基于壓縮感知的多徑LFM信號參數估計?

(空軍預警學院,湖北武漢430019)

0 引言

線性調頻信號由于具有大的時寬、帶寬積,被脈沖壓縮體制雷達廣泛采用,有效解決了雷達系統作用距離和距離分辨率之間的矛盾。因而,對線性調頻信號的檢測和估計一直是雷達對抗信息處理領域的熱點研究問題。在實際情況中,由于地面反射作用造成的多徑效應使雷達對抗偵察設備接收到的雷達回波信號通常是直接路徑與反射路徑兩種信號的疊加,造成信號在幅度和相位的變化[1-3]。多徑分量包含有目標的重要信息,但卻經常影響雷達對抗偵收設備的檢測與跟蹤性能,對目標檢測和參數估計帶來較大影響[4]。因此,對線性調頻信號的多徑分量參數估計是當前亟需研究的熱點問題。

很多專家和學者采用不同方法在此方面進行嘗試,并取得一些研究成果,比如盲信號分離技術、循環相關變換法等均可對多徑分量進行參數估計。其中,盲信號分離技術即是運用矩陣論思想,通過求解特征向量進行源信號估計,抑制多徑效應和噪聲,提取雷達發射的直接波信號[5]。然而該方法依賴高信噪比,在低信噪比條件下,源信號估計效果降低,難以提取準確的時延(即相位)信息。若彌補低信噪比將大大增加算法復雜度,且信號衰減(或幅度)信息在處理中被丟失。循環相關變換法是利用部分雷達信號(如LFM信號、BPSK信號等)的循環平穩特性,結合循環頻率域的信號分離技術估計多徑分量的特征參數[6-7]。該方法能用來估計未知多徑個數情況下的信號參數,且適用于較低信噪比情況的參數估計。然而,當多徑分量各時延間隔很小以及背景噪聲很大時,直接利用循環互相關譜進行時延參數估計較困難,即對時延信息的分辨率不夠高。

近年來,壓縮感知作為一種新型信號處理理論,掀起了國內外專家學者的應用與研究熱潮。壓縮感知又稱壓縮采樣,是一種與數據采集的傳統Nyquist方法不同的新采樣技術[8]。該理論認為,只要信號在某種變換域下具有稀疏性,就可在遠小于Nyquist采樣率的條件下,用隨機采樣獲取信號的離散樣本,然后通過非線性重建算法恢復信號[9]。隨著壓縮感知理論的完善,已在遙測遙感[10]、醫學圖像處理[11]、電力系統[12]等信號分析處理領域應用。本文提出將壓縮感知理論應用于線性調頻信號多徑分量的參數估計,通過對雷達回波進行簡化建模,分析了此方法用于多徑分量參數估計的可行性,并進行信號重構。實驗結果證明,較其他諸如循環相關變換法、盲信號分離法等,新方法具有高時延分辨率、數據資源利用率以及估計精度等優勢。

1 問題描述

1.1 LFM信號雷達回波簡化模型

根據散射點模型,建立偵收端LFM信號的雷達回波簡化模型,s(t)表示單路徑LFM信號,y(t)表示多徑信號,v(t)為測量噪聲,得到簡化的雷達回波即觀測信號r(t):

即

式中:f0為載頻;T為觀測時長;k為調頻率;K為接收LFM信號個數(即在時延基字典下為LFM信號的稀疏度);Ai和τi分別為i路徑下對應衰減及時延,為待測量。

將式(2)表示為數字形式,即

式中,nΔ為t的數字化表示,N為T的數字化表示。

1.2 LFM信號多徑分量參數估計問題描述

多徑分量參數估計問題是對接收到的一組類似回波的LFM直達及延遲信號的混疊和信號的N個數據,解算其包含的多徑分量衰減及時延值,并觀察其對應分量的衰減。利用多個時刻的回波信號將考慮的時延范圍劃分為{τ1,τ2,…,τi,…,τL},i∈[1,L],其中τ1=0為直達信號,τi=(i-1)Ts,Ts為設定的時延搜索間隔,τL=τmax為最大時延拓展。由于多徑分量多成簇分布,使得各多徑分量之間的時延間隔遠大于時延搜索間隔Ts,從而使得{τ1,τ2,…,τi,…,τL},i∈ [1,L]中的非零個數K很少,即K?L,滿足信號稀疏性特性,由此可作為利用壓縮感知法進行多徑分量參數估計的理論基礎。用表示實際存在的多徑分量,表示實際不存在的多徑分量,有如圖1所示信號多徑分量稀疏化的圖形表示。

圖1 多徑分量稀疏化圖形表示

由于回波信號的多徑分量作為待估參數,是連續且隨機分布的,因而并不能保證每個分量均在設定的離散網格上,即多徑分量的時延參數不一定全部精確落在{τ1,τ2,…,τi,…,τL}這一網格上,此問題超出本文討論范圍,可通過一般模型誤差的壓縮感知理論加以解決。為分析方便,不妨假設時延搜索間隔Ts足夠精細,則各多徑分量均可定位于搜索網格上。

2 基于壓縮感知的多徑LFM信號參數估計

壓縮感知理論表明,當信號可壓縮[13]或可通過稀疏信號近似表達時,通過采集少量線性、非自適應的測量值,就可實現信號的準確或近似重構。根據接收到的一組LFM雷達回波信號,建立壓縮感知單量測向量(SVM)模型[14]。

假設長度為K的待測復信號x=[x1,x2,…,xK]T可以用某稀疏基矩陣ψ=[ψ1,ψ2,…,ψL]的線性組合來表示,即

式中,z為一個L×1維的具有K(K＜L)稀疏的向量。那么存在一個與ψ不相關的,即滿足RIP條件[8]的N×K維測量矩陣Φ,使

式中D為N×L維矩陣,稱為傳感矩陣,亦可看成是z關于y的推廣的測量矩陣。

由壓縮感知理論可知,如果矩陣D滿足約束等距性(Restricted Isometry Property,RIP)等稀疏重構條件[15],則可以通過利用以下L0范數意義的優化問題以高概率精確重構稀疏信號x。

綜上所述,利用壓縮感知理論實現LFM信號多徑分量參數估計,需要重點研究三方面內容,即信號的稀疏表示、測量矩陣的設計以及信號的重構算法。

2.1 信號的稀疏表示

根據上節所述雷達回波模型及稀疏性分析,建立LFM信號多徑分量估計模型:

式中:r=[r1,r2,…,rN]T即接收到的N個回波信號;A為K稀疏的L×1維向量,代表L個可能的多徑分量對應的衰減值;S=[S1,S2,…,Si,…,SL]為可能的多徑分量構成的矩陣,Si=s(n-τi)=ex p[j2π(f0(nΔ-τi)+k(nΔ-τi)2],v=[v1,v2,…,vN]T,v是服從均值為0、方差為δ2的高斯分布的加性白噪聲。

故可將式(7)進一步表示為

顯然,S即代表式(4)中稀疏基矩陣ψ。傳統的壓縮感知理論選擇正交基作為ψ,但由于正交基存在很大的局限性,稀疏分解的思想就是利用冗余原子庫取代正交基函數,即將基用字典表示。原子庫中包含的元素稱為原子,可盡可能逼近信號結構,這樣,可從字典中選擇少數原子去最佳逼近信號[16]。

2.2 測量矩陣的設計

測量矩陣用于對原待測信號進行壓縮觀測,常用的測量矩陣有隨機高斯矩陣、托普利茲矩陣、貝努利矩陣、局部哈達瑪矩陣和傅里葉隨機矩陣。

對于一個N×L維高斯隨機矩陣Φ,當N=o(K ln(L))時,傳感矩陣D在很大概率下具有RIP性質。而高斯隨機矩陣與大多數固定正交基構成的矩陣不相關,即選其作測量矩陣Φ時,與稀疏變換基ψ不相關,使D滿足RIP等稀疏重構性質。因此,選用多個服從N(0,1)獨立正態分布的高斯隨機變量作為測量矩陣Φ的元素,滿足壓縮感知理論對測量矩陣的設計要求。

2.3 信號的重構

信號的重構就是指從長度為N的測量向量y重構出原始信號x的過程,即對式(6)進行優化求解。

目前信號重構算法主要分三類,第一類是凸優化算法,包括最小全變差法(TV)、梯度投影算法(SPG)等;第二類是貪婪追蹤算法,包括匹配追蹤算法(MP)、正交匹配追蹤算法(OMP)、稀疏自適應匹配追蹤算法(SAMP)等;第三類是組合算法,包括隨機傅里葉采樣法、稀疏序列匹配追蹤法等。重構信號時,凸優化算法雖計算過程較為復雜,但所需觀測次數最少,采樣效率最高,本文選擇梯度投影算法進行信號重構。

凸優化算法利用了基追蹤/基追蹤去噪算法(Basis Pursuit/Basis Pursuit Denoise,BP/BPDN)模型,其思想是,當D滿足RIP條件,且N≥c K·log2()時,可通過求解最小化L1范數[17]優化方程得到信號重構解,即式(6)可轉換為

梯度投影算法(SPG)是一種用于解決BP/BPDN問題的凸優化方法,采用非單調線搜索策略,將譜投影梯度g和譜步長α分別作為搜索方向和步長,更新方向的選擇取決于當前及前幾次迭代點方向,利用式(10)投影算子產生每次迭代搜索的投影梯度路徑。梯度投影算法(SPG)具有低復雜度、高重構精度和良好的全局收斂性的優點,且計算效率較高,適合求解大規模優化問題,適用于本文的稀疏隨機測量重構。不受有界條件約束的SPG算法同樣具有收斂性和有限步終止性[18]。

具體流程如下:

步驟1 初始化:稀疏估計值^z0=0;殘差b0=y;初始梯度g0=-DTb0;初始步長α0∈[αmin,αmax];迭代次數t=1。

步驟2 迭代:重復步驟2直至滿足迭代停止條件。

步驟2.1 線性迭代搜索策略更新本次迭代估計值:

步驟2.1.1 更新稀疏估計值和殘差

步驟2.3 若‖bt‖2-(yTbt-τ‖gt‖∞)/‖bt‖2＞δ,t=t+1,重復步驟2.2;否則,結束循環。

步驟3 輸出稀疏估計值^z=^zt。(^zt-^zt-1)Tgt-1,進行步驟2.1.3;否則,αt-1=αt-1/2,重復步驟2.1.1。

步驟2.1.3 更新梯度gt=-DTbt。

步驟2.2 更新下次迭代譜步長:

步驟2.2.1 Δz=^zt-^zt-1;Δg=^gt-^gt-1。

3 仿真實驗與分析

為了檢驗基于壓縮感知法對LFM信號多徑分量參數估計的性能,本文選擇循環相關變換法作對比,根據不同情況下兩種算法的解算結果進行性能分析及比較。實驗中,設置LFM信號中心頻率f0=1 M Hz,采樣頻率fs=2f0=2 M Hz,采樣間隔Ts=1/fs,帶寬B=0.5f0=0.5 M Hz,脈寬τp=200μs。

實驗1 多徑時延分辨率性能比較

實驗中,多徑分量數設M=3,多徑衰減為{A1,A2,A3}={1,0.5,0.8},對應時延為{τ1,τ2,τ3}={0,100Ts,110Ts},信噪比SNR=10 dB,實驗數據點取N=1 000。實驗結果如圖2和圖3所示。

圖2 實驗1中壓縮感知法解算結果1

圖3 實驗1中循環相關變換法解算結果1

由圖2和圖3可以看出,壓縮感知法可清晰地看到3個峰值并對應了正確的時延值,衰減值也得到了較好估計,而循環相關變換法解算結果僅出現2個峰值,在100Ts附近波瓣展寬,解算失敗。將時延值設為{τ1,τ2,τ3}={0,100Ts,150Ts},其余參數設置不變,可從圖4和圖5所示實驗結果看到此時循環相關變換法已經可以解算出3個峰值,時延估計相對準確,但衰減值沒有完全準確估計,然而壓縮感知法可以準確估計時延及衰減,2種算法參數估計效果對比依然明顯。從實驗1可以看出,對LFM信號進行多徑分量參數估計,壓縮感知法較循環相關變換法具有更高的時延分辨率,對應的衰減也能得到較好估計。

實驗2 數據資源利用率性能比較

實驗中,多徑分量數設M=3,多徑衰減為{A1,A2,A3}={1,1,1},對應時延為{τ1,τ2,τ3}={0,100Ts,150Ts},信噪比SNR=10 dB,數據點分別取N=1 000和N=100進行采樣。實驗結果如圖6、圖7、圖8和圖9所示。

圖4 實驗1中壓縮感知法解算結果2

圖5 實驗1中循環相關變換法解算結果2

圖6 實驗2中壓縮感知法N=1 000

圖7 實驗2中壓縮感知法N=100

圖8 實驗2中循環相關變換法N=1 000

圖9 實驗2中循環相關變換法N=100

從解算結果看出,對壓縮感知法,當數據點減少10倍時,依然可以很好地進行多徑分量時延估計,效果并未發生顯著變化,然而循環相關變化法在當數據率減少同樣的倍數時,參數估計效果明顯惡化。這是由于循環相關變換法是基于傳統Nyquist采樣定理的算法,當所選用數據點數確定時,參數估計精度即被確定,因而循環相關變化法的參數估計精度與數據點數密切相關,數據點數越多,估計越精確。然而現實情況中,數據丟失的情況并不少見,很可能只得到少量的原始數據,使得參數估計的精準度大大下降,難以較好地完成復雜電磁環境下的參數估計任務。壓縮感知理論的參數估計精度由所建字典的精細度決定,當字典足夠精細,包含的原子庫足夠充足,即可實現信號的精確重構。因而用此方法進行多徑分量參數估計時具有高數據資源利用率,這也體現了用壓縮感知進行多徑分量參數估計的先進性。

為進一步證明壓縮感知法用于多徑分量參數估計的先進性,分析了在數據點N=100時,參數估計均方誤差隨SNR變化,取信噪比變化范圍SNR=0～30 dB,步進為1 dB,做1 000次Monte-Carlo試驗。從圖10可以看出,壓縮感知法隨SNR增加估計精度逐步增大,且當SNR=0時均方誤差EMS＜0.16,在誤差范圍之內,仍然保持了良好的估計精度。可見,壓縮感知法在低數據情況時依然具有較高的估計精度,再次體現了將此方法用于LFM信號多徑分量參數估計的優越性。

圖10 壓縮感知法參數估計精度隨SNR變化

4 結束語

本文研究了基于壓縮感知的LFM信號多徑分量參數估計,相對于傳統方法,壓縮感知法突破了Nyquist采樣定律,可利用較少數據進行信號重構,具有更高的時延分辨率、數據資源利用率,并且在較少原始數據情況下仍可實現較高的估計精度,對于復雜電磁環境下的參數估計具有較高的實用價值。

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