MATLAB在二重積分計算中的應(yīng)用

【摘 要】重積分計算是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，如何計算重積分顯得尤其重要。重積分計算主要思想是如何把重積分化為累次積分，如何決定積分次序。由于有些積分的被積函數(shù)和積分區(qū)域比較復(fù)雜，計算起來比較困難，甚至有些重積分無法計算。然而MATLAB軟件在高等數(shù)學(xué)重積分計算中有很大的優(yōu)勢，通過MATLAB軟件求解重積分不僅可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，而且可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和效率。本文研究的主要內(nèi)容是如何運(yùn)用MATLAB內(nèi)部函數(shù)計算二重積分。

【關(guān)鍵詞】MATLAB 二重積分 高等數(shù)學(xué)

【中圖分類號】O13 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】1674-4810（2015）27-0057-02

隨著科學(xué)技術(shù)及計算機(jī)的飛速發(fā)展，各類數(shù)學(xué)軟件的不斷涌現(xiàn)，這使在解決一些復(fù)雜的問題變得非常簡單。MATLAB已成為許多課程的基本教學(xué)工具，是大學(xué)生、碩士生和博士生必須掌握的基本技能；在設(shè)計研究單位和工業(yè)部門，MATLAB已成為必備的標(biāo)準(zhǔn)軟件。MATLAB軟件“面向?qū)ο蟆钡奶攸c愈加突出，數(shù)據(jù)類型愈加豐富，操作界面愈加完善，運(yùn)算速度越來越快，功能越來越強(qiáng)大。MATLAB在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中起著非常重要的作用。MATLAB具有簡單易學(xué)、代碼短小高效、計算功能強(qiáng)大以及可擴(kuò)展性等優(yōu)點。基于MATLAB的高等數(shù)學(xué)教學(xué)可以提高學(xué)生課堂的參與性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，有利于教學(xué)質(zhì)量的提高。MATLAB已經(jīng)成為國際控制界公認(rèn)的標(biāo)準(zhǔn)計算軟件，國內(nèi)已經(jīng)有很多工科院校把MATLAB引入課堂，作為數(shù)學(xué)公共課教學(xué)改革的核心內(nèi)容。本文主要研究如何利用int函數(shù)、dblquad函數(shù)和quad2d函數(shù)求高等數(shù)學(xué)中的二重積分。

一 符號表達(dá)式和函數(shù)表達(dá)式

MATLAB有強(qiáng)大的符號運(yùn)算和數(shù)值計算功能，兩者的根本區(qū)別是：符號計算需要定義符號表達(dá)式，而數(shù)值計算需要定義函數(shù)表達(dá)式。對于一般的程序設(shè)計軟件實現(xiàn)數(shù)值計算還可以，但是實現(xiàn)符號計算并不是一件容易的事。MATLAB的數(shù)學(xué)工具箱可以完成幾乎所有的符號運(yùn)算和數(shù)值計算功能，MATLAB可以用syms函數(shù)和單引號產(chǎn)生符號表達(dá)式，同時也可以利用M-函數(shù)文件、內(nèi)聯(lián)函數(shù)和匿名函數(shù)得到函數(shù)表達(dá)式。

例1：定義多變量符號表達(dá)式f=x2siny

syms函數(shù)調(diào)用格式：syms xy；f=x^2*sin（y）

單引號調(diào)用格式：f='x^2*sin（y）'

例2，定義多變量函數(shù)表達(dá)式fun=x2*sin（y）

方法一：M函數(shù)文件方法

編寫M文件：function fun=f（x，y）

fun=x^2*sin（y）

方法二：inline函數(shù)方法

fun=inline（' x.^2.*sin（y）'）

方法三：匿名函數(shù)方法

fun=@（x，y）x.^2.*sin（y）

二 二重積分的計算方法

MATLAB提供了兩種方法計算二重積分即符號計算和數(shù)值計算。符號計算是求矩形區(qū)域上的二重積分，利用MATLAB內(nèi)部命令int計算兩次一重積分，調(diào)用格式為int（int（f，A，B），C，D），其中f是符號表達(dá)式，變量的取值范圍是A≤x≤B，C≤y≤D。符號計算的結(jié)果往往是符號，如果要求其值，需調(diào)用函數(shù)vpa（I，n），得到具有n位有效數(shù)字I的近似值。數(shù)值計算可以調(diào)用MATLAB內(nèi)部函數(shù)dblquad函數(shù)和quad2d函數(shù)。dblquad函數(shù)是求矩形區(qū)域上二重積分的數(shù)值估計，調(diào)用格式為dblquad（fun，A，B，C，D），其中fun是函數(shù)表達(dá)式，變量的取值范圍是A≤x≤B，C≤y≤D。quad2d函數(shù)求平面區(qū)域上二重積分的數(shù)值估計，調(diào)用格式為quad2d（fun，A，B，C，D），其中fun是函數(shù)表達(dá)式，變量的取值范圍是A≤x≤B，C（x）≤y≤D（x）。

例1，求二重積分 ，其中區(qū)域Ω

是有直線x=0，x=1，y=1，y=2圍成的區(qū)域。

根據(jù)區(qū)域Ω的特點即可以看成X型區(qū)域也可以看成Y型區(qū)域，采用X型區(qū)域把二重積分化為二次積分得：

運(yùn)用MATLAB軟件求解二次積分方法如下：

方法一：調(diào)用MATLAB符號計算命令int

>>syms x y；>> f=x^2*sin（y）；>> I=int（int（f，0，1），1，2）；

>> I=cos（1）/3-cos（2）/3；>>I=vpa（I，4）；>> I=0.3188；

方法二：調(diào)用MATLAB數(shù)值計算命令dblquad

>> fun=@（x，y）x.^2.*sin（y）； >> I=dblquad（fun，0，1，1，2）；>> I=0.3188；

方法三：調(diào)用MATLAB數(shù)值計算命令quad2d

>> fun=@（x，y）x.^2.*sin（y）；>> I=quad2d（fun，0，1，1，2）；>> I=0.3188；

例2，求二重積分 ，其中區(qū)域Ω是

有拋物線y=x2和x=y2圍成的區(qū)域。

根據(jù)區(qū)域Ω的特點把二重積分化為二次積分得：I=

，此積分區(qū)域為平面區(qū)域調(diào)用quad2d

函數(shù)如下：

>> fun=@（x，y）x.^2.*sin（y）；>>C=@（x）x.^2；D=@（x）sqrt（x）；

>> I=quad2d（fun，0，1，C，D）；>> I=0.0492；

由于區(qū)域Ω是平面區(qū)域，對y的積分是變限積分，因此不能直接調(diào)用dblquad函數(shù)。但是可以通過變量替換轉(zhuǎn)化為矩形區(qū)域上的積分。

令z=（y-C（x））/（D（x）-C（x）），則y=（D

（x）-C（x））z+C（x），二重積分可以轉(zhuǎn)化為I=

。通過此變換把

平面上的二重積分化為矩形區(qū)域上的二重積分，因此可以調(diào)用int命令和dblquad命令。然而對于符號計算命令int求解積分時，要求被積函數(shù)具有顯式的原函數(shù)，但是此時的被積分函數(shù)沒有顯式的原函數(shù)，因此只能調(diào)用MATLAB數(shù)值計算命令dblquad：

>> fun=@（x，z）x.^2.*sin（（sqrt（x）-x.^2）.*z+x.^2）.*（sqrt（x）-x.^2）；

>> I=dblquad（fun，0，1，0，1）；>> I=0.0492；

例3，求二重積分 ，其中區(qū)域Ω是有

拋物線y=x2和x=y2圍成的區(qū)域。

根據(jù)區(qū)域Ω的特點把二重積分化為二次積分得：

，調(diào)用平面區(qū)域求積分命令quad2d得：

>> fun=@（x，y）x.^2.*y；>>C=@（x）x.^2；D=@（x）sqrt（x）；

>> I=quad2d（fun，0，1，C，D）；>> I=0.0536；

根據(jù)例2中的變換方法把對y的變限積分也化為定積分，則積分可化為： 。這時二次積分的積分區(qū)域是矩形區(qū)域，并且此時的被積函數(shù)具有顯示的原函數(shù)，因此可以調(diào)用int命令和dblquad命令。

方法一：調(diào)用MATLAB符號計算命令int

>> syms x y >> f=x^2*sin（（sqrt（x）-x^2）*z+x^2）*（sqrt（x）-x^2）；>> I=int（int（f，0，1），1，2）；

>> I=3/56；>> vpa（I，3）；>> I=0.0536；

方法二：調(diào)用MATLAB數(shù)值計算命令dblquad

>> fun=@（x，z）x.^2.*（（sqrt（x）-x.^2）.*z+x.^2）.*（sqrt（x）-x.^2）；>> I=dblquad（fun，0，1，0，1）；

>> I=0.0536。

MATLAB在計算二重積分的時候可以運(yùn)用符號運(yùn)算和數(shù)值計算兩種思路。這兩種思路都可以解決二重積分問題但又各有優(yōu)劣，符號計算因其需要被積函數(shù)的原函數(shù)，所以可以得到積分的精確值，然而這也是符號計算的劣勢，因為很多的被積函數(shù)不存在顯式的原函數(shù)；而數(shù)值計算不論被積函數(shù)有沒有顯式的原函數(shù)都可以計算積分，但是得到的是近似值而不是精確值。多重積分的數(shù)值計算在很多工程問題中都有很重要的應(yīng)用，可以通過運(yùn)用MATLAB內(nèi)部命令解決工程中的實際問題，提高學(xué)生的動手能力和解決實際問題的能力，為學(xué)生以后的工作積累實踐經(jīng)驗。

三 結(jié)束語

高等數(shù)學(xué)把基于MATLAB的數(shù)學(xué)實驗課引入課堂，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和學(xué)習(xí)興趣，改變了傳統(tǒng)的教學(xué)方法，增強(qiáng)了應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，提高了學(xué)習(xí)效率，有利于提高教學(xué)質(zhì)量。結(jié)合高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程遇到的二重積分計算，通過幾個例子給出二重積分的計算方法。本文著重分析了MATLAB求二重積分的符號計算和數(shù)值計算兩種思路的相似和不同之處，以及如何運(yùn)用MATLAB內(nèi)部函數(shù)實現(xiàn)復(fù)雜的積分計算。

參考文獻(xiàn)

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〔責(zé)任編輯：林勁〕