仿射變換在初等幾何解題中的應用

【摘 要】本文主要闡述了用高等幾何中仿射變換的知識來解決初等幾何的問題。這種高等幾何知識的應用使我們對初等幾何問題的理解更加的深入，思路更加廣泛，解題更加巧妙、靈活。

【關(guān)鍵詞】仿射變換；初等幾何；應用

【Abstract】The paper applies projective transformation of higher geometry to solve some problems in elementary geometry. This application of higher geometrys knowledge help us to understand more deeply， think more widely and solve more delicately and flexibly for the problems of elementary geometry.

【Key words】affine transformation； elementary geometry； application

在中學中所接觸的幾何是初等幾何，它是一種直觀、易于理解的幾何，可以通過測量的幾何，以歐氏幾何為主.高等幾何是一種通過觀察、了解的幾何，它是抽象、不易于理解的，以仿射幾何和射影幾何為主.仿射幾何是聯(lián)結(jié)歐氏幾何和射影幾何的紐帶.將初等幾何中的問題進行仿射變換，可以解決一些初等幾何中問題.

1 利用平行射影證明初等幾何問題

仿射變換中最簡單的是平行射影，因為平行射影中平行線段的比不變，所以當問題涉及平行線段的比時，可以選取一投射方向與一像直線，把圖形中的不共線點和線段投射成共線的點和線段，可以使問題證明簡化[1].

例1 設(shè)直線MN過?ABC的重心G，分別交AB、AC于M，N，求證：.

圖1

證明 如圖1，取AB為像直線，為投射方向，作平行投射，則，，，從而有：

梅內(nèi)勞斯定理，如圖2所示，設(shè)M，N，P分別?ABC的

AB，BC，AC（或其延長線）上的點，且三點M，N，P共線.求證：.

圖2

證明 如圖2，取AB為像直線，NM為投射方向，作平行投射，則，，從而有：

故

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2 利用圖形的特殊仿射現(xiàn)象證明初等幾何問題

平面幾何中的特殊圖形經(jīng)過仿射變換作用后，可變成一般圖形，相反的，仿射變換也可以將一些一般圖形變成特殊圖形.這種現(xiàn)象稱為一般圖形的特殊仿射象.如：圓、矩形、等腰梯形和正三角形可以經(jīng)過仿射變換成橢圓、平行四邊形、梯形和三角形[2].

利用特殊圖形的仿射可以求圖形的面積.根據(jù)兩個封閉圖形的面積的比是仿射不變量，我們可以由一個一般圖形出發(fā)去求特殊圖形的面積.

例3 求橢圓所圍成的圖形的面積.

解 作仿射變換

則題設(shè)橢圓的像為圓：.設(shè)橢圓和圓的面積分別為S和.由于在仿射變換T之下，面積比保持不變，故.

利用圓和橢圓的特殊仿射可以求圖形的面積.由于圓和橢圓是仿射對應圖形，所以它們的一些性質(zhì)相同.利用一般圖形的性質(zhì)，可以求某些特殊圖形的性質(zhì).

3 仿射坐標系的應用

例4 設(shè)A，B分別是橢圓在坐標軸上的兩個頂點，C為線段AB的中點，則過射線OC與橢圓的交點的切線平行于AB.

證明 如圖3所示，在仿射變換c下由仿射變換φ的性質(zhì)，為的中點。再由圓的性質(zhì)知//.從而，由仿射變換φ保持平行性知l//AB.

圖3 橢圓的φ仿射變換

對橢圓進行仿射變換，使橢圓變換成圓，先證明在圓中的平行關(guān)系，再根據(jù)仿射變換中保持直線的平行性這一性質(zhì)[3]，將原本較難證明的平行關(guān)系簡單證出.由此可以看出，應用仿射變換，可以使一些較為復雜的初等幾何問題的解題過程更為簡潔.

這里仿射變換的性質(zhì)重點在于平行性，而在角度和長度方面并不適用.射影變換則是用來解決線段與線段或點之間關(guān)系的.

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4結(jié)束語

由此可見應用高等幾何中的知識為解決初等幾何中問題的找到新思路，學好高等幾何，不僅對幾何思維水平的提高有所幫助，而且能給解決初等幾何問題帶來很多方便.掌握高等幾何的知識可以更好的解決初等幾何中的問題，簡便方法，發(fā)散思路.

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作者簡介：

黃映雪（1979～），女，碩士，講師。研究方向：最優(yōu)化。