一個新的蘊涵算子Rzh

【摘 要】建立了一個新的蘊涵算子Rzh，據此對李繼成等引入的F1-代數的擬Fuzzy-賦值做出了一個合理的解釋。

【關鍵詞】F1-代數 濾子 蘊涵算子 Fuzzy-賦值

【中圖分類號】O15 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2015）19-0028-03

智能計算機的出現有力地推動了模糊控制技術的發展，而各種模糊控制又是以其特定的模糊推理與模糊邏輯為基礎的。為適應不同的模糊推理的需要，人們引入了種種具有不同性質的所謂“蘊涵代數”，如Fuzzy蘊涵代數①（簡稱為F1-代數）、格蘊涵代數②③、模糊格蘊涵代數④、模糊公式代數⑤、蘊涵格⑥等，以便為模糊推理建立嚴格的邏輯基礎。

值得注意的是，利用賦值的方法來研究命題邏輯問題，無論是在經典邏輯中還是在多值模糊邏輯中都是極為重要的。然而，在某種意義上，“賦值法”在邏輯上的等效性主要依賴于賦值域的合理選擇和賦值（作為一個映射）本身所具有的良好性質，基于這一點，人們從不同的背景提出了實數區間I=[0，1]上的各種各樣的蘊涵算子，諸如文⑦中所列舉的：Zadeh的蘊涵算子Rz、Lukasiewicz的蘊涵算子RL、Gode的蘊涵算子RG?、Gaines-Rescher的蘊涵算子RGR，以及王國俊教授⑤提出的蘊涵算子R0等。

在本文中，我們將建立一個新的蘊涵算子Rzh，并在此基礎上對文⑧中引入的F1-代數的擬Fuzzy-賦值做出了一個理想的解釋。

一 預備知識

為方便起見，我們先給出本文所要用到的定義和概念。

定義1.1：一個（2，0）型代數（x，→，0）稱為F1-代數，如果 ，有（11）x→（y→z）=y→（x→z）；（12）（x→y）→（（y→z）→（x→z））=1；（13）x→x=1；（14）x→y=y→x=1 x=y；（15）0→x=1；其中，1=0→0。

定義1.2：設（X，→，0）是F1-代數，若同時滿足： ，（H）x→（y→z）=（x→y）→（x→z）則稱（X，→，0）是HF1-代數。

定義1.3：稱（X，→）型的代數為泛蘊涵代數，這里→是X上的一個二元運算，稱為蘊涵算子，如果泛蘊涵代數（X，→）滿足定義1.1中的條件（11）～（14），其中1為X的一個固定元，則稱之為擬F1-代數，記作（X，→，1）。

定義1.4①：設（X，→，0）是F1-代數，F X，F稱為X的一個濾子，如果：（1）1∈F；（2）x，x→y∈F y∈F。

定義1.5①：設（X，→，0）和（Y，→，0）是兩個F1-代數，若映射f：X→Y，使得f（x→y）=f（x）→f（y）則稱f為X到Y的同態映射，簡稱為F1-同態。

定義1.6⑧：設（X，→，0）是F1-代數，若映射f：X→[0，1]滿足下列條件： 。（1）f（1）=0；

（2）f 則稱f為F1-代

數（X，→，0）的擬Fuzzy-賦值。

二 一個新的蘊涵算子Rzh

在引言里，我們已列舉了幾種常用的蘊涵算子，這里將給出一個新的蘊涵算子Rzh，據此，對文⑧中的擬Fuzzy-賦值作了必要的解釋。

定理2.1：設I=[0，1]為實數區間， ，

定義 ，則（I，→，1）

為F1-代數。

證：我們來逐條驗收F1-代數的公理（I1）～（I5）被滿足， 。

（I1）x→（y→z）=y→（x→z）

（i）當x=y=z或x=y時，（I1）式顯然成立。當x=z時，若x

x→（y→z）=x→（y→x）=x→0=0

y→（x→z）=y→（x→x）=y→0=0

若y

x→（y→z）=x→（y→x）=x→（x-y）=0

y→（x→z）=y→（x→x）=y→0=0

故當x=z時，（I1）式成立，從而由對稱性知，y=z時（I1）式亦成立。

（ii）當x

x→（y→z）=x→（z-y）=max{0，（z-y）-x }

y→（x→z）=y→（z-x）=max{0，（z-y）-y }

故當x

（ⅲ）當x

x→（y→z）=x→0=0

y→（x→z）=y→（z-x）=max{0，（z-y）-x}=0

故當x

（ⅳ）當z

x→（y→z）=x→0=0

y→（x→z）=y→0=0

故當z

（I2）（x→y）→（（y→z）→（x→z））=0

（ⅰ）當x=y 時（包括x=y=z的情形），

左邊=（x→x）→（（x→z）→（x→z））=0→0=0

當x=z時，

左邊=（x→y）→（（y→x）→（x→x））=（x→y）→（（y→x）→0=（x→y）→0=0。

當y=z時，

左邊=（x→y）→（（y→y）→（x→y））=（x→y）→（0→（x→y））

=（x→y）→（x→y）=0。

（ⅱ）當x

左邊=（y-x）→（（z-y）→（z-x））=（y-x）→（（z-x）→（z-y））=（y-x）→（y-x）=0。

（ⅲ）當z

左邊=0→（0→0）=0→0=0。

（ⅳ）當x

左邊=（y-x）→（0→（z-x））=（y-x）→（z-

x）=0

（ⅴ）當y

左邊=0→（（z-y）→0）=0→0=0

（ⅵ）當y

左邊=0→（（z-y）→（z-x））=0→0=0

（ⅶ）當z

左邊=（y-x）→（0→0）=（y-x）→0=0

到此，證明了 ，（I2）式恒成立。

（I3）x→x=0顯然成立。

（I4）x→y=y→x=0 x=y。

由x→y=0得，0=max{0，y-x }≥y-x，即x≥y。同理有y≤x ，從而x=y。

（I5）I→x=0，其中0=0→1。這也是顯然成立的。

綜上所述，（I，→，1）是一個F1-代數。定理2.1證畢。

由定理2.1我們立即得到下列：

定理2.2：設（X，→，0）為F1-代數，則映射f：X→I為X的擬Fuzzy-賦值當且僅當f是（F，→，0）到（I，→，1）的F1-同態。

按照此文⑥，我們也稱定理2.1中的F1-代數（I，→，1）為Rzh-蘊涵區間，而其中的→稱為蘊涵算子Rzh。同時，定理2.2表明：文⑧中所定義的F1-代數的擬Fuzzy-賦值，也正好是通常意義下的Fyzzy-賦值，即F1-同態。

三 FI-代數的濾子與同態

文⑧研究了FI-代數的濾子與擬Fuzzy-賦值的關系，本節就此作了深入的討論，并對文⑧中的一個疏誤之處作了更正。

定理3.1：設（X，→，0）為FI-代數，F為X的一個真濾子，若存在FI-同態f：X→I，使得f -1（0）=F，則 有x→y∈F或y→x∈F。

證 若f為FI-同態，且f -1（0）=F，則f（x）=c1≠0，f（y）=c2≠0并且有

f（x→y）=f（x）→f（y）=max{0，c2-c1}

f（y→x）=f（y）→f（x）=max{0，c1-c2}

由此可見，必有f（x→y）=0或f（y→x）=0，即x→y∈F或y→x∈F。證畢。

例1，設X={0，a，b，1}由下表確定：

可以證明（X，→，0）是一個HFI-代數，且F={1}為X的一個濾子，由于a，b a→b=b F且b-a=a F，所以由定理3.1知，不存在（X→，0）上的擬Fuzzy-賦值f，使得f-1（0）=F。

上例表明：文⑧中的定理3.3的結論是不真的，從原文的證明的過程看，問題在于：對于HFI-代數（X，→，0）的任一濾子F，并不能保證映射fF：X→I

永遠是一個FI-同態，對此，我們給出下列：

定理3.2：設（X，→，0）為FI-代數，F為X的一個真濾子，則fF為FI-同態（且f-1（0）=F ，有x→y，y→x∈F。

證：“ ”：與定理3.1之證類似。

“ ”：我們來證明 均，有fF（x→y）=fF（x）→fF（y）。

（1）若y∈F（無論x∈F與否）

因y→（x→y）=x→（y→y）=x→1=1∈F又y∈F，故x→y∈F。于是fF（y）=0且fF（x→y）=0，從而fF（x→y）=10=max{0，fF（y）-fF（x）}=fF（x）→

fF（y）。

（2）若x∈F，y F，則顯然有x→y F，于是fF（x）=0，fF（y）=1，fF（x→y）=1，從而fF（x→y）=

1=max{0，fF（y）-fF（x）}=fF（x）→fF（y）。

（3）若x，y F，則由充分性條件得，x→y∈F于是fF（x）=fF（y）=1，fF（x→y）=0，從而fF（x→y）=

0=max{0，fF（y）-fF（x）}=fF（x）→fF（y）。

到此，定理3.2證畢。

對于HFI-代數，我們有下列：

定理3.3：設（X，→，0）為HFI-代數，F為X的一個真濾子，則下列各條等價：（1）fF為FI-同態；（2）F為X的極大濾子；（3） ，有C（x）∈F，這里C（x）=x→0。

證：設F為X的極大濾子 ，令為由F和x生成的濾子，則由文⑧中的定理2.2得： 。

由F的極大性知， ，從而x→y∈F。同理有y→x∈F。這樣，由定理3.2知，fF為FI-同態，即（2） （1）成立。

注意到 ，從上述證明過程，我們還得到：當 時，必有C（x）=x→0∈F。（2） （3）獲證。

設fF為FI-同態，任取x∈X，但 ，我們來證=X。事實上，若 ，則由定理3.2知，x→a∈F，從而 。故=X由此可知，真包含F的濾子只有X，即F為X的極大濾子，因此，（1） （2）成立。

注意到當 而C（x）=x→0∈F時，有 。于是， 由（I5）：0→a=1∈a得，a∈因此，X，F為X的極大濾子。這就證明了：（3） （2）定理3.3證畢。

注記：對于FI-代數（X→，0）及濾子F，我們有以下事實 ：（1）x∈F，y∈F x→y∈F；（2） ，y∈F x→y∈F；（3）x∈F， x→y F；（4） ， 時，以下各種可能性都是存在的：x→y∈F但y→ x F（在例1中，取F={1}，x=0，y=a）；x→y∈F且y→ x∈F（在例1中，取F={b，1}）；x→y∈F且y→ x F（在例1中，取F={1}，x=a，y=b）。

值得注意的是，當FI-代數（X，→，0）的濾子F滿足條件： 時，則濾子F便確定了X上“實質蘊涵”→的真值表：

注 釋

①吳望名.Fuzzy蘊涵代數[J].模糊系統與數學，1990（1）：56～63

②徐揚.格蘊涵代數[J].西南交通大學學報，1993（1）：21～27

③朱怡權.關于格蘊涵代數與BCK-代數[J].純粹數學與應用數學，1999（3）：22～26

④徐揚、秦克云.模糊格蘊涵代數[J].西南交通大學學報，1995（2）：121～127

⑤王國俊.模糊命題演算的一種形式演繹系統[J].科學通報，1997（10）：1041～1045

⑥王國俊.蘊涵格及其Fuzzy拓撲表現定理[J].數學學報，1999（1）：133～140

⑦王國俊.模糊推理的一個新方法[J].模糊系統與數學，1999（3）：1～10

⑧李繼成、張文修.HFI-代數的擬Fuzzy-賦值[J].模糊系統與數學，2000（2）：1～3

〔責任編輯：龐遠燕〕