讓微積分課堂教學(xué)“活”起來(lái)

【摘 要】基于目前微積分課堂不夠活躍的現(xiàn)象，提出四點(diǎn)建議：一、充分展現(xiàn)微積分教學(xué)目的；二、讓數(shù)學(xué)文化滲透到微積分教學(xué)；三、發(fā)揮信息技術(shù)在微積分教學(xué)中的輔助功能；四、學(xué)習(xí)方式多樣化。

【關(guān)鍵詞】微積分 課堂教學(xué) 活躍

【中圖分類號(hào)】G642 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-4810（2015）27-0121-02

“你能給我找來(lái)一個(gè)數(shù)不清自己手指頭的人么？”這句話恰好說(shuō)明了數(shù)學(xué)的廣泛性。數(shù)學(xué)是最純?nèi)坏闹R(shí)，甚至可以說(shuō)它是一個(gè)時(shí)代理性的標(biāo)志。而專門研究函數(shù)和變量的微積分則是劃時(shí)代的數(shù)學(xué)成就，它也是我們經(jīng)管類專業(yè)的公共必修課程。

現(xiàn)代的微積分教學(xué)較之傳統(tǒng)，在教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)手段等方面有了較大的轉(zhuǎn)變，也取得了一定的成效。但數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)性、邏輯性、嚴(yán)密性、抽象性仍然使學(xué)生們“談微色變”，反映到微積分課堂上就是氣氛不夠“活”甚至“活”不起來(lái)。究其原因還是學(xué)生們對(duì)微積分的興趣不夠。所以，如何提升學(xué)習(xí)興趣讓微積分教學(xué)“活”起來(lái)，顯得尤為迫切。下面筆者結(jié)合前人的探討和自身多年從教的經(jīng)驗(yàn)談一些想法，提出四條建議。

一 充分展現(xiàn)微積分教學(xué)目的

經(jīng)管類專業(yè)的學(xué)生大部分認(rèn)為開(kāi)設(shè)微積分課程就是為了以后的專業(yè)課學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)，誠(chéng)然，大學(xué)非數(shù)學(xué)專業(yè)微積分的學(xué)習(xí)確實(shí)有這樣的目的，但數(shù)學(xué)的效用不僅僅如此。正如弗朗西斯·培根所說(shuō)：“在數(shù)學(xué)上，我沒(méi)什么缺憾可報(bào)告，除了一點(diǎn)之外，這就是：人們并沒(méi)有充分理解純數(shù)學(xué)的妙用。”在微積分教學(xué)中，我們還應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生有意識(shí)地不僅要把數(shù)學(xué)作為計(jì)算工具，更應(yīng)以發(fā)展數(shù)學(xué)能力為重，能把數(shù)學(xué)的思維方式應(yīng)用到其他學(xué)科乃至實(shí)際生活中。比如微積分中的極限思想，貫穿于微積分課程始終，其中所體現(xiàn)的過(guò)程與結(jié)果、有限與無(wú)限、直與曲、不變與變之間的對(duì)立統(tǒng)一思維能讓我們辯證地去看待問(wèn)題；又如曲線圍成的平面面積、曲面圍成的立體體積的計(jì)算問(wèn)題，其中的整體細(xì)劃為部分，由近似再到精確的轉(zhuǎn)化、化歸思維；微積分中無(wú)處不在的分析歸納再論證思維、導(dǎo)數(shù)與微分中的逆向思維、類比一元函數(shù)微積分學(xué)習(xí)多元函數(shù)的比較思維，等等，這些都隱含在微積分知識(shí)學(xué)習(xí)的背后，需要教師在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生有意識(shí)地挖掘，真正領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)，體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，從而形成自己的數(shù)學(xué)思維。

羅巴切夫斯基曾說(shuō)過(guò)：“任何數(shù)學(xué)分支，不管多么抽象，有朝一日都要應(yīng)用于真實(shí)世界的現(xiàn)象”，要體會(huì)數(shù)學(xué)的魅力還必須把數(shù)學(xué)思維遷移到其他學(xué)科的學(xué)習(xí)直至實(shí)際問(wèn)題的解決。比如數(shù)學(xué)建模在其中就擔(dān)當(dāng)了重要角色，它通過(guò)把實(shí)際問(wèn)題從數(shù)學(xué)角度加以分析、解答，讓學(xué)生近距離地體會(huì)數(shù)學(xué)的妙用。而建立微分方程就是一種數(shù)學(xué)建模方法。教學(xué)中應(yīng)適當(dāng)引入相關(guān)例子，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，讓學(xué)生明確日后受益更多的可能首先是所積累的數(shù)學(xué)思維方式，而后是具體的數(shù)學(xué)知識(shí)。在崇尚科學(xué)的時(shí)代，微積分不應(yīng)充當(dāng)把學(xué)生淘汰出通向科學(xué)領(lǐng)域的“過(guò)濾器”，而應(yīng)成為鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)科學(xué)的“助推器”。

二 讓數(shù)學(xué)文化滲透到微積分教學(xué)

數(shù)學(xué)雖然是理性的科學(xué)，但它也需要感性認(rèn)知的加入。日本心理學(xué)研究者三浦致世認(rèn)為，感性是指基于具有多種含義和復(fù)雜特征的信息，通過(guò)印象評(píng)價(jià)、綜合把握等形式，對(duì)狀況進(jìn)行整體的直覺(jué)判斷的能力。故而，數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)化需要有數(shù)學(xué)文化的牽引。

數(shù)學(xué)文化即數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點(diǎn)、語(yǔ)言，以及它們的形成和發(fā)展，還包括數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)發(fā)展史中的人文成分和數(shù)學(xué)與其他各種文化的關(guān)系等。在教學(xué)中，適時(shí)給學(xué)生介紹微分和積分的起源與發(fā)展，穿插數(shù)學(xué)人物的成長(zhǎng)與發(fā)展歷程、艱辛的知識(shí)發(fā)現(xiàn)及證明過(guò)程和其中所體現(xiàn)出的鍥而不舍的研究精神、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式等，比如對(duì)微積分的理論基礎(chǔ)極限的定義就經(jīng)歷了從形式直觀、語(yǔ)言模糊到精確、嚴(yán)謹(jǐn)、簡(jiǎn)約的“ε-N”，“ε-δ”的語(yǔ)言過(guò)程。在講無(wú)窮級(jí)數(shù)時(shí)，就可插入牛頓—萊布尼茲、伯努利兄弟對(duì)無(wú)窮級(jí)數(shù)的情有獨(dú)鐘；還可簡(jiǎn)略向?qū)W生介紹歐拉在求完全平方數(shù)的倒數(shù)之和1/12+1/22+1/32+…時(shí)大膽的想象到再證明的過(guò)程。數(shù)學(xué)也有其藝術(shù)性，表現(xiàn)在它的簡(jiǎn)單美、對(duì)稱美、統(tǒng)一美、奇異美。很多實(shí)際問(wèn)題模型化成數(shù)學(xué)問(wèn)題后，就會(huì)變得簡(jiǎn)潔明了，數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言本身也體現(xiàn)了簡(jiǎn)單美，數(shù)學(xué)中不管是形式上的還是圖形上的對(duì)稱更是比比皆是。

讓學(xué)生在學(xué)習(xí)微積分的同時(shí)通過(guò)數(shù)學(xué)文化的適時(shí)滲透，了解什么是微積分，微積分做了什么等問(wèn)題，有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)微積分的興趣，活躍課堂氣氛。

三 發(fā)揮信息技術(shù)在微積分教學(xué)中的輔助功能

信息技術(shù)有助于呈現(xiàn)思想、溝通并支持推理和計(jì)算，而且“執(zhí)行一個(gè)過(guò)程不再一定需要人類參與，學(xué)習(xí)符號(hào)不再像過(guò)去那樣只是少數(shù)人的特權(quán)”，使得微積分學(xué)習(xí)從枯燥、抽象走向生動(dòng)、形象。

美國(guó)微積分教材改革遵循“四原則”，每個(gè)概念以幾何、文字描述和代數(shù)形式呈現(xiàn)，對(duì)于微積分的主要概念如極限、導(dǎo)數(shù)、積分的介紹，除了概念本身的文字?jǐn)⑹龊头?hào)語(yǔ)言描述，“形”的展現(xiàn)也很必要。教師可以借助信息技術(shù)可視化優(yōu)勢(shì)給學(xué)生帶來(lái)交互性和動(dòng)態(tài)性的體驗(yàn)。如極限的“ε-N”定義，引入實(shí)例時(shí)通過(guò)對(duì)ε的不同賦值，用數(shù)學(xué)軟件制作相應(yīng)的圖形，從動(dòng)態(tài)演示中讓學(xué)生產(chǎn)生感性認(rèn)識(shí)，進(jìn)而總結(jié)規(guī)律，歸納極限定義。再如用“元素法”求面積、體積可通過(guò)軟件制圖功能讓學(xué)生對(duì)無(wú)限分割有一種逼近感，更好地從數(shù)、形結(jié)合中去理解極限與積分的關(guān)系。常見(jiàn)的數(shù)學(xué)軟件如Matlab、Mathematica、Maple、MathCAD、幾何畫板等既能繪制數(shù)學(xué)圖形也能完成數(shù)值符號(hào)運(yùn)算。對(duì)于經(jīng)管類專業(yè)的學(xué)生而言，要使微積分顯得易接近，應(yīng)用更重于計(jì)算，故而微積分很多計(jì)算如求積分、求解微分方程等都可借助于數(shù)學(xué)軟件，通過(guò)簡(jiǎn)單的口令輸入就可求得結(jié)果，這樣讓學(xué)生把更多的精力放在數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用上。

此外，隨著人們對(duì)“互聯(lián)網(wǎng)+”信息觀念的深入認(rèn)同以及現(xiàn)代智能設(shè)備的發(fā)展，微積分教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)媒體在這方面也應(yīng)有所突破，除了現(xiàn)行的網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)，如WolframAlpha、試題庫(kù)系統(tǒng)、精品課程網(wǎng)等外，制作跨媒體教材、手機(jī)APP等使學(xué)習(xí)不受時(shí)空界限的束縛，實(shí)現(xiàn)課內(nèi)課外、線上線下、校內(nèi)校外隨時(shí)隨地非線性學(xué)習(xí)，真正打通書本世界、現(xiàn)實(shí)世界和網(wǎng)絡(luò)世界的聯(lián)系。

四 學(xué)習(xí)方式多樣化

現(xiàn)在的微積分學(xué)習(xí)方式非常單一，主要以聽(tīng)、練為主，本質(zhì)上還是一種模仿，這就導(dǎo)致了相當(dāng)多的學(xué)生持記憶知識(shí)的學(xué)習(xí)觀，甚至在運(yùn)用微積分知識(shí)解決問(wèn)題時(shí)一旦離開(kāi)課本就無(wú)從下手。當(dāng)代建構(gòu)主義認(rèn)為“課本知識(shí)只是一種關(guān)于各種現(xiàn)象的較為可靠的假設(shè)，不是解釋現(xiàn)實(shí)的‘模板’”，而學(xué)習(xí)是“學(xué)生建構(gòu)自己知識(shí)的過(guò)程”，并不是簡(jiǎn)單的信息輸入、存儲(chǔ)和提取，應(yīng)是“同化和順應(yīng)”，即一方面理解、記憶新知識(shí)，在分析的基礎(chǔ)上形成自己的思想，一方面對(duì)既有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行改造。因此，微積分學(xué)習(xí)方式要體現(xiàn)學(xué)生的主體地位。對(duì)于一些難以理解的概念、定理可采取如研究性學(xué)習(xí)、基于問(wèn)題的學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)等共同學(xué)習(xí)方式，以加強(qiáng)溝通交流、發(fā)揮團(tuán)隊(duì)優(yōu)勢(shì)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性，完成知識(shí)建構(gòu)。

比如極限概念，不僅其豐富性、抽象性影響了學(xué)生對(duì)概念的掌握，而且在未學(xué)概念之前學(xué)生對(duì)日常生活用語(yǔ)“趨向”“極限”的理解也會(huì)影響極限數(shù)學(xué)含義的學(xué)習(xí)。大部分學(xué)生會(huì)求極限但不代表他理解了極限，此時(shí)可提出問(wèn)題：“ =1嗎？”基于問(wèn)題讓學(xué)生進(jìn)行探究、合作討論，老師適當(dāng)加以引導(dǎo)，從而更好地幫助學(xué)生理解極限中所包含的無(wú)限思想。又如對(duì)微分與積分關(guān)系的理解，大部分學(xué)生會(huì)求微分、積分，但很少探索它們互逆的運(yùn)算關(guān)系，故而可通過(guò)分組討論的方式，以PPT、小論文、口述性語(yǔ)言等方式呈現(xiàn)討論結(jié)果。

除了以上幾點(diǎn)，同時(shí)還需要教師提高自身的學(xué)術(shù)威信和人格魅力，形成個(gè)人教學(xué)風(fēng)格，也需要學(xué)校其他工作人員的共同努力，促使學(xué)生形成良好的學(xué)風(fēng)。總的來(lái)說(shuō)，影響微積分課堂教學(xué)效果的因素是多方面的，促發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，增進(jìn)學(xué)習(xí)興趣，從而讓課堂“活”起來(lái)是重要的方面，值得我們繼續(xù)深入探討。

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〔責(zé)任編輯：龐遠(yuǎn)燕〕