直線共軛內嚙合齒輪副嚙合強度分析

徐金波，崔建昆，胡翰林

（上海理工大學 機械工程學院，上海 200093）

0 引言

直線共軛內嚙合齒輪泵具有輸出壓力高、結構簡單、流量脈動和噪聲小等優點，其優越性能在很大程度上來自于一對特殊的直線共軛內嚙合齒輪副，外齒輪的齒廓是容易加工的直線，內齒輪的齒廓是與之共軛的曲線，這種齒形不但強度高，而且作為內嚙合齒輪泵使用時，困油容積小，噪聲低［1］。

直線共軛內嚙合齒輪泵的受力情況與其性能有著密切的關系，不僅直接影響齒輪泵的壽命，而且與齒輪泵的脈動和噪聲也有緊密的聯系。直線共軛內嚙合齒輪除了嚙合力外，還受油壓力的影響。

本文從該齒輪副的特殊齒形和嚙合力的計算入手，對直線共軛內嚙合齒輪副進行具體的分析，利用赫茲公式［2］求解出最大接觸應力，并與有限元方法求解的結果進行比較。

1 嚙合力

常見的用于傳動的齒輪，其輪齒的受力分析通常都是比較簡單的。但對于直線共軛內嚙合齒輪泵，應考慮液壓油對輪齒的影響。

1.1 油壓對輪齒的影響

如圖1所示，以小齒輪中心為原點，其中一輪齒的對稱軸為縱坐標建立坐標系xOy。當壓強p作用于寬為B的直線齒廓時，取齒廓的一小段dl，則壓強p在這段齒廓上產生的壓力為dF＝pBdl。

將dF沿x，y向分解，得到：

dFx和dFy產生的力矩為：

圖1 直線齒廓輪齒的受力

由于輪齒齒廓各部分受到的壓強不同，壓強差將產生力矩。如圖2所示，設在半徑rk1－rk2（rk1和rk2分別為dl段最低點和最高點到小齒輪圓心距離）對應的齒廓部分，輪齒兩側分別受到不同的壓強ph和pl。則x方向產生的力矩為：

類似地，y方向產生的力矩為：

由于My較小，為簡化計算，將My省略。

當壓強p作用于非直線齒廓時，取齒廓的一小段dl，可以得到同樣的結論。因此，可以認為輪齒受到的力矩為：

圖2 直線齒廓輪齒的力矩計算

1.2 小齒輪的力矩分析

小齒輪受到的力矩包括以下3個部分：

（1）進入月牙塊的輪齒外側與脫離月牙塊的輪齒外側的壓強差產生的力矩M1，見圖3。根據式（1）有：

其中：Δp為高壓區和低壓區的壓強差，Δp＝ph－pl；ra1為小齒輪齒頂圓半徑；rf1為小齒輪齒根圓半徑；R為小齒輪或齒圈嚙合點處向徑值。

圖3 力矩M1

（2）嚙合的輪齒齒廓被嚙合點分為高壓區和低壓區（見圖4），嚙合的輪齒在高壓區和低壓區受力不平衡產生力矩M2。根據式（1）有：

其中：R1為小齒輪嚙合點處向徑值。

（3）嚙合力產生力矩M3，見圖5。圖5中，γ′為力F延長線與連接K點到齒圈圓心O2的線段O2K的夾角，R2為齒圈嚙合點處向徑值。

其中：γ為力F延長線與連接K點到小齒輪圓心O1的線段OK的夾角。

由圖5有幾何關系：

其中：r1為小齒輪分度圓半徑；β為小齒輪齒形半角；θ為小齒輪上嚙合點處齒厚所對應的圓心角。

在△AKO1中，根據正弦定理，有：

則

將式（5）代入式（4）得：

（4）驅動力矩為T，它由驅動電機傳遞給小齒輪。

圖4 力矩M2

圖5 力矩M3

1.3 嚙合力的計算

小齒輪受到的轉矩有如下的關系：

將式（2）、式（3）和式（6）代入式（7）得：

由式（8）求得嚙合力公式為：

2 赫茲接觸應力計算

齒面接觸計算公式——赫茲理論計算公式為：

以NJB2泵為例，按照赫茲理論公式計算得σHmax＝178.2MPa。

3 嚙合強度的有限元分析

從以上理論計算方法可以看出，其中涉及的參數多，誤差大，計算過程繁瑣，并且不能直觀顯示齒輪齒面接觸應力的具體分布情況，而有限元法則克服了上述的缺陷。

3.1 模型的建立與網格劃分

采用參數化方法在Pro/E軟件中建立直線共軛內嚙合齒輪副三維模型，如圖6所示。

將建立的三維模型導入到ANSYS Workbench中劃分網格，如圖7所示。網格節點數為32 877，單元數為17 164。

3.2 定義接觸對、約束條件及加載

本文的齒輪副采用面－面接觸的方式，其中大齒輪為目標單元，小齒輪為接觸單元。小齒輪的中心添加Cylindrical Support，并將Tangential設定為Free，內齒輪添加Fixed Support。嚙合力最大時M1＝M2，小齒輪上加載扭矩為逆時針扭矩T。

3.3 分析結果顯示

圖8為嚙合過程應力云圖。圖9為齒圈應力云圖，圖10為小齒輪應力云圖。由圖9和圖10可知：嚙合過程中最大接觸應力為167.18MPa，最大等效應力出現在內齒圈接觸面上；小齒輪最大應力也在接觸面上，齒根處應力較大。

圖6 內嚙合齒輪副模型

圖7 劃分網格

圖8 嚙合過程應力云圖

圖9 齒圈應力云圖

圖10 小齒輪應力云圖

3.4 計算結果對比分析

利用有限元軟件ANSYS Workbench分析得到了輪齒接觸的等效應力分布圖，比較有限元分析結果與理論公式的計算結果，兩者的誤差為6.5%，滿足工程要求。

4 結論

本文考慮液壓油對輪齒的影響，對直線共軛內嚙合齒輪泵嚙合過程進行了受力分析，利用赫茲公式求出最大接觸應力。在理論分析的基礎上，運用ANSYS Workbench軟件對齒輪副嚙合過程進行應力分析，得到齒輪接觸應力分布圖。這兩種方法都適用于直線共軛內嚙合齒輪泵齒輪強度的校核，但有限元軟件分析更直觀地顯示齒輪接觸應力的分布狀況。因此，將理論公式與有限元軟件分析相結合，對內嚙合齒輪泵的優化設計和可靠性設計有重要的應用價值。

［1］崔建昆，秦山，聞斌.直線共軛內嚙合齒輪副嚙合特性分析［J］.機械傳動，2004（6）：12－15.

［2］邱宣懷.機械設計［M］.第4版.北京：高等教育出版社，1997.

［3］吳序堂.齒輪嚙合原理［M］.西安：西安交通大學出版社，2009.

［4］李尚義.談談齒輪泵的輪齒接觸疲勞強度計算［J］.機床與液壓，1988（4）：14－19.