系數與頻率關系Fig.14Relationshipbetweenamplitudetransmissioncoefficientandfrequencyforgradualchangesininterfacesthickness

3.4結構面數量對層狀巖體濾波的影響

結構面數量不同，層狀巖體帶通濾波特性會發生變化。結構面剛度為4 GPa/m、巖層厚度2 m時改變結構面數量，計算得巖體帶通寬度與結構面數量及中心頻率關系，見圖15。圖15表明，結構面數量增加帶通寬度增加，但增加幅度較小。隨頻率增加帶通寬度增加幅度減小。如結構面由5增加到15時，第2帶通下限頻率從808 Hz減小到801 Hz，而上限頻率從883增加到889 Hz，帶寬增加13 Hz；第8帶通下限頻率從5 601 Hz減小到5 600 Hz，上限頻率從5 607 Hz增加到5614 Hz，帶寬增加2 Hz，較第2帶通，該帶寬增加幅度小得多。

圖15　巖體帶通寬度與結構面數量及中心頻率關系 Fig.15 Relationship between band-pass width and interface number and center frequency

4結論

用振幅、相位的透射、反射系數描述應力波在結構面的波形變化，建立應力波垂直穿過m條平行結構面透射、反射系數計算模型，計算層狀巖體透射系數及波形，討論結構面剛度、巖層厚度及結構面數量對層狀巖體濾波特性影響，結論如下：

(1)層狀巖體具有多尺度梳狀濾波器特性，振幅透、反射系數隨巖層厚度與波長之比成兩種尺度周期性變化。由層內多重透射、反射形成的大尺度周期為0.5，其內存在帶通、帶阻各一。帶通內存在的多個透射系數峰由層間多重透射、反射形成，對等厚度、等剛度層狀巖體，透射系數峰在帶通內成等間距分布，個數與巖層數相等。

(2)頻域上層狀巖體具有多帶通濾波特性，結構面剛度增加，帶通上、下限頻率同時增加，且上限頻率增幅較下限大，致帶通寬度及中心頻率同時增加，頻率越高增幅越?。活l率增加帶通寬度近似成負指數減??；巖體結構面剛度相等時帶通內各透射系數峰近似等間距分布，不相等時該系數峰成非等間距分布，且數值減小。

(3)所有巖層厚度相等時帶通中心頻率約為巖層一階固有頻率的整數倍，頻率越高兩者誤差越小；巖層厚度越小其諧振頻率越高，巖體帶通數越少，巖體濾波能力越強；各巖層厚度不相等時，層狀巖體僅在各巖層的共同諧振頻率處表現為帶通，即巖層厚度分布對巖體濾波具有重要影響。

(4)結構面數量增加，帶通上限頻率小幅增加，下限頻率小幅減小，各帶通寬度小幅度增加，即結構面數量對彈性層狀巖體影響較小。

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