條件概率與數學期望趣題

【摘 要】討論條件概率、獨立性與數學期望趣題，對條件概率的理解有新的認識。

【關鍵詞】條件概率 帽子戲法 數學期望

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2015）19-0042-02

一 條件概率與獨立性

1.條件概率

已知事件A發生的條件下，事件B發生的概率

稱為條件獨概率。

條件概率的計算多數情況下是縮小空間直接計算，而只是少數情況下用到上述公式。

例如，在一場足球比賽中，一個球員獨立進3個球，稱之為上演“帽子戲法”?！懊弊討蚍ā痹从陔s劇節目，一人兩手拋3頂帽子，在頭上輪換。此項技術很難，故足球比賽中借用“帽子戲法”形容在一場足球比賽中一個球員獨立進三個球很難。

下面講一個概率中的“帽子戲法”。

桌上蓋著3頂帽子，其中只有1頂帽子里面蓋有1

枚金幣。任選1頂選中金幣的概率是 。

下面把問題改進一下：把3頂帽子分別編號為1、2、3。

問題一，先任選定1頂帽子（假設是1號）。由蓋帽者在剩下的兩頂帽子中打開1頂空的（假設3號空）。現在金幣必在1號或2號之中，你重新選擇。是保持不變還是改選2號？

1 2 3

分析一：在打開3號空帽后，1號帽子沒有增加金

幣的可能性。故1號有金幣的概率還是 。因此，改選2

號選中的概率為 。

分析二：在打開3號空帽后，2號帽子也沒有增加金幣呀！表面看是如此，其實不然。由蓋帽者打開1頂空帽，是在2號與3號之間選擇的。2號與3號帽子中

有金幣的概率之和是 ，由蓋帽者打開1頂空的（是必

然事件），其實是排除其中1頂空的，剩下的1頂蓋有金

幣的概率為 （實際上是兩頂帽子蓋有金幣概率之和）。

分析三：設Ai={第i頂蓋帽蓋有金幣}，i=1、2、3，S={由蓋帽者打開1頂空帽子}，則S是必然事件！

于是， ，故要改

選2號。

問題二，當蓋帽者打開1頂空帽子（3號）后，由不知情者在1、2號中任選一頂。（1）他選中有金幣的概

率為 ；（2）他無論選1號還是2號，選中有金幣的概

率都是 。

問：（1）和（2）所表達的意思相同嗎？

答：（1）和（2）所表達的意思不一樣。前者是無條件概率（全概率），后者是條件概率。設Ai={他選第i頂帽子}，i=1、2，S={他選中有金幣帽子}，則（1）P（B）=

；（2）

。

1號帽子中有金幣的概率為 ，2號帽子中有金幣的

概率為 ，這是問題一中分析出來的結果，是客觀事實。

它不會因為不同人的猜測而改變。故結論（1）正確，結論（2）錯誤。

問題三，設選定1號帽子，現在由非蓋帽者打開2號、3號中的任意一頂，發現是空的。你重新選擇，如何選？

分析：設Ai={第i頂蓋帽蓋有金幣}，i=1、2、3，B=

{非蓋帽者打開1頂空帽子}，則 ，注

意到A1 B（A1發生時，B一定發生），且

（任意一頂帽子空的概率為 ），故

，由此可見，在由非蓋帽者打開1頂空帽后，重

新選擇時，改與不改選中的概率一樣。

注：非蓋帽者打開1頂帽子有金幣時，你改與不改也是一樣，選中的概率都為零。

總結：在問題1與問題2中，由蓋帽者打開1頂空帽時，知情者與不知情者猜中的概率不一樣。這是條件概率與無條件概率的區別。而問題1與問題3中，由蓋帽者打開1頂空帽與由非蓋帽者打開1頂空帽，導致的結果也不一樣，這似乎有些費解。其實兩者的區別在于：蓋帽者打開1頂空帽是必然事件，而非蓋帽者打開1頂空

帽的概率僅有 。這是不同的條件概率問題。

2.獨立性

事件A、B獨立的充要條件是：

P（AB）=P（A）P（B） （1）

判斷兩個事件是否獨立，常常是直觀判斷，不必驗證（1）。而與（1）等價的條件還有P（B/A）=P（B）或P（B/A）=P（A），即條件概率等于無條件概率。在實際應用中，這條性質往往被忽略掉了。

例1，賭徒的謬誤：

賭徒在連續輸了3次之后，他認為第四次贏的概率會增大。不幸的是他第四次又輸了（獨立性，前幾局的結果不影響后面的結果）。

例2，產婦的悲劇：

我國農村人重男輕女思想嚴重，幾乎每家庭都有這種思想：要一直生育到男孩為止（不顧違反計劃生育政策而受罰）。一個婦女前三胎都生女兒，她認為第四胎一定是男孩，不幸的是第四胎又是個女孩（獨立性，前幾胎的結果不影響后面的結果）。

此類例子還有：買彩票，交通事故等。

二 數學期望

在講到數學期望（均值）的時候，我給同學們講了下面這個例子：

有一種賭博方式叫碰運氣。盒子里有3顆骰子，莊家隨機搖動盒子然后蓋在桌上，讓你猜1至6中的一個數。假設你猜1點，若3個骰子中出現i個1點，你就贏i倍賭金，i=1、2、3；如果3個骰子中沒有出現1點，你就輸了賭金。

分析1：每顆骰子出現1的概率為16，3個骰子至

少出現一個1點的概率為 ，此外，還有出現2個

1點，3個1點時你將獲得2倍、3倍賭金的額外機會。所以這個賭博方式對賭徒有利。

分析2：任何一種賭博方式都不可能對賭徒有利。那么，分析1中的問題出現在哪呢？是概率計算出現了問題。事實上，3顆骰子中至少出現1顆1點的概率為

?，F在我們來計算參與這個賭博贏錢的

期望值。設X表示你贏錢數，則：

， ；

， ；

。

由此可見，賭徒贏錢的期望值是-7.8%。

假如你一天的賭金是100萬，平均來說，你將輸了7.8萬元。

分析3：還有一個簡單的判斷：假設有6個人參加賭博，賭金都是1萬。6個人分別賭1～6點，看莊家如何贏錢。（1）3顆骰子出現的點數都不同，莊家吃三賠三，不輸不贏；（2）3顆骰子中有2顆相同，莊家吃四賠三，凈贏1份賭金；（3）3顆骰子點數都相同，莊家吃五賠三，凈贏2份賭金。

綜上所述：莊家至少保本，還有凈贏1到2份賭金的機會。

參考文獻

[1]Richard.A.Epstein.賭博的理論和統計學的邏輯[M].Academic press，1967

[2]李澤華、謝甌.概率論與數理統計[M].廣州：廣東科技出版社，2010

[3]謝延年、尹斌庸編著.數學家傳[M].長沙：湖南教育出版社，1987

〔責任編輯：龐遠燕〕