活化思維，直抵創新靈智之門

進入21世紀，一批教育學者吁求“作為教育，不僅僅要授予知識，更要培養能力，啟迪智慧，教給人生的經驗”，隨之一些數學教育實踐者開始把智性數學、智趣數學等作為自己的教學主張。無論是發展智性，還是追求智趣，其核心成分一定是思維。因此，我們從事數學教育，應抓住思維這條主線，激活學生思維，發展學生智慧。當學生形成了一種創新的姿態，擁有了一個活性的大腦，那么學生的智慧潛能將獲得更好的開發。

一、激活課堂，還學習以生動

現在不少課堂教學尤其是高年級的課堂教學比較沉悶，我們希望課堂教學能更生動些、更智慧些、更有生命力些。這里的“生動”，主要指心態的年輕，不老化，不僵化，無羈絆，無框框，勇于探求，刻意求新，具有“智慧地巡游和飛躍的能力”。沒有生動，就沒有創造。生動，是新生的萌動，是新思的舞動，是新意的顯現和涌動。

教學呼喚活的課堂，而這課堂的“活水之源”，正是我們教師。以數學課堂為例，激活數學課堂教學，就是學生在教師的引導下，圍繞數學問題，通過啟發點撥，引起困惑，喚起向往。激活數學課堂，說到底就是要激發學生的創造欲望，激活學生的創新思維。

1.教師要善于為學生提供一種開放的問題情境。開放意味著策略的多樣化，意味著方法的不確定性。一個好的問題情境，能讓學生從中發現新視角，尋覓新路徑，獲得新突破。一位教育學者說過：海越寬，風越大，浪花才能開得更美。學生的開放意識只有在開放的問題“海洋”中才能得到培養和激發。

在教學《數學》五年級下冊“分數加法和減法”時，為了培養學生計算的靈活性，教師特意增加一個學習內容，先讓學生自己嘗試計算“1/2+1/4+1/8”，再擴展到計算“1/2+1/4+1/8+…+1/64+1/128”。學生發現如128果沿用原先的方法就太麻煩了，尋找更為簡便的計算方法的想法自然生成。在計算“1/2+1/4”時，有學生發現了數與形之間的對應關系，如圖：涂色部分、空白部分、單位“1”三者在一幅圖中得到了完美融合，就這樣借助“數形結合”，運用“逆向思考”，學生成功創造出了另一種更簡便的計算方法。練習階段，教師又補充了一道計算題：1/4+1/8+1/16，看學生能不能積極思考，靈活計算。結果學生的計算方法依然豐富多樣：有的是先通分再計算的；有的用“1-1/16-1/2”進行計算的；還有的是直接用“1/2-1/16”計算的……

2.激發學生的創造欲望，注重學生非邏輯思維能力的培養。非邏輯思維是相對于邏輯思維而言的，是指不受規則束縛的一類思維方式，直覺、頓悟、聯想是其主要表現形式。筆者曾研究過“智慧”的內涵，智慧是在一定情境中誕生的，以能力為核心，以創造為方向，以機智為主要表現形式的一種綜合品質。注重非邏輯思維能力的培養，不失為一條積淀、生成數學智慧的可行路徑。在教學中，我們要鼓勵學生大膽猜想，比如在推導圓的面積計算公式時，我們可以改變先推導再揭示結論的做法，讓學生猜想：把一張正方形紙片繞中心點對折四次后，怎樣剪就可以得到一個比較標準的圓？這時可以讓學生盡快說出自己的第一感覺（斜著剪、彎著剪、直著剪），然后再通過動手操作，初步驗證學生的想法。在學生有了把圓平均分成若干份，得到的是一個近似的三角形的直觀體驗后，再鼓勵學生把圓剪拼成其他圖形，并在邏輯思維的支持、配合下，最終推導出圓的面積計算公式。這樣做，盡管可能多走了一些彎路，但在探路的過程中卻贏得了犯錯的機會，這在學生的智慧發展過程中是彌足珍貴、不可替代的。正如諾貝爾化學獎獲得者保羅·伯格所說：“教育對人一生最大的貢獻是幫助你發展好奇心和培養你尋找有創造性答案的直覺。”

3.要多給學生聯想、想象的機會。愛因斯坦曾說：“想象力比知識更重要，因為知識是有限的，而想象力概括世界上一切，推動著進步，并且是知識進化的源泉。嚴格地說，想象力是科學研究中的實在因素。”在種種法規、準則、限定充斥的現代社會，唯有想象的領域擁有著最大限度的自由。受課程內容和教學進度雙重限制的數學學習，也只有想象的空間擁有著無限的自由。比如，在教學“確定位置”時，讓學生想象“清涼島在燈塔北偏東40°方向20千米處”，其實包含了先確定一個面（東北方向或北偏東），再確定一條線（北偏東40°方向），最后確定一個點（北偏東40°方向20千米處）等三個層次，而這與人們由遠及近觀察一個物體的順序（由點到面，再由面到體）恰好相反。再如學習了“認識比”后，讓學生根據“2：1”想象出相應的圖形。學生想到了三角尺上斜邊的長與30°角所對的邊的比是2：1，用兩個完全一樣的三角形拼成的平行四邊形的面積與一個三角形面積的比是2：1，在正方形內畫一個最大的圓，再在圓內畫一個最大的正方形，大正方形與小正方形面積的比也是2：1，把一個圓柱體木塊削成一個與它等底等高的圓錐體，削去部分的體積與圓錐體積的比是2：1，等等。有了求新的意識、求變的習慣，學生才能從尋常中發現不尋常，才能突破成規與定式，迎來創造的新天地。

二、減輕負擔，還學習以輕松

我們的學生學習負擔太重，每天忙于應付各種作業，很少有時間作一些深入的、潛心的思考。一旦遇到比較開放的問題，也總是選擇比較穩妥的、簡約的解法，因為這樣既把分數這個命根子抓住了，又能擠出一些時間去完成接踵而來的其他作業。有專家建議教師應讓學生掌握兩種套路，一種是應試的套路，還有一種是創新的套路。這樣的要求對于少數優秀生來說還比較合適，對于大多數學生來說則幾乎不可能達到。不從根本上減輕學生的作業負擔，學生的思維能力、探索精神是不可能得到充分發展的，學生頭腦中原有的創新因子也會因為得不到合理的激發而逐漸湮滅。猶如種稻谷，表面看秧苗之間留有太多的空隙，實際是為了將來更好地生長。如果種得過厚、過密，則會因為空隙小而減產。

1.教師要學會對作業進行篩選。如果我們把學生完成作業的精力投入看作一個定值，與之相關的兩個變量“作業長度”和“思維深度”則成反比例關系。學生的作業量越多，作業中附含的智慧值就越低；相反，學生的作業量越少，學生在作業中越有可能誕生精彩觀點和奇妙想法。

比如在教學“方程”單元中的“整理與應用”時，對于教材中的9道習題，如果教師采用“講練結合”或者“先練后評”的方式，學生勢必會覺得題多類雜，提不起興趣。筆者在教學時一反傳統做法，先讓學生把教材中的9道題進行歸類，哪幾題是形如“ax±b=c”的類型？哪幾題是形如“ax±bx=c”的類型？在學會歸類的基礎上，再讓學生從上述兩種類型中各選擇一道習題進行解答，解答時以一種方法為主，其余的方法只要求列方程不解答。這樣原本需要列方程解答的9道題一下縮減為兩道題，學生參與的積極性非常高，他們的表現也著實令人稱道。在解答“盒子里裝有同樣數量的紅球和白球。每次取出6個紅球和4個白球，取了若干次以后，紅球正好取完，白球還有10個。一共取了幾次？盒子里原來有紅球多少個？”這道思考題時，學生列出了6x-4x=10、4x+10=6x、（6-4）x=10等多種不同的方程。要讓學生“做加法”，教師就要善于“做減法”。如果沒有教師適時歸類、篩選，學生又哪能在有限的時間里想出這么多的獨特解法呢？

2.教師除了要在作業量上為學生“瘦身”外，還要在學習心理上為學生“減壓”。我們要勇于為學生創造一種閑暇、輕松的學習生活，讓學生先做一個生活人，再做一個學習人。腳步放緩了，時間充裕了，學生才有可能在自己喜歡的領域流連忘返，生根開花。在“方程”單元的練習課上，一位教師注意到學生在完成前幾道題時還算順利，但在做思考題時卻明顯受到了束縛。看到這種情況，這位教師不失時機地說道：“我們有些同學可能對思考題有一種天然的畏懼感，以為思考題就一定是難題，可事實并非如此。只要你們的思維不被題目外面的紅框框給框住，就一定能輕而易舉地解答出來。仔細看看，它其實與前面的哪一題的類型是一樣的？”大多數學生聽了老師的一番話后都忍不住笑了。在輕松的氣氛中，他們很快發現剛才的一道思考題與前面已經解決的第十題（師徒兩人同時裝配計算機，師傅每天裝配31臺，徒弟每天裝配22臺。經過多少天師傅比徒弟多裝配72臺？）類型是一樣的。學生克服了心理上的障礙，找到了題目間的聯系，問題很快迎刃而解。

學會減負，以輕松的心態、無羈的思維方式來對待學習，就越有可能觸摸到未來的創新靈智。

三、巧設“觸媒”，還學習以智慧

人的創造潛能，往往需要喚醒，需要合適的“觸媒”，需要有效的“煽動”，才能活躍起來，才能發展學生思維。

1.故事浸染。好的數學故事，它糅合了真、善、美等多種人文要素，如能有效地滲透進數學教學中，一定能讓學生獲得獨特的學習體驗。比如，在教學“解決問題的策略——轉化”這節課時，一位教師為了讓學生感受“有時同一類問題盡管應用的是同一種策略，但也選擇不同的視角，采用不同的方法”，向學生講述了一則《于振善“稱”地圖》的故事：木匠出身的于振善為了解決如何精確測量不規則地圖面積的難題，他另辟蹊徑，經過反復試驗，終于找到了一種獨特的方法。學生在聽了這則故事后，一方面感覺很驚訝，另一方面又心存疑惑：“于振善其實是應用正比例知識來測量的，可是這其中不變的量是什么呢？”“從課外閱讀中，我了解到同種物體的密度一定，也就是物體質量與物體體積的比值一定。可為什么于振善卻認為‘質量比等于‘面積比呢？”“是不是因為木板的厚度（高）定，木板的體積和底面積成正比例，所以于振善認定木板的質量與面積也成正比例呢？”學生心中有了疑惑，他們才會去主動尋覓，去發現，去探索。這心中的疑惑，就猶如蒲公英的種子，一旦獲得了好的落點，它就會迅速生根、發芽。生疑釋疑的過程，不僅內化了所學的知識，溝通了不同知識、不同學科間的聯系，還讓學生從中領悟到了數學的奇妙樂趣。

借助教師的經歷和學生的經驗，以數學故事的形式闡釋數學知識，滲透數學思想，讓數學更好地走進學生的內心世界，正是構建數學故事課程的價值所在。

2.“網海”淘金。有人說：“互聯網時代的人群大致可分兩類：一類是被網絡利用的人，一類是利用網絡的人。后者的學習力、生存力比前者更強大，更有智慧。”面對“網海”，誰能戰勝自我，誰就“天高海闊”；面對“網海”，誰能做智慧“網人”，誰就能游刃有余，駛向理想的彼岸。

要引領學生爭做智慧“網人”，教師理應身先士卒，做好表率。一旦讀到與數學有關的經典故事、奇思妙想、智力測驗等，可立即加入收藏或用筆記錄下來。勤讀與勤記相結合，是發展創意思維、催化創意思維的有效方式。如果學生也能受此感染，常帶著創意思維的追求去“網游”，久而久之，積淀下的便是智慧的高級財富。

從《郵票中的數學家和數學元素》故事中，學生知道了什么是完美正方形，直觀感知了畢達哥拉斯的“百牛定理”，接觸到了莫比烏斯帶。欣賞郵票的過程，成了初步了解數學發展史的過程。勤于進行這樣的漫游與神思的人，頭腦往往更靈活，并且常常能使自己的創意思維進一步完善。

3.謎語啟智。“耳到，眼到，口到，心到（打一字）。”“一月一日非今天（打一字）。”“接下來，我就和聰明的××班的孩子們一起開始今天的數學學習之旅。”這是一位教師課前的三句“開場白”。短小的兩則謎語，激發了學生的興趣，激活了學生的思維。看似老套，卻依然有其旺盛的生命力。

智力包括觀察能力、記憶能力、想象能力和邏輯思維能力。猜謎，便是培養這些能力的好方法。如“泰山中無人無水”猜數字“三”，“語言不通難開口”猜數字“五”，猜謎者正是透過謎面字里行間觀察到“泰”字中去掉“人”和“水”是“三”，“語”字中去掉“言”與“口”是“五”。觀察是人們認識世界的一個重要途徑，我們不僅要勤于觀察，還要善于觀察，而好的數學謎語無疑是培養學生觀察能力的一種好的“觸媒”。再如“午后算賬”猜數學名詞，猜謎者若不知“天干地支”紀年法，不了解“午馬”后面是“未羊”的話，是很難猜得“未知數”這一謎底的；以“鼎足之勢已成定局”猜一數學工具，如果沒有一定的想象力，由“三足鼎立”就很難聯想到相應的數學圖形。

活化思維，應把課堂作為主陣地，還學習以生動的姿態；活化思維，應釋放學生的身心，還學習以輕松的心態；活化思維，還應提供適當的“觸媒”，還學習以智慧的情態。當學生的數學學習逐步達到了生動、輕松、智慧的三重境界，那么學生的創新能力、創新精神乃至創新人格才能真正樹立起來。

附

任衛兵老師“簡單的周期”教學設計片段

一、感知規律

1.出示△□○，讓學生說出每個圖形的名稱。

2，接著出示□○△□○△，讓學生猜一猜：下一個是什么圖形？

師：你們是根據什么來確定的？（根據這些圖形的排列規律來確定的。）

師：從左邊起每3個圖形為一組，現在可以看見幾組？接下來的第3組，分別是哪些圖形？第五組呢？

小結：第一行圖形看不出規律，很難確定下一個是什么圖形：而第二行圖形的規律弄清楚了，我們就很容易確定其中某個位置上的是什么圖形。

[設計意圖]課始教師沒有通過創設情境導入新課，而是開門見山用一列沒有規律的圖形來“映襯”另一列有規律的圖形，讓學生初步體會到探索規律、尋找規律時，必須以一定的規律作為判斷的依據。

3.出示下一組圖形，并提問：下面的一行圖形排列有規律嗎？

△△○□△△○□△△○□……

學生回答后，進一步明確：第六組的第一個圖形是什么？第七組的第三個圖形是什么？第八組的第四個圖形呢？

[設計意圖]通過兩個示例使學生意識到周期現象中的規律表現為一個或幾個事物依次不斷地重復出現，豐富了學生的認識，拓寬了學生的視角，并為進一步學習循環小數等數學知識做好了鋪墊。

二、探究規律

（投影顯示課本中的情景圖。）

師：國慶節期間，到處花團錦簇，張燈結彩，彩旗飄揚。它們的排列有規律嗎？

1.研究盆花。

師：我們先來觀察盆花，盆花的排列有什么規律？

學生回答后，進一步引導：照這樣擺下去，第五組是些什么花？第八組呢？

師：照這樣擺下去，左起第15盆是什么顏色的花？做出判斷的依據是什么？把你的想法和同桌交流一下。

（1）畫圖列舉。（畫圓圈表示盆花，用○表示藍花，●表示紅花，從第1個畫到第15個，就能知道它是藍花。○●○●○●○●○●○●○●○）

（2）推理。（從左起依次給每盆花編號，可以看到第1、3、5……盆都是藍花，第2、4、6……盆都是紅花，因為15是奇數，所以第15盆是藍花。）

（3）計算。[15+2=7（組）……1（盆）]

師：為什么除以2？“7”表示什么？“1”又表示什么？我們根據什么來確定第15盆花的顏色？

[設計意圖]鼓勵解決問題策略的多樣化，是因材施教、促進每一個學生充分發展的有效途徑。教師通過設問，激起了學生思考和探究的欲望。在獨立思考、合作交流、歸類整理的基礎上，學生想到了列舉、推理、計算等多種解決問題的方法，從中體驗到了成功的樂趣。

2.研究彩燈。

師：剛才研究盆花，同學們想到了列舉、推理、計算等多種方法。下面，建議大家用自己喜歡的方法來研究彩燈，看看彩燈的排列有什么規律。

師：如果照這樣排下去，左起第17盞彩燈是什么顏色？第18盞彩燈呢？先在小組里說說自己的想法，再獨立解決問題。

師：根據什么來確定彩燈的顏色呢？

小結：對于周期性排列，先要分組，確定除以幾，然后再根據余數來確定它是第幾組里的第幾個數。

3.研究彩旗。

師：下面請大家自行研究彩旗的擺放規律，并說出左起第21面彩旗是什么顏色。

[設計意圖]在成功解決“盆花”問題的基礎上，教師讓學生自主選擇喜歡的、合適的方法研究“彩燈”“彩旗”問題，實現了“策略多樣化”向“策略最優化”的轉變。

三、應用規律

1.圈一圈（按照規律在括號里畫出每組第32個圖形或漢字。）

（1）△△○□△△○□△△○□……（ ）……

（2）數學好玩玩好數學數學好玩玩好數學數學好玩玩好數學……（ ）……

要求學生先獨立計算，再填空。

2.探一探。

師：畢達哥拉斯是古希臘的一位大數學家。相傳他有一次處罰學生，要這個學生來回數狄安娜神廟前的七根柱子。“你從左邊的第一根柱子數起，依次數到最后一根，再往回數，如此反復，直到數到1999時才能停下來。你要告訴我，你停在從左邊數起的第幾根柱子旁。”你們能應用所學的知識幫助一下那位學生，讓他盡快地結束這個處罰嗎？

教師組織學生相互討論，適時地加以引導。

[設計意圖]教師通過課本習題的重組以及相關課外資源的拓展，使“圈一圈”“探一探”等多種學習形式有機地融為一體。這樣便于學生更完整地認識周期問題，更有利于促進學生思維的發展。《數學家的懲罰》故事，蘊涵著“數學教人求真，更教人求善”的哲學思想，令人回味。

責任編輯：周瑜芽