單人 Bounce 荷載下樓蓋結構加速度反應譜設計

第一作者陳雋男，博士，教授， 1972年4月生

郵箱：cejchen@tongji.edu.cn

單人Bounce荷載下樓蓋結構加速度反應譜設計

陳雋1，2，王磊2，樓佳悅2，徐若天2，李果2

(1.同濟大學土木工程防災國家重點試驗室,上海200092；2. 同濟大學建筑工程系，上海200092)

摘要：Bounce指雙腳不離地的人體上下往復運動，是一種常見的有節奏人致激勵。采用先進的無線測力鞋墊技術收集了175條bounce荷載曲線，計算每條荷載曲線的單自由系統加速度反應譜，在此基礎上提出了設計反應譜分段表達式，主要分為三段：對應bounce一階主頻范圍2~3.5 Hz的第一平臺段、對應二階主頻范圍4~7 Hz的第二平臺段以及對應高階頻率的下降段，由試驗數據分析給出了兩個平臺段的不同保證率下的代表值以及下降段參數。文中給出了設計反應譜的詳細使用步驟，并通過大跨樓蓋試驗模型驗證了方法的準確性。

關鍵詞：大跨樓蓋；振動舒適度；加速度反應譜；bounce荷載

基金項目：國家自然科學

收稿日期：2014-08-01修改稿收到日期：2014-10-23

中圖分類號:TU312+.1文獻標志碼：A

Acceleration response spectrum for predicting floor vibration due to single human bounce load

CHENJun1,2,WANGLei2,LOUJia-yue2,XURuo-tian2,LIGuo2(1. State Key Laboratory of Disaster Reduction in Civil Engineering, Tongji University Shanghai 200092, China；2. Department of Building Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China)

Abstract:Bounce refers to the up-down movement of human body with two feet remaining on the ground. Bounce is one of the most common rhythmic body movements. 175 bounce loading curves were collected by wireless in-sole technology. Each measured load curve was then used to calculate the acceleration response spectrum of a single-degree-of-freedom system. Based on all the calculated curves, a design-oriented piece-wise spectrum was proposed. The suggested spectrum consists mainly of three parts: the first resonant plateau ranging from 2.0~3.5 Hz, the second resonant plateau ranging from 4.0-7.0 Hz and the descending part going with frequencies from 7.0~15.0 Hz. The representative value of each plateau and the mathematical representation for the descending curve were determined statistically under different confidence levels. A detailed application procedure for the proposed spectrum approach was presented and has been applied to the model of a long span floor to predict acceleration responses, and the results can verify the availability of the response spectrum method.

Key words:long span floor; vibration serviceability; acceleration response spectrum; bounce loads

隨著社會經濟的不斷發展，新型結構形式與高強輕質材料等在公共建筑中的廣泛運用，樓蓋結構跨度越來越大。另一方面，文化生活的日漸豐富使得參加流行音樂會和大型體育活動等逐步普及，這些活動都會伴有人群有節奏的運動。大跨樓蓋基頻低阻尼小，當人群有節奏運動的頻率與樓蓋自振頻率相當時，容易引發樓蓋系統的共振，可能引起樓蓋過量振動，若超過人體振動舒適度要求，會造成參與者的身體不適和心理恐慌，觸發群體事故或者造成結構安全問題。

Bounce(有時又稱bobbing)運動是指雙腳不離地的人體上下往復運動，是有節奏運動中最為常見的運動型式，尤其是在音樂廳和體育場等場所，由于活動空間有限，位置固定，人們常常伴隨音樂節奏做bounce運動來表達自己愉悅的心情，跳躍相比于bounce雖然能產生更大的力，但bounce更加輕松省力其持時更長，對結構造成共振的可能性更大[1]。歷史上曾發生過觀眾的有節奏性bounce運動造成音樂會場建筑的破壞以及人群恐慌引發的踩踏傷亡事故。對于bounce這一重要的有節奏激勵，國外一些學者已對其進行了研究。Sim等[2]通過測力板技術對其荷載特性進行了研究；Dougil[3]對bounce荷載下的人-結構相互作用進行了研究；Duarte通過記錄一簡支梁在單人跨中bounce下的位移響應建立了bounce的荷載模型[4]。隨著國內公共建筑的迅猛發展，如何在設計階段考慮bounce運動對樓蓋振動的影響已引起廣泛重視。國外的規范如NBCC[5]，AISC[6]等對受有節奏運動影響的建筑按其建筑分類規定了各自的加速度限值以及自振頻率限值。由于樓蓋的動力反應是由外激勵條件、結構的剛度、質量、阻尼等多種因素控制的[7]，僅僅從自振頻率單方面控制難以保證舒適度設計的合理性，還需要對樓蓋的加速度幅值進行控制。Chen等[8-9]的研究表明，在荷載模型合理的前提下，采用有限元時程分析可以得到理想的計算結果，然而在樓蓋設計階段，存在結構方案頻繁變更的現實問題，采用有限元分析非常耗時，效率不高。如何能快速準確的計算大跨樓蓋bounce作用下的動力響應是工程設計人員非常關心的問題。

反應譜方法是在結構抗震分析時所采用的一種計算結構峰值動力響應的方法，具有快速準確合理的特點,近年來也開始用于大跨結構人致振動響應的計算。然而大部分的樓蓋加速度反應譜研究都是針對步行荷載[10-13]，對bounce荷載下的加速度反應譜研究，尚未有公開報道。對此，本研究利用無線壓力鞋墊這一新型測試方法獲得了大量的單人bounce的荷載時程，計算了每條荷載時程曲線的峰值加速度、1s和10 s的均方根加速度反應譜，提出了具有指定保證率的反應譜設計表達式，最后通過模型試驗驗證了所建議反應譜方法的實用性。

1基于壓力鞋墊技術的bounce荷載試驗

采用德國Novel公司的Pedar高精度無線測力鞋墊技術，開展了單人bounce荷載實測。該技術采用嵌入鞋內墊的壓力傳感器，實時反映足底壓力分布，連續記錄運動狀態下的足底壓力并具有很高的測試精度。測試通過藍牙技術實現信號無線傳輸使得測試不受空間范圍限制，相比固定測力板技術而言更加便捷。

研究小組迄今已獲取25人次共175條bounce荷載時程曲線，頻率范圍為人體節律性運動的典型范圍1.5~3.5 Hz。每個測試者進行了6次不同頻率和自由bounce下的bounce測試。該試驗在剛性地面上進行，鞋墊測力儀器的采集頻率為100 Hz。每次測試進行25 s，在每次測試的開始階段，測試者先按照他們自己正常的節奏進行一次bounce測試，然后分別在節拍器引導下完成固定頻率bounce測試，利用鞋墊對腳下的荷載進行采集。

圖1為某測試者在三種頻率下的實測bounce荷載時程曲線，其中荷載取名義荷載(豎向力/體重)。圖中可以看出，bounce運動的名義荷載在0.5~2.0間變化，且與運動頻率沒有明顯的關聯性，這一點與步行、跳躍荷載[14-15]略有不同。上述現象進一步強調了開展荷載實測的必要性。

圖1　實測bounce荷載曲線 Fig.1 Experimentally measured bounce load curve

2Bounce荷載下結構加速度反應譜

2.1標準反應譜曲線的計算

為獲得每條實測bounce曲線的單自由體系的加速度反應譜，首先計算結構在給定bounce荷載時的加速度響應時程，取其峰值、1秒移動均方根值(1 sRMS)、10秒移動均方根值(10 second running root-mean-square，下稱10 sRMS值)作為響應代表值，計算時，結構阻尼比范圍為0.01~0.05，以0.01為增量，結構頻率范圍為0.05~15 Hz，以0.05 Hz為增量。采用均方根加速度法[6]是因為人的振動耐受極限與時間有關，暴露的時間越長其耐受極限就會越低。

圖2為某測試者2.3 Hz bounce荷載所得到的0.01~0.05阻尼比下10 sRMS反應譜。顯然，反應譜曲線在bounce主頻率及其倍頻處有峰值，主頻率處峰值最大，2倍頻率次之，3倍再次。這是由于在bounce荷載作用下，結構發生共振所造成的，并且隨著阻尼的增大反應譜曲線的各個峰值也都變小。

圖2　某測試者2.3 Hz bounce的10s均方根加速度反應譜 Fig.2 10s-RMS acceleration response spectrumcurves of one subject for bounce at 2.3 Hz

2.2設計反應譜形式的確定

每個測試者進行了7次bounce測試，對應7條10 sRMS(或峰值、或1 sRMS)反應譜曲線。圖3為兩位測試者的7條10 sRMS反應譜以及它們的外包絡線。

圖3　兩位測試者的10s均方根加速度反應譜及其外包絡線 Fig.3 10s-RMSacceleration response spectrum curves and their envelope curves of two subjects

由于個體差異，相同頻率下每位測試者的荷載曲線不同。每個測試者的所有加速度反應譜曲線的外包絡線反映了結構對該測試者所有工況下的最大響應，因此具有實際意義，可作為每個測試者的代表曲線。圖4(a)和圖4(b)分別是0.01結構阻尼比時25位測試者的峰值和10 sRMS反應譜代表曲線。

進一步取各個結構頻率處75%和95%分位數的值，連接得到對應保證率的曲線，再經三次樣條光滑獲得如圖5所示結果。

觀察圖5可見，曲線可分為3個主要區間，即對應于bounce荷載一階頻率范圍的第一區間0.5~4 Hz,對應于荷載二階頻率的第二區間4~7 Hz,以及高階頻率范圍的第三區間7~15 Hz。據此，本文提出bounce荷載下結構的加速度設計反應譜如圖6所示。反應譜包含兩個平臺段和一個下降段，分別對應bounce作用的一階、二階和高階頻率范圍，具有明確的物理意義。

3反應譜參數的確定

3.1平臺參數的確定

根據各平臺段內加速度幅值的概率分布特性，可確定平臺段的設計值。以一階平臺段為例，統計2~3.5 Hz區間內10s均方根加速度值的分布特征，按從小到大均分為30個區間，對每個區間內的頻數進行統計,對統計結果進行概率密度曲線的擬合。圖7和圖8

圖4 25位測試者的加速度反應譜外包絡線Fig.425envelopecurvesofaccelerationresponsespectrumcurves圖5 兩種分位數下的10s均方根加速度反應譜外包絡線Fig.5Twoenvelopecurvesof10s-RMSaccelerationresponsespectrumcurvesindifferentpercentile

圖6 設計反應譜形狀Fig.6Shapeoftheproposedresponsespectrumcurve圖7 兩平臺段對應的反應譜數值統計特性(阻尼比0.01)Fig.7Responsespectrumcorrespondingnumericalstaticsoftworesonantplateau(dampingratio0.01)

分別是一階平臺段、二階平臺段在阻尼比為0.01和0.05時的統計特性，發現幅值大體符合Weibull分布。

圖8　兩平臺段對應的反應譜數值統計特性(阻尼比0.05) Fig.8 Response spectrum corresponding numerical statics of two resonant plateau (damping ratio 0.05)

式(1)為Weibull分布的分布函數，其中arms是均方根加速度值，P為指定的保證率，k>0 為比例參數，λ>0為形狀參數。

(1)

由式(1)，可將arms表達為保證率P的函數：

arms=λ[-ln(1-P)]1/k

(2)

表1給出了不同阻尼比時，參數λ、1/k的擬合數值，進一步可建立λ、1/k與阻尼比ζ的關系，并最終得到arms的計算式(3)和(4)。

表1　一、二階平臺段λ、1/k參數

(3)

(4)

由式(3)和式(4)可獲得給定阻尼比ζ和給定保證率P下的10 s均方根加速度反應譜的一、二階平臺段取值。

3.2下降段參數的確定

曲線下降段采用式(5)所示的函數形式。

f∈(7,15 Hz]

(5)

式中:f為結構頻率，γ為曲線下降段衰減指數。

表2　不同保證率、不同阻尼比下γ取值

表2為不同阻尼比與保證率下的γ值，為方便設計，統一取γ=2.38(95%保證率下γ值的平均值)，因此曲線下降段函數可由式(6)表示。

f∈(7,15 Hz]

(6)

3.3不同評估量的轉換關系

峰值加速度和均方根加速度都是常用的評判振動舒適度的指標，從圖4我們可以發現兩種反應譜的形狀大致相同，但在數值上有所不同。文獻[16]通過對豎向加速度響應時程的統計分析，認為峰值加速度和均方根加速度之間存在比例常數的關系。但本文試驗數據分析表明二者的比值會隨著結構頻率的變化而改變，不再是一個固定值，例如對于高頻板apeak/arms的值相比低頻板會大很多。為了方便兩種加速度反應譜之間的轉換，本文針對峰值加速度反應譜、1sRMS和10sRMS反應譜進行了大量的計算分析，得出峰值、1sRMS與10sRMS反應譜之間的轉換關系式(7)，各參數數值按表3來取。

(7)

3.4設計反應譜最終表達形式

a(f,ζ,P)=

(8)

綜上，本文建議的設計反應譜為式(8)，其中一階平臺段和二階平臺段取值按式(3)和式(4)來算。圖9為不同阻尼比下具有95%保證率的反應譜曲線形狀。圖10為阻尼比為0.01時95%保證率和75%保證率的設計反應譜曲線與試驗數據的對比。

圖9　不同阻尼比下具有95%保證率的 10 s均方根加速度設計反應譜曲線 Fig.9 The proposed 10 s-RMS acceleration response spectrum curves for 95% confidence level with different damping ratio

圖10　阻尼比為0.01時設計反應譜曲線與試驗數據的對比 Fig.10 Comparison of the proposed response spectrum curvesand experimental data (damping ratio 1%)

3.5反應譜使用步驟

式(8)為單人bounce作用下的單自由度結構體系反應譜計算公式。本文所建立的反應譜對bounce荷載下樓蓋響應計算按下面5個步驟進行：

(1)運用有限元方法或實測得到樓蓋各振型頻率、阻尼比、跨中最不利點模態值及振型質量，由于高階振型對響應影響較小，故可僅考慮前四階振型。

(2)確定阻尼比和保證率后根據式(8)計算每階振型對應的10s均方根加速度反應譜值。注意結構阻尼會受到bounce運動的影響需要進行放大[17]。

(3)按下式計算第i階振型對應的10 s均方根加速度響應：

(9)

式中:φi,1、φi,2、fi、ζi、Mi分別是第i階振型下的跨中施力點模態值、響應點模態值、頻率、阻尼比以及模態質量；a(fi,ζi,P)按式(8)來計算，G是指bounce者的體重。

(4)對步驟(3)計算所得的10 s均方根加速度響應按平方和開方的方式進行組合：

(10)

若要考慮峰值加速度或1s均方根加速度指標，可按式(7)和表3給出的相關系數對每階的10 s均方根加速度響應進行換算，然后同樣按平方和開方的方式進行組合。

4試驗驗證

某預應力混凝土樓蓋模型如圖11所示，其詳細情況見表4，對該樓蓋進行了三次單人跨中點bounce下的響應實測以驗證反應譜的實用性。在對該樓蓋利用本文建議的反應譜進行加速度響應計算預測時，考慮到樓板在單人bounce下振幅較大，結構阻尼比會隨之增大，因此第一階阻尼比取2.6%，此值為脈動測試阻尼比值的2倍。利用式(8)反應譜來預測該樓蓋所出現的最大10s均方根加速度響應，并與樓蓋的實測值進行對比。

表4　混凝土樓蓋模型計算參數

圖11　預應力混凝土樓蓋模型試驗 Fig.11The pre-stressed concrete floor model test

樓蓋模態1234頻率/Hz3.526.168.9713.19模態質量/kg8583258796252423跨中點模態值0.96800-0.21895%保證率反應譜對應數值9.4789.2760.9070.278模態響應/(cm·s-2)60.85000.32組合后響應/(cm·s-2)60.8560.8560.8560.8575%保證率反應譜對應數值7.2916.1130.7480.235模態響應/(cm·s-2)46.81000.27組合后響應/(cm·s-2)46.8146.8146.8146.81

表6　樓蓋的實測10s均方根加速度響應

圖12　樓蓋在不同bounce頻率下實測響應與計算結果對比 Fig.12 Comparison of measured acceleration responses and calculated results for the floor

表5給出了利用本文所建議的10 s均方根加速度設計反應譜計算在某測試者(男，體重60 kg)測試時此樓蓋加速度響應的分步結果。表6為該測試者在樓蓋跨中處分別按頻率1.5 Hz、1.75 Hz、2.0 Hz、2.25 Hz、2.67 Hz、3.0 Hz、3.5 Hz、3.8 Hz bounce時的實測10 s均方根加速度響應最大值。圖12對比可見當bounce頻率接近樓蓋自振頻率時，實測數據出現最大值，但所有實測響應均小于按75%和95%保證率反應譜計算的響應。三位不同體重的測試人員分別對該樓蓋進行了單人bounce試驗，三人的所有樓蓋實測響應均小于各自按75%和95%保證率反應譜計算的響應。說明按照本文提出的反應譜對實際樓蓋結構在單人bounce下產生的加速度響應具有較好的包絡性，能較好的預測其最大加速度響應。

5結論

利用先進的無線測力鞋墊技術獲得了175條不同頻率的單人bounce荷載時程曲線，計算每條時程曲線對應的單自由度體系加速度反應譜。結合bounce荷載的物理機制，提出了設計反應譜的分段表達式，主要包括對應于1、2階荷載主頻的兩個平臺段，以及對應于高階頻率的下降段。通過對試驗數據的統計分析獲得了平臺段及下降段參數，并給出了設計反應譜的詳細使用步驟。針對試驗模型的應用表明本文建議的反應譜計算方法的合理性。

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