基于微分求積法的印刷運動薄膜動力穩定性分析

第一作者武吉梅女，博士，教授，博士生導師，1963年10月生

基于微分求積法的印刷運動薄膜動力穩定性分析

武吉梅，陳媛，王硯，武秋敏

(西安理工大學，西安710048)

摘要：以印刷運動薄膜為研究對象進行橫向振動特性及穩定性研究。建立拋物線型變密度運動薄膜計算模型。用微分求積法對運動薄膜橫向振動方程進行離散，獲得運動薄膜的復特征值方程。通過數值求解獲得系統無量綱復頻率與運動速度、密度系數、薄膜張力比的關系曲線，確定密度系數與臨界速度的函數關系，分析密度系數、薄膜張力比對薄膜振動特性影響。結果表明，密度系數及張力比對薄膜穩定性有重要影響。

關鍵詞：印刷運動薄膜；動力穩定性；微分求積法；拋物線變密度

基金項目：國家自然科學基金(11272253,11202159)；陜西省自然科學基金(2014JM7290)；陜西省重點實驗室項目(13JS081)

收稿日期：2015-01-26修改稿收到日期：2015-03-10

中圖分類號:TS803.6

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.20.010

Abstract:A printing moving membrane was concerned and its transverse vibration characteristics and dynamic stability were analyzed. A calculation model of the moving membrane with parabolic density distribution was established. The transverse vibration equation of the printing membrane was discretized using the differential quadrature method, and the complex eigen value equation was obtained. The relation curves of the first three dimensionless complex frequencies versus the dimensionless velocity, the density coefficient and the tension ratio were derived by numerical calculation. The functional relationship between the density coefficient and the critical speed was determined. The effects of density coefficient and tension ratio on vibration characteristics of the membrane were discussed. The numerical results show that the density coefficient and the tension ratio have important impacts on the stability of moving membrane. The study provides a theoretical basis for optimizing the structure of printing press and improving the working stability of high-speed moving membranes.

Dynamic stability of printing moving membrane based on differential quadrature method

WUJi-mei,CHENYuan,WANGYan,WUQiu-min(Xi’an University of Technology, Xi’an 710048, China)

Key words:printing moving membrane; dynamic stability; differential quadrature method；parabolic density distribution

卷筒紙印刷機紙帶、凹版印刷機薄膜、生產線的紙張等均可模化為軸向運動的薄膜。薄膜作為承印材料廣泛用于印刷包裝領域。高速運動的料膜在印刷過程中橫向振動及由振動引發的“皺褶”現象會嚴重影響印品的套印精度，從而影響其質量。諸多場合薄膜密度非恒定，如印刷紙帶或PET膜等。印刷中印版據圖文分布進行潤濕、著墨，通過橡皮滾筒、壓印滾筒對滾將油墨轉移至承印物。該油墨及潤版液必會引起料膜面密度變化；而承印物厚度不均勻也會使面密度發生變化。面密度不均勻會影響薄膜的振動特性、降低印刷的穩定性，進而影響印品質量。因此，研究變密度運動薄膜的橫向振動特性，對有效控制印刷過程中薄膜振動、提高印品套印精度具有重要意義。

近年來，軸向運動系統橫向振動及穩定性研究已取得較大成果。陳立群等[1-4]分別研究軸向運動弦線、梁及薄板的橫向非線性振動問題，并就不同研究對象分析其穩態響應過程。王冬梅等[5]用微分求積數值方法求解軸向加速粘彈性梁的橫向振動控制方程。周銀鋒等[6]研究軸向運動粘彈性板的橫向振動特性。Shin等[7]通過研究軸向運動薄膜面外振動動力特性，發現薄膜固有頻率及振動模型受運動速度、邊界條件、薄膜張力比及長寬比影響。Kulachenk等[8-9]對薄膜非線性動力學行為深入研究，并用算例進行驗證。趙鳳群等[10]研究四邊固支運動矩形薄膜的振動特性。Wu等[11]研究加速運動矩形紙帶的穩定性問題，確定紙帶動力不穩定及穩定性區域，并討論系統參數對不穩定區域影響。Nguyen等[12-13]分別研究軸向運動紙帶、薄膜在給定速度下的穩定性及橫向振動控制問題。Ma等[14]用次最優控制法分析變密度運動紙帶的振動控制問題。

以上研究多為恒定密度下軸向運動體的振動特性及控制問題。本文以印刷運動薄膜為研究對象，建立拋物線型變密度印刷薄膜的振動微分方程。用微分求積法計算變密度薄膜的橫向振動，獲得系統無量綱復頻率與運動速度、密度系數、薄膜張力比的關系曲線，確定密度系數與臨界速度關系。分析密度系數、薄膜張力比對薄膜振動特性影響。

1振動模型建立

變密度印刷運動薄膜計算模型見圖1。其中圖1 (a)、(b)分別為變密度印刷薄膜的力學模型及密度變化規律。將印刷過程中兩對滾筒(或輥子)間支承的一段運動薄膜簡化為數學模型(圖1(a))，并對此段薄膜進行受力分析。

圖1　薄膜力學模型及面密度變化規律 Fig.1 Mathematical model and density change rule

(1)

設薄膜振動時所受外力F(x,y,t)沿z向，得運動薄膜橫向振動微分方程[15]為

(2)

不考慮橫向外力作用即F(x,y,t)=0，將變密度式(1)代入式(2)，整理得拋物線型變密度印刷運動薄膜的橫向振動微分方程為

(3)

引入無量綱量

(4)

將式(3)化為無量綱形式，即

(5)

設方程(5)的解為

w(ξ,η,τ)=W(ξ,η)ejωτ

(6)

將式(6)代入式(5)，得拋物線型變密度印刷薄膜的橫向振型微分方程為

(7)

印刷運動薄膜邊界條件為

(8)

2復特征方程

據微分求積法[16]引入N×N(N=9)個網點，網點劃分形式為

(9)

未知數各階偏導數可表示為

(10)

各階權系數值計算式為

(11)

(12)

對式(7)用微分求積法建立復特征值方程，微分求積形式為

4α(η-η2)ω2Wij=0

(13)

邊界條件的微分求積形式為

(14)

將式(13)、(14)合并成矩陣形式可構成廣義特征值問題，其特征方程為

(15)

式中：R，G，K為矩陣，含薄膜張力比λ、無量綱速度c、密度系數α、長寬比μ等參數。

3計算結果及分析

密度系數α=0時變密度印刷運動薄膜振動方程退化為密度均勻不變的運動薄膜橫向自由振動方程。取α=0，c=0，λ=1，長寬比分別為μ=1及2，計算運動薄膜前3階無量綱振動復頻率，結果見表1。由表1知，利用微分求積法所得振動頻率值與文獻[17]解相吻合，表明用微分求積法求解運動薄膜的橫向振動可行、有效。

表1　橫向振動頻率解的比較

圖2 無量綱復頻率與速度關系(λ=0.5,μ=2,α=0)Fig.2Dimensionlesscomplexfrequencyvariedwithdimensionlessvelocity圖3 無量綱復頻率與速度關系(λ=1,μ=2,α=0)Fig.3Dimensionlesscomplexfrequencyvariedwithdimensionlessvelocity

張力比λ=1、長寬比μ=2、密度系數分別為α=0.4、α=0.7、α=1.0時變密度薄膜第1階無量綱復頻率實部、虛部與速度關系變化曲線見圖4。由圖4看出，隨密度系數增大第1階模態發散失穩的臨界速度不斷減小；第1階模態重新趨于穩定狀態的速度不斷提前。α=1.0時臨界速度提前到cr=0.71。

張力比為λ=0.5、λ=0.8、λ=1.0(α=0.4、μ=2)時第1階無量綱復頻率實部與速度關系曲線見圖5。由圖5看出，張力比增大對三條曲線變化趨勢影響較小，即張力比對臨界速度及第1階復頻率大小影響較小。

張力比為λ=0.5、λ=1時密度系數與3階模態臨界速度關系曲線見圖6。由圖6看出，密度系數增大3階模態臨界速度逐漸減小，兩條曲線基本重合，說明張力比對臨界速度影響較小。

圖4 第1階無量綱復頻率與速度關系(λ=1,μ=2)Fig.4Dimensionlesscomplexfrequencyvariedwithdimensionlessvelocity圖5 第1階無量綱復頻率實部與速度關系(α=0.4、μ=2)Fig.5Dimensionlesscomplexfrequencyvariedwithdimensionlessvelocity圖6 密度系數與前3階模態臨界速度關系Fig.6Relationshipbetweendensitycoefficientandcriticalspeed

4結論

用微分求積法對面密度以拋物線規律變化的印刷運動薄膜振動特性及穩定性進行研究，并通過退化驗證該方法的可行性及有效性。結論如下：

(1)密度系數α=0時前3階無量綱復頻率實部隨無量綱速度增大不斷減小，階數越高，初始復頻率實部值越大；對薄膜穩定工作區中任意相同無量綱速度，張力比增大高階復頻率值不斷增大，薄膜不穩定區域持續范圍隨之增大。

(2)α>0時，在密度系數、長寬比相同情況下，張力比對臨界速度及第1階復頻率大小影響較小。對相同張力比、長寬比薄膜，臨界速度隨密度系數增大而減小，系統重新趨于穩定狀態的速度亦越小，說明此時薄膜的穩定性態變差。

(3)本文計算結果可用于確定印刷機械設計、制造及使用中安全穩定工作速度區間，同時亦為進一步優化印刷機結構提供理論依據。

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