極限思想在數學中的應用

【摘要】極限的思想，是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數學思想。用極限思想解決問題的一般步驟可概括為：對于被考察的未知量，先設法構思一個與它有關的變量，確認這變量通過無限過程的結果就是所求的未知量；最后用極限計算來得到結果。在數學中，極限思想滲透到函數、數列等章節，銜接高等數學，起到了承上啟下的作用。

【關鍵詞】極限 數學 函數

【中圖分類號】O1 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）12-0133-01

1.極限思想在函數當中的應用

在經濟類題目中真正需要用到的具體的極限定理和公式，實際上并不很多，但所受到的數學訓練，所領會到的極限思想和精神，卻無時無刻不在發揮著積極的作用。

在經濟類題目中，用平均和邊際這兩個概念來描述一個經濟變量 y 對另一個經濟變量x的變化。平均概念表示y在自變量x的某一個范圍內的平均值。顯然， 平均值隨 x 的范圍不同而不同。邊際概念表示當 x 的改變量Δx趨于0時，y的相應改變量 Δy與Δx比值Δy/Δx的變化， 即當 x 在某一給定值附近有微小變化時，y的瞬時變化。經常用到的概念有邊際成本、邊際收入、邊際利潤、邊際替代率等。如邊際替代率是指在維持效用水平或滿足程度不變的前提下，消費者增加一單位某種商品的消費時所放棄的另一種商品的消費數。

根據邊際替代率的定義求極限 （無限變化得精確值）。當逐漸變小， 這是一個量變過程，但是量變達到一定界限， 平均邊際替代率問題向某點邊際替代率飛躍發生質變， 由此可知， 為了求出某一點的量（某一點的邊際替代率）， 用在局部 “以勻代非勻”求得這個量的近似值， 然后再通過取極限的方法實現從近似到精確的過渡。在這里， 使“勻”與 “非勻”轉化的條件是取極限，不取極限就不能轉化。這是極限解決邊際問題的基本思想方法。

2.應用極限思想解決無限的問題

所謂無限的問題是指人們需要求取一個數值，而這個數值求取的過程非常繁瑣，人們如果窮舉這個范圍內所有的數值將會非常困難，但是如果人們有無限的思想，則可以就用無限接近的思想給出這個范圍內最大的一個極限和一個最小的極限，則人們不需要窮舉范圍內所有的數值，直接可以判斷該范圍。

3.應用極限思想解決逼近的問題

所謂逼近的問題是指人們遇到某種問題時，需要了解它的取值，然而這種取值是沒有精確答案的，人們于是使用極限的思想，盡可能取出與該精準值最接近的一個答案，它即為該問題的最終答案，這種逼近的問題能幫助人們盡可能的解決不可能解決的問題。

4.應用極限思想解決決策的問題

所謂的概述問題是指人們在統計或計算中，需要了解某種數值，這種數值人們如果要精準的計算，常常會得出不必要的循環小數，而在實踐生活中人們不需要特別精準的答案，只需要一個大概的數值幫助自己決策，因此可以用極限的思想把過于復雜的計算與統計全部省略，得到人們需要的大概數字。例如，在講算法初步時，教師可以引導學生思考，極限思想能幫人們化繁為簡，解決實踐生活中的問題，實際上那位古老的賣羊故事即利用極限思想完成該類問題。

5.結論

從以上的極限思想應用中可以看到，實際上極限思想擁有以下幾種思想：無窮大的思想，它是指用一種數學方式描述出一種事物的趨勢，人們可能不了解這件事情的極限，但是人們可以掌握該事物的趨勢，并在該趨勢范圍內選取人們需要的一個范圍，它能避免人們無窮列舉的問題；無窮小的思想，它是指人們需要精準的掌握一件事物，然而這件事物幾乎不可能讓人們精準的了解或描述，因此人們用無限小的思想盡可能地選取最接近于精準答案的那個答案，它能避免人們無法精神描述的問題；輔助決策的思想，這是指人們在決策一件事物時，人們有時無法作準最精密無誤的決策，然而人們卻又必須解決決策的問題，所以人們尋找一個能幫助自己決策的答案，這個答案能接近于人們需要的這個目標。微積分是目前大專學生需要學習的數學知識，學生在學習微積分時，常常會感覺到微積分知識復雜，他們覺得學習那么復雜的事物不知道能解決什么問題，教師要引導學生理解到無限思想應用的方法，當學生理解到無限思想的巨大用處時，就會對學生微積分知識產生興趣。

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作者簡介：

王志攀（1982-），女，安徽淮北人，應用數學碩士研究生，現任教于福建農業職業技術學院，講師。畢業院校：廣西大學；研究方向：應用數學。