對微積分中主要矛盾的認識

張榮芳

【摘要】微積分在高等數學教育中占有相當重要的地位，是高等數學理論分析的基本工具。在微積分中存在著很多辯證矛盾，通過對這些矛盾進行深入分析，可以讓學生對微積分有更清楚、更深刻的認識，進而幫助學生解決數學難題。

【關鍵詞】高等數學 微積分 矛盾 分析認識

【中圖分類號】O13 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）12-0124-01

在高等數學中，每一塊的知識都富含了辯證矛盾，微積分這一塊的內容可以作為典型，在微積分中，從概念到運算、從理論到運用、從分析到結論都有矛盾的身影，在學習微積分時，如果能將這些矛盾研究透徹，那么在使用微積分解決數學問題時將會有事半功倍的效果。

一、微積分簡介

1.1 微積分的提出

微積分最早可在追溯至公元前三世紀，在古希臘的阿基米德研究曲面面積、球體體積等問題中有現代微積分的雛形，在我國古代書籍《莊子》中也有相關問題的提出：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”這兩種問題分別代表了微積分中的積分學和極限。現代微積分真正被作為一門學科被提出來是在十七世紀，有牛頓和萊布尼茨從不同角度對微積分進行了研究，并運用之解決實際問題。

1.2微積分的主要內容

現代微積分是高等數學中及其重要的一項內容，也是高校數學科目必修的一項基礎內容。微積分主要包括了三項內容：微分學、積分學和極限（積分學中又可分為定積分和不定積分兩類）。這三項內容分別用于解決不同類型的問題，微分學主要解決了物體的速度、加速度和曲線上某一點的斜率等數學問題的計算；積分學則較多用來解決物體的表面積或體積等問題；極限一般在對抽象問題具體化分析中運用較多。

1.3 微積分的實際意義

在創立微積分學以前，很多計算問題無法得到合理解決，例如：在求解一個做變加速度的物體在某一時刻的速度問題，在一問題的難點在于，物體的加速度是變化的，導致物體的速度也在變化，這樣就無法用總距離除以總時間得到平均速度這一方法進行分析運算了；同樣在求曲線上某一點的斜率時，也遇到了困難，斜線上每一點的斜率與鄰近點都是不同的，整體也都是變化的。而微積分學的創立，完美結局了這一類的計算問題。微積分不僅在數量理論上有較為廣泛的應用，對解決實際生活中的問題也有較大幫助。

二、微積分中的主要矛盾

矛盾本身具有兩面性，因此矛盾都是成對出現的，在微積分中同樣如此，例如：微分和積分、有限和無限、離散和連續、近似和準確、直線和曲線等一些矛盾。對微積分中的這些個矛盾進行研究分析，對其有更為深刻的認識，在解決數學問題或實際生活問題將會更加得心應手。

2.1 微分和積分

微分和積分本身就是一對矛盾的關系，微分是將整體問題或原函數分解到微小化，對局部問題或導函數做具體研究，而積分則是恰恰相反，將局部問題或導函數完全反過來，組合尋找整體規律，解決整體問題或求解原函數，這兩個求解過程是完全相反的，是一組矛盾關系的體現。積分和微分的矛盾關系還體現在運算公式上——積分表和微分表，在兩組運算公式中，積分和微分公式一一對應，由原函數求導得出導函數，由導函數積分得出原函數。

2.2有限和無限

極限是微積分中的一個重要分支，有限和無限也是微積分中的一組矛盾，在有限和無限概念中并沒有明確的界限，它們之間可以通過極限運算相互轉化，通過有限求解無限，通過無限來認識有限，無限是絕對的，有限是相對，這是一對矛盾組合。在極限中，有一經典例題，將一米長的木棍，每次截去一半，經過多次截去后，問木棍還有多長，這既是將有限問題轉化為無限問題，我們運用極限理論分析可以得知答案是（1/2），n為截去次數；同樣的問題反過來看，（1/2）+（1/2）+（1/2）+…+（1/2）=？將無限個分數相加，最后結果得到的是一個整數，實現了無限轉化為有限。

2.3離散和連續

連續和離散是微積分中的一對矛盾，連續通常需要運用離散，而離散通常會轉化為連續。在微積分中，級數和積分是離散和連續的典型代表，連續積分一般要用級數求和去極限值得到，反過來，連續積分也可以用微分法求解級數和。典型的連續求和例題是求解曲邊梯形面積，需要將連續曲線分割為離散項，然后求離散和，再求極限得到連續求和，得到曲邊梯形面積。

2.4直線和曲線

直線和曲線的關系如同無限和有限的關系，在高等數學中，也同樣有很多代表性的直線曲線例題。直線是相對的，曲線是絕對的，這兩種線是一對矛盾關系，在求解曲線斜率時，時常將曲線無限切割成微小直線段，這一問題的分析，同時體現了直線和曲線、無限和有限的矛盾關系，將曲線轉化成了直線、將有限轉化成了無限來解決曲線的斜率問題。在求解元面積時，同樣將一個元分解成無限多個扇形，將每一個扇形的底邊曲線近似看作直線，如此將曲線問題變成直線問題，實現對復雜問題的簡單化。在這一類的幾何求解問題中，著重體現了直線和曲線的辯證關系，同過定積分將這種矛盾關系運用到實際問題分析中，可將無法真實測得的抽象數據，通過矛盾分析轉化為具體數據，進而完成對問題的解答。

三、總結

綜上所述，微積分中的矛盾包含有辨證關系，通過深入的研究，對微積分中的主要矛盾有了更深刻、更清楚的認識，將微積分的矛盾運用在一些數學問題分析研究中，可將復雜問題簡單化，對學習高等數學具有極大的幫助。

參考文獻：

[1]王嬌，淺談高數微積分思想及其在實踐中的應用[J]《科技視界》2015（14）