對一道物質波考題的幾點思考

對一道物質波考題的幾點思考

謝禮平

(南京東山外國語學校江蘇 南京211103)

摘 要：對于一道有關物質波的考題，從多方面給予了分析與討論.

關鍵詞：物質波考題分析與討論

收稿日期：(2015-03-04)

2014年高考江蘇試題中選修模塊3-5的第1題考查了物質波的相關知識，原題如下.

【題目】已知鈣和鉀的截止頻率分別為 7.73 ×1014Hz和 5.44 ×1014Hz，在某種單色光的照射下兩種金屬均發生光電效應，比較它們表面逸出的具有最大初動能的光電子，鈣逸出的光電子具有較大的________.

A.波長B.頻率C.能量D.動量

本題在光電效應的背景下考查物質波的知識，題目的涉及面廣、綜合性強，有一定的難度，是一道很好的考題.在互聯網和參考書上都容易找到本題的解題過程，但解答思路單一，未能從學生的角度去研究可能出現的問題.學生中有幾種錯誤因面廣而值得關注：一是將逸出光電子的能量誤認為是光電子的初動能；另一是有的考生沒有按照德布羅意動量公式計算運動電子對應的物質波的波長，而是誤將光電子的運動速度當成其對應的物質波的波速，在由德布羅意能量公式得出頻率后，結合波速公式而得到物質波的波長，也有將物質波的波速理解為光速進行計算的.下面就這些情況做幾點說明.

(1)由光照射鈣而逸出的光電子的能量是指其初動能嗎？

答：不是，逸出的光電子的能量，是指其所擁有的所有能量，這個能量要用愛因斯坦的質能方程表示，即E=mc2.如果光電子是高速運動，其速率為v，光電子的靜止質量為m0，其質量將為

其能量也相應的為

可以看出，從鈣表面逸出的具有最大初動能的光電子，所具有的能量較小，其對應的物質波頻率也較小.

此處，有的考生將具有最大初動能的光電子的能量誤認為是動能Ek，由愛因斯坦光電效應方程Ek=hν-W0得出從鈣表面逸出的光電子“能量”較小，再根據公式Ek=hν得出結論，這樣，雖然也可以得出選項A，但是卻并未真正理解“光電子的能量”的概念.

兩種金屬的逸出功大約是幾個電子伏，在本題的情境中，光子能量的數量級也是幾個電子伏，故逸出光電子能量的數量級也是如此，其最大運動速率v的數量級為106m/s，這樣的速率，對電子來說，相對論的效應也可以忽略不計.因為選修模塊的選擇各校不相同，許多學生并不知道相對論質量變換公式，如果忽略相對論效應，由公式E=m0c2可知光電子的能量是相等的，雖然這樣來看B,C兩個選項依然是錯誤的，也依然可以由德布羅意動量公式得出A選項，但這個情況值得我們注意.

關于光電子動量的計算就簡單了.如果相對論效應不可以忽略，那么，兩種光電子的動量大小也可以由公式

來計算.如果忽略相對論效應，光電子的動量大小可由p=m0v來計算，很多學生采用的應該是后者，這未嘗不可.

(2)逸出光電子對應的物質波的波長和頻率是怎么計算的？

答：分別用德布羅意能量公式和動量公式計算其頻率和波長.只是要注意，逸出的光電子的能量不能用動能代入，而是光電子擁有的總能量代入.

答：此過程有個錯誤環節，就是將電子的運動速率理解為運動光電子對應的物質波的波速.這個問題比較復雜，后面專門說明.

下面粗略討論德布羅意波的物理意義以及波速與運動粒子速度之間的關系.

德布羅意認為, 在任何情況下粒子的存在必然伴隨著一種與其對應的波動，因此，必須首先建立起粒子運動和波動傳播之間的對應關系.

對于一個靜止的粒子，按照德布羅意的理論，總有一個波與它對應著，根據簡諧波的知識，對于波源處，其振動方程可表示為

在坐標x處，t時刻的振動狀態，應表示為

(1)

真正的單色波是不存在的，因為實際中波的波列都是有限長的，按照傅里葉分解的觀點，有限長的波列相當于許多單色波的疊加，疊加后的波振幅呈現出周期性變化的特點，這些周期性變化振幅的包絡面稱為波包，當波包通過有色散的介質時，各單色分量以不同的波速(相速度)vp前進，而波包的中心以較為緩慢的速度傳播，這個速度叫群速度.波包的中心是振幅最大的地方，也是波的能量最為集中的地方，所以群速度也表示能量傳遞的速度.整個波包在傳播時，形狀逐漸改變，最簡單的是兩列波長和頻率很接近的單色波組成的波包，下面從數學角度來描述它.

有兩列波的角頻率和角波數很接近，分別為ω±Δω和k±Δk，且振動方向相同，為簡便，忽略它們的初相.則

這兩列波的合成波列將為

(2)

如果這個粒子相對于某參考系以速度v運動，需要考慮相對論效應，可以建立兩個坐標系：一個以該粒子本身為參考系S′，粒子相對于此參考系是靜止的，而某參考系則稱之為S.

在S系中，粒子以速度v前進，粒子上的固有時間為t′，在S系中的時間t可以由洛倫茲變換得到

其他同理可以得到

……

由此可進一步得到

令

則

可以看出，群速度才與運動粒子的速度相等，代表能量傳遞或粒子運動的速度，而相速度超過光速，它既不是粒子本身運動的速度，也不是能量傳播的速度，因為嚴格的單色波在空間和時間的延續上都是無限的, 是一種理想的極限情況, 實際上并不存在，所以相速度沒有具體的物理意義，它可以超過光速.前面第3點的錯誤之處在于在利用波速公式計算波長時，將粒子運動速度(即群速度)代入計算，此處應以相速度代入.

這樣才可以避開德布羅意動量公式，用能量公式正確求解波長.

此過程中波速以光速代入計算也是錯誤的.

(5)對這道考題的解答考生表現出的兩種錯誤

一是將逸出光電子的能量誤認為是光電子的動能，本題正好是在光電效應的背景下，考生對最大初動能概念有深刻的印象，因而混淆了光電子最大初動能和光電子能量的概念，這樣的錯誤能夠被理解，也好糾正，也反映了我們在教學中的不足.另一是誤將光電子的運動速度當成其對應的物質波的相速度，由波速與波長、頻率的關系，通過頻率求物質波的波長.我們必須正視這樣的錯誤，這樣的錯誤糾正起來比較困難，德布羅意公式的物理意義并不要求學生弄清楚，對高中學生來說，弄清楚也有一定的難度，最低要求是教學中提醒一下：粒子的運動速度并不是其對應的物質波的波速，所以與粒子對應的物質波的頻率和波長需要分別計算.如果學生有強烈的好奇心，再加上條件許可，完全可以做進一步的了解.

這道考題，通過物質波的能量和動量的概念，考查學生對物質波、波粒二象性的認識程度.這提醒我們，物理課堂應進一步增進學生對近代物理知識的了解，拓寬學生的視野，提高學生的科學素養，在簡略認識了遠離我們實際經驗的相對論之外，還應積極去認識另一個也是遠離我們日常經驗之外的世界——亞原子世界.

參 考 文 獻

1趙凱華，羅蔚茵. 新概念物理教程 力學(第2版). 北京：高等教育出版社，2012

2謝禮平.關于“時間和空間的相對性”的幾個問答.物理教師，2014(8)：31～33

3呂愛君. 是相速度還是群速度. 物理與工程，2002(6)：14～16