以學習材料為支點，撬動學生的分析問題能力

宋煜陽

《數學課程標準》在“課程目標”中明確指出：“通過義務教育階段的數學學習，使學生能……增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。”就具體解決問題步驟而言，無論是問題的發現、提出還是問題的分析、解決，都離不開觀察、識別、比較、分析等認知活動的支持。也就是說，分析活動是貫穿整個解決問題過程的，一旦缺乏或中止分析活動，思維鏈條就會被切斷。而分析問題能力，是需要以具體的學習材料為媒介進行歷練與培養的。其中，加強學習材料的整體呈現和圖形表征，是培養學生分析問題意識、提高學生分析問題能力的有效通道。

一、加強學習材料的整體呈現，提升認知沖擊力

與實驗版教材相比，人教版教材在修訂版中新增了較多的解決問題策略教學內容，教師們普遍感到新教材難度加大，學生困難較多，于是在問題解決中減緩坡度，把原本隸屬一個整體的問題分解為若干問題，拾級而上。表面上看，課堂更順暢了，學生解決問題的正確率提高了。問題是，長此以往學生無形中滋長了對教師的依賴性，削弱了對實際問題的整體判斷和獨立分析能力、面臨困難的受挫性和忍耐力、獨立思考的持續力。如同一棵幼苗，長期在溫室中成長，在自然環境中生命就脆弱得多。在教學中，要還原教材問題的整體性呈現，讓學生經歷困境的洗禮，組織學生梳理面臨的困難、明確思考的方向，這本身就是分析問題能力的重要訓練點。

比如，在六年級上冊新增了“用假設法解決問題”，以對話形式呈現信息：“這條道路，如果我們一隊單獨修，12天能修完”，“如果我們二隊單獨修，18天才能修完”，給出“如果兩隊合修，多少天能修完？”的問題。實際教學顯示，絕大多數學生第一次面臨這個問題，會感到束手無策，此時教師不要急于提供假設思路方法，而是組織學生梳理出“因為這條道路具體長度未知”這一認知拐點，引導學生繼續思考，讓學生在“如果具體長度知道了該多好”“具體長度不知道又該怎么辦呢”的認知>中突中多逗留一會兒，加深對假設策略頓悟的體驗。

如果說，上述情形是屬于對學習材料整體性“人為破壞”進行復原的話，教學中還要善于在已有典型材料基礎上附加材料，由單個（類）材料轉為整體性結構材料，通過材料之間的相近性、差異性增強干擾性，促使學生“擦亮眼睛”“細心思考”，提高學習材料的識別、分化水平，從而進一步逼近學習本質的理解。

比如，概念“高”的教學是“三角形認識”一課中的重難點所在。教學中，通常提供水平方向的正例進行概括“高”的概念；也有教師更進一步在水平正例基礎上進行旋轉變式，再組織學生將不同方位的“高”進行概念分析概括。應該說在這個過程中，學習材料由單一的水平方向擴展到不同方位，學習材料的整體性有所增強。其實這個整體性視角還可以進一步拉大。可以在不同方位變式基礎上（圖1），增加一組不是“高”的材料（圖2），明確告訴學生第二組材料都不是三角形的高，讓學生觀察分析思考“究竟什么是三角形的高”。這里給出一組正例和一組反例，讓學生在“是高”“不是高”的辨別中進行分析，提升學生的分化水平，有效推動了學生分析問題能力的訓練。

又如，在“正比例”教學中，教材例題只提供了“文具店有一種彩帶，銷售的數量與總價的關系（表1）”材料，組織學生觀察思考“表中有哪兩個量”“總價是怎樣隨著數量的變化而變化的”“相應的總價和數量的比分別是多少，比值是多少”，從而直接揭示正比例概念。顯然，學習材料過于單一，學生對“兩種量之間的變化趨勢”感知是不夠的，缺乏一種識別的沖擊力。教學中可以整體性提供一組材料（表一、表二、表三），組織學生進行觀察并根據變化趨勢分類。

讓學生分析得出“表一、表二為一個量隨著另一個量的增加（減少）而增加（減少）”，進一步分析表一“正比例”變率的特殊性。這樣，通過材料的擴展、干擾，增強了認知沖突力，促發學生萌生分析的意識，為分析問題能力的培養與提升奠定基礎。

二、加強學習材料的圖形表征，提升自主表達力

美國認知心理學家Simon認為：“表征是問題解決的一個中心環節，它說明問題在頭腦里是如何呈現的，如何表現出來的。”這也就是說，表征是學習者實現自我分析、自我表達的有效手段。常見的表征形式有語言表征、符號表征、圖形表征和情境表征等。由于圖形表征主要是通過畫圖方式表達題意和解題思路，有助于直觀分析與交流，應成為培養學生分析問題能力的重要訓練手段。

對于理解題意的分析，主要表現為兩個方面。一方面是將圖畫、圖文、對話形式的信息材料整理成純文字；另一方面是將純文字的信息材料轉譯為圖畫。隨著年級的升高，純文字形式的信息材料居多，教學中要特別關注從文到圖的表征訓練。比如，在三年級上冊新增了“歸總問題”，例題內容為“媽媽的錢買6元一個的碗，正好可以買6個。用這些錢買9元一個的碗，可以買幾個？”，教材安排了運用線段圖進行分析題意。測試顯示，多數學生能正確列式解答但分析意識和能力很弱。顯然，本課教學除了能正確列式解答外，還承載著一個重要教學目標是“讓學生學會用線段圖整理、分析條件和問題，使問題和條件之間建立直觀的數量關系，感知歸總問題的結構特點”。而在條件和問題梳理分析中，學生既要解讀出“這些錢”總量不變這一關鍵問題，并在線段圖上反映為長度相等，又要用不等長的線段區分出“6元”“9元”價錢不一，在“等長”和“不等長”的圖示表達中經常會顧此失彼。如下圖（圖3、圖4）就是表征出現困難的典型：

此時，需要引導學生圍繞“整條線段表示什么？”“同樣長是反映哪條信息？”“不同樣長想表達什么信息？”等一系列問題開展討論，在圖文對照分析中，促發學生對歸總問題本質的感知與理解。

分析解答是解決問題步驟中的核心環節，主要涉及數量關系和數學原理的分析。由于數量關系和數學原理相對比較抽象，經常需要借助圖示材料予以直觀化，讓學生清晰地看到分析的依據和過程。依然以“假設法解決問題”為例（一條道路，一隊單獨修，10天修完；二隊單獨修，15天修完。兩隊合修，多少天修完？），當學生發現把這條道路千米數假設為“30”“60”“150”等數據，結果一致，就自然生發出“為什么長度變了，合修的天數不變”的探究需求。在這個尋理分析過程中，有的學生是根據“30÷（30÷10+30÷15）”“60÷（60÷10+60÷15）”“150÷（150÷10+150÷15）”數據的縮放規律分析，有的學生則能發現每天修的千米數和總路長比例是不變的。后者是“理”的本質所在，但需要借助下圖（圖5）進行直觀分析，發現“一隊在全長30千米、60千米中每天修的米數占全長的比例始終是1/10，同理二隊工作效率為1/15，兩隊合修天數為1÷（1/10+1/15）”。通過直觀的圖形表征讓學生看到“每天修的千米數和總路長比例不變”，才真正深入理解抽象為單位“1”為特征的工程問題本質。

分析問題，作為一種意識與能力，對其培養與訓練既需要“入境”又需要“明理”。教學中，要善于通過學習材料，制造學生認知沖突，產生“知其然”的需求，并在內化表征、直觀交流中“知其所以然”，逼近知識本質的分析，從而實現以學習材料為支點撬動學生問題分析能力的有效培養與發展。

責任編輯 曾維平