微尺度輸流管道考慮熱效應的流固耦合振動分析

第一作者梁峰男，博士，講師，1979年8月生

微尺度輸流管道考慮熱效應的流固耦合振動分析

梁峰，包日東

(沈陽化工大學能源與動力工程學院，沈陽110142)

摘要：研究熱環境中輸送微流體的微尺度管道流固耦合振動問題。根據線性熱彈性理論建立系統振動控制方程，并利用復模態法對其進行求解，得到了系統的固有頻率和屈曲失穩臨界流速，討論了溫度變化、微尺度效應及管道壁厚對系統振動特性的影響。研究結果表明：提高環境溫度會降低系統的固有頻率和臨界流速；管道和流體的微尺度效應分別會使臨界流速升高和降低，但微流體的這種影響會隨著溫度的升高而逐漸減弱并最終消失；管壁較薄(外徑接近微尺度特征尺寸)時，壁厚的變化對固有頻率的影響很大，而管壁較厚時，溫度變化對固有頻率的影響更為明顯。

關鍵詞：微尺度輸流管道；流固耦合；熱效應；溫度；尺度效應

基金項目：國家自然科學基金(51275315)；遼寧省教育廳科研項目(L2013160)

收稿日期：2014-01-08修改稿收到日期：2014-03-12

中圖分類號:O326文獻標志碼：A

Fluid-structure interaction of microtubes conveying fluid considering thermal effect

LIANGFeng，BAORi-dong(School of Energy and Power Engineering, Shenyang University of Chemical Technology, Shenyang 110142, China)

Abstract:The fluid-structure interaction (FSI) properties of microtubes conveying micro-flow in temperature field were investigated. The governing equation of the system was established based on the linear thermoelastic theory and then solved by using the complex mode method. The natural frequencies and critical flow velocities for buckling instability of the system were obtained and the influences of temperature variation, micro size effect and tube thickness on the vibration characteristics were discussed. The results showed that increasing temperature decreases the natural frequencies and critical flow velocities; the size effect of microtube can increase the critical flow velocities, while the size effect of micro-flow decreases them, moreover, the size effect of micro-flow declines and even disappears with increase in temperatures; the variation of tube thickness greatly affects the natural frequencies when the thickness is smaller (the outer diameter of tube is close to the characteristic length of micro-structures), however temperature variation has dominant effect on the natural frequencies when the thickness is larger.

Key words:microtube conveying fluid; fluid-structure interaction; thermal effect; temperature; size effect

由于輸流管道在工農業生產和國防科技中的廣泛應用，人們在20世紀中期就開始對其流固耦合動力學特性進行研究[1-2]。而近年來，隨著微電子技術和納米科技的迅速發展，人們越來越關注微米級和納米級載流結構的物理、化學和力學特性。在微機電系統(Micro-Electronic-Mechanical Systems，MEMS)中，微尺度輸流管道常被用來制作微反應器、微傳感器和一些儲流和載流裝置[3-4]，其振動穩定性直接決定著微裝置乃至整個MEMS的穩定性。因此，深入研究微尺度輸流管道的力學特性具有重要的工程實際意義。

作為一種流固耦合系統，流體流動誘發的振動仍是微尺度輸流管道失穩的主要原因。但是，由于管道的幾何尺寸已在微米級范圍(一般為1~100 μm[5])，其剛度和固有頻率等力學性能會因微尺度效應的出現而發生獨特的變化。一些學者已在實驗中觀察到這種現象[6-8]。因此，直接將適用于大尺度流固耦合系統的經典連續介質力學理論用來分析微尺度管道的振動特性則可能出現大問題。如，Pa?doussis等[9]和Rinaldi等[5]利用經典連續介質力學理論研究了微米輸流管道的穩定性和分岔問題，但卻無法分析微米尺度效應對系統振動穩定性的影響。鑒于此，Wang等[10]和Yin等[11]利用微尺度歐拉梁模型研究了微尺度效應對微米輸流管道振動特性的影響，發現微尺度效應會增大管道的固有頻率和臨界流速。Xia等[12]利用微尺度Timoshenko梁模型對微米管道進行了振動分析，發現微尺度效應和泊松比對其振動穩定性影響很大。Wang等[13]在以上分析的基礎上考慮了內部微流體的狀況，對不同截面形狀的微米管道及曲管的振動特性進行分析。Yang等[3]則研究了微尺度輸流管道的非線性振動問題，發現管道非線性固有頻率會隨著管道外徑的增大而降低，但其值始終大于線性固有頻率。

由于微尺度效應的作用，微尺度輸流管道會對周圍環境的溫度變化有特殊的反應，而其又常常工作在各種溫度環境中，因此深入研究熱效應對微尺度輸流管道動力學特性的影響具有重要意義。從目前的研究成果來看，對大尺度管道和納米管的熱彈性振動問題的研究比較多見，如，Qian等[14]利用線性和非線性熱彈性理論分析了熱載荷作用下簡支輸流管道的振動穩定性問題。Chang等[15-16]分別研究了彈性介質中輸流單壁和雙壁碳納米管的熱彈性振動問題。Ansari等[17]則對輸流單壁碳納米管的考慮熱效應的非線性振動問題進行了研究。但對于微尺度輸流管道考慮熱效應的振動穩定性問題還鮮有研究。鑒此，根據線性熱彈性理論，利用復模態法計算輸送微流體的微尺度管道系統的固有頻率和屈曲失穩臨界流速，并詳細討論溫度變化、微尺度效應及管道壁厚對系統振動穩定性的影響。

1系統力學模型和控制方程

兩端固定輸送微流體的微尺度管道力學模型見圖1。假定管道只發生橫向面內振動y(x,t)，x軸為管道軸線，t為時間變量，U為管內流速。根據修正的耦應力理論[10]及微流體的流速形態[13]，由牛頓法可推導出無熱效應時該管道橫向振動的控制方程[13]：

(1)

式中：E、I、G、A、m分別為管道的楊氏模量、截面慣性矩、剪切模量、橫截面積、單位長度的質量，l為表征管道微尺度效應的參數[7]；M為管內流體單位長度的質量，f為表征流體微尺度效應的參數[13]。對于熱環境中的微尺度管道，根據線性熱彈性理論[14]可得到由溫度變化引起的反力為：

Nt=-Pt(?2y/?x2)

(2)

式中：Pt=-EAαT，α為軸向熱膨脹系數，T為相對室溫的溫度增量。將式(2)代入式(1)中可得到考慮熱效應的微尺度管道的控制方程為：

(3)

圖1　微尺度輸流管道的力學模型 Fig.1 Mechanical model of microtubes conveying fluid

在方程(3)中，若l=Pt=0，f=1，則方程(3)退化為經典的歐拉梁模型管道的控制方程。

定義如下無量綱變量和參數：

(4)

式中:L為管道兩支承端之間的長度。將式(4)代入式(3)可得到無量綱形式的控制方程：

(5)

式中()′和(·)分別表示?()/?ξ和?()/?τ。

2復模態法求解

設方程(5)的第n階解為復數形式：

ηn(ξ,τ)=φn(ξ)eiωnτ

(6)

式中:ωn和φn(ξ)分別為第n階固有頻率和相應的振型函數，i為虛數單位。將式(6)代入方程(5)中可得到：

(7)

兩端固定的邊界條件為：

(8)

方程(7)為4階齊次常微分方程，設其解為：

φn(ξ)=C1n(eid1nξ +C2neid2nξ +C3neid3nξ +C4neid4nξ ) (9)

式中:djn,j=1, 2, 3, 4 滿足下面的特征方程：

(10)

將式(8)代入式(9)中可得到關于C1n～C4n的線性方程組：

(11)

式(11)若存在非零解則系數矩陣行列式為零，由此條件及式(9) ~ 式(11)即可解出ωn和φn。

3結果分析

通過數值算例來分析溫度環境中熱效應對微尺度輸流管道固有頻率和臨界流速的影響。算例中的管道以環氧樹脂為材料，并采用以下幾何和物理參數[13-14]：管道密度ρt=1.22 g/cm3，內徑Di=15 μm，壁厚h=7.5 μm，長徑比L/Do=100(Do為外徑)，E=1.44 GPa，泊松比ν=0.38，α=1.1×10-5℃-1，內流密度ρw=1 g/cm3，流速U=10 m/s。管道微尺度特征尺寸l值可通過下式確定[7,10]：l=bh/[3(1-v)]0.5，式中bh為管道的高階彎曲參數，其單位與長度單位一致，并由管道材料及管道的梁式結構可確定其值為：bh=24 μm，于是可計算出l=17.6 μm。圓截面流體微尺度參數f=4/3。

圖2給出了溫度環境中，不同溫度增量T下微尺度輸流管道系統無量綱第一階固有頻率ω1(最低共振頻率)隨流速的變化。圖中，當u=0時，ω1為不同溫度增量下空管的第一階固有頻率。而隨著流速的增大，固有頻率逐漸降低直至為零，此時系統將發生屈曲失穩(管道屈曲變形)，而此時的流速即為臨界流速ucr。從圖中可以看出，考慮熱效應時管道的固有頻率(對于一個給定的流速值)和臨界流速要比不考慮熱效應(T=0)時有所降低，而且，隨著溫度的升高，固有頻率和臨界流速都會降低。這說明提高環境溫度會降低微尺度輸流管道的屈曲穩定性。

圖3利用不同模型分析了微尺度管道在輸送不同尺度流體時其臨界流速隨溫度的變化。由圖3可知，隨著溫度的升高，各種模型的臨界流速值均下降直至為零，但在相同溫度下，實際微尺度管道(l=17.6 μm)的臨界流速明顯高于經典歐拉梁模型(l= 0)。對于經典模型，當溫度增量約為28℃時，臨界流速就降為零，此時管道已經失去載流能力，而實際微尺度管道該臨界溫度增量值約為75℃，接近經典模型的3倍?？梢娙匀挥媒浀錃W拉梁模型進行計算所引起的巨大誤差。此外，圖3中還反映出，對于實際微尺度管道，當內流為微流體(l=17.6 μm，f=4/3)時，在相同溫度下其臨界流速值要低于內流是大流體(l=17.6 μm，f=1)的情況，說明流體微尺度效應會降低系統穩定性。但微流體的這種影響會隨著溫度的升高而逐漸減弱，當T=75℃時，微流體的影響徹底消失。

圖2 不同溫度增量T下微尺度輸流管道第一階固有頻率隨流速的變化Fig.2VariationofthefirstnaturalfrequencyofmicrotubesconveyingfluidwithflowvelocityfordifferenttemperatureincrementT圖3 不同模型微尺度輸流管道臨界流速隨溫度增量的變化Fig.3Variationofcriticalflowvelocityofmicrotubesconveyingfluidwithtemperatureincrementbyemployingdifferentmodels圖4 不同溫度增量T下微尺度輸流管道第一階固有頻率隨管道壁厚的變化Fig.4VariationofthefirstnaturalfrequencyofmicrotubesconveyingfluidwithtubethicknessfordifferenttemperatureincrementT

圖4分析了保持管道內徑(Di=15 μm)和長徑比(L/Do=100)不變時管道壁厚和環境溫度對輸送微流體的微尺度管道第一階固有頻率的影響。由圖4可知，在管道壁厚較小(h<20 μm)時，壁厚變化對固有頻率有很大影響，管道固有頻率會隨著壁厚的增加迅速降低，而且，外徑Do越接近微尺度特征尺寸(l=17.6 μm，即壁厚越接近1.3 μm)，固有頻率變化越劇烈。這是管道微尺度效應作用的結果；而在壁厚較大(h>20 μm)時，隨著壁厚的增大，外徑越來越遠離微尺度特征尺寸，壁厚變化對固有頻率的影響越來越弱最后幾乎可以忽略，此時溫度的變化對固有頻率的影響逐漸占據主導地位，而且壁厚越大溫度越高，溫度的影響越明顯。這是由于管道的幾何尺寸已經遠離微尺度范圍而逐漸接近大尺度，管道開始逐漸具有大尺度管道的特性。

4結論

應用線性熱彈性理論分析了熱環境中輸送微流體的微尺度管道的流固耦合振動問題,得到以下結論：

(1)提高環境溫度會降低系統的固有頻率和臨界流速，也即降低了系統屈曲穩定性。

(2)在相同的溫度環境中，實際微尺度管道的臨界流速要高于經典的歐拉梁模型管道。管道和流體的微尺度效應分別會使臨界流速升高和降低，但流體微尺度效應的這種影響會隨著溫度的升高而逐漸減弱并最終消失。

(3)在其他條件一定的情況下，管壁厚度和環境溫度的變化會間接地對系統固有頻率產生一定的影響。

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