基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的圖像邊緣提取方法?

王 芳，錢 煒，李文超

（上海理工大學(xué) 機(jī)械學(xué)院，上海 200093）

0 引言

如果某個(gè)像素點(diǎn)具有該像素點(diǎn)及其直接領(lǐng)域的灰度值呈現(xiàn)階躍或屋頂變化這種屬性，則此像素點(diǎn)被稱為邊緣點(diǎn)，而這些邊緣點(diǎn)的集合構(gòu)成了圖像的邊緣［1］。圖像的邊緣是圖像最基本的特征，一幅簡(jiǎn)單的素描可以僅由幾個(gè)線條就勾勒出物體的輪廓，由此可見圖像信息最集中的地方就是圖像的邊緣。圖像的邊緣提取除去了非相關(guān)信息，同時(shí)保留了圖像的重要結(jié)構(gòu)特性，這樣可以很大程度地減少需要處理的數(shù)據(jù)量。因此，圖像的邊緣提取是圖像分割、圖像識(shí)別、圖像分析、機(jī)器人視覺等初級(jí)處理過程中非常重要的一個(gè)步驟［2］。

傳統(tǒng)的邊緣檢測(cè)算法，如Roberts算子、Sobel算子和Prewitt算子，幾乎都是基于圖像的梯度變化而構(gòu)造出邊緣檢測(cè)算子的［3］。這些傳統(tǒng)的邊緣檢測(cè)算子計(jì)算簡(jiǎn)單，但是對(duì)噪聲敏感，定位精度低，所以邊緣檢測(cè)算法仍是圖像處理問題中的一個(gè)“瓶頸”。鑒于這種現(xiàn)狀，本文提出了一種基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的圖像邊緣提取算法。

1 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)基本理論

1.1 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是基于形態(tài)結(jié)構(gòu)元素對(duì)幾何形狀和結(jié)構(gòu)屬性進(jìn)行分析和描述的數(shù)學(xué)方法，也是一種建立在幾何代數(shù)和集合論基礎(chǔ)上，通過非線性疊加來描述圖像的非線性的處理系統(tǒng)［4］。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基本思路是，通過使用一定形態(tài)的結(jié)構(gòu)元素去度量在目標(biāo)圖像區(qū)域中的可放性和填充方法的有效性，并提取更為本質(zhì)的圖像形態(tài)結(jié)構(gòu)相關(guān)特性信息，進(jìn)而達(dá)到對(duì)目標(biāo)圖像分析和識(shí)別的目的［5］。

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)可以剔除目標(biāo)圖像中不相關(guān)的形態(tài)結(jié)構(gòu)屬性，而保留基本的本質(zhì)的形態(tài)結(jié)構(gòu)屬性，達(dá)到簡(jiǎn)化目標(biāo)圖像數(shù)據(jù)的目的，從而使得它具有并行速度快、易于硬件實(shí)現(xiàn)的特點(diǎn)［6］。目前，數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)已經(jīng)廣泛應(yīng)用于模式識(shí)別、機(jī)器視覺、顯微圖像分析、醫(yī)學(xué)圖像處理、計(jì)算方法與數(shù)據(jù)處理等領(lǐng)域，在解決濾波降噪、圖像增強(qiáng)、邊緣檢測(cè)、圖像分割、特征提取、紋理分析、圖像恢復(fù)與重建、圖像壓縮等圖像處理問題中有著明顯的優(yōu)勢(shì)［7］。

1.2 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)運(yùn)算

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)最基本的形態(tài)轉(zhuǎn)換包括膨脹和腐蝕［8］，它們能實(shí)現(xiàn)許多的功能，如濾波降噪、對(duì)目標(biāo)圖像中獨(dú)立的元素進(jìn)行分割以及彌合目標(biāo)圖像中相鄰的元素。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)也能實(shí)現(xiàn)尋找目標(biāo)圖像中的明顯區(qū)塊的極大值區(qū)域或極小值區(qū)域，以及求出目標(biāo)圖像的梯度［9］。

膨脹（Dilation）的定義是：將具有一定形態(tài)的結(jié)構(gòu)元素B平移距離a后得到新的形態(tài)相同的結(jié)構(gòu)元素Ba，如果Ba擊中了X，則記下這個(gè)a點(diǎn)，所有滿足此條件的a點(diǎn)所組成的集合稱為X被B膨脹的結(jié)果。用公式表示為：

腐蝕（Erosion）的定義是：將具有一定形態(tài)的結(jié)構(gòu)元素B平移距離a后得到新的形態(tài)相同的結(jié)構(gòu)元素Ba包含于X，則記下這個(gè)a點(diǎn)，所有滿足此條件的a點(diǎn)所組成的集合稱為X被B腐蝕的結(jié)果［10］。用公式表達(dá)為：

膨脹操作是計(jì)算局部的最大值，而腐蝕操作則是計(jì)算該區(qū)域像素的最小值，兩運(yùn)算是一對(duì)互為對(duì)偶的操作，即X被B腐蝕后的補(bǔ)集等于X的補(bǔ)集被B膨脹。膨脹是一種使邊緣向外部拓展的過程，可以用來填補(bǔ)目標(biāo)圖像中小的凹洞，并將背景邊緣轉(zhuǎn)化成目標(biāo)邊緣，從而使目標(biāo)增大而背景縮小。腐蝕是一種去除不相關(guān)的邊緣點(diǎn)而使邊緣向內(nèi)收縮的過程，能夠消除目標(biāo)圖像中細(xì)小的凸起，使得目標(biāo)縮小而背景增大。通常情況下，最基本的腐蝕和膨脹兩種操作在針對(duì)布爾圖像和圖像掩碼的處理時(shí)已能滿足要求。然而，在處理灰度或彩色圖像時(shí)，往往需要一些額外的操作。于是，基于膨脹和腐蝕這兩種基本形態(tài)轉(zhuǎn)換能構(gòu)造出多種數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)運(yùn)算簇，而開運(yùn)算和閉運(yùn)算是這個(gè)運(yùn)算簇中最基本的兩個(gè)操作［11］。

開運(yùn)算（Open）定義為先將圖像腐蝕然后再膨脹，即OPEN（X）＝D（E（X））。開運(yùn)算能夠去除孤立的小點(diǎn)、毛刺和小橋（即連通兩塊區(qū)域的小點(diǎn)），實(shí)現(xiàn)在纖細(xì)處分割大塊區(qū)域和平滑大塊區(qū)域邊緣的作用，而總的位置和形狀不變。閉運(yùn)算（Close）定義為先將圖像膨脹然后再腐蝕，即 CLOSE（X）＝E（D（X））［12］。閉運(yùn)算能夠填平物體內(nèi)細(xì)小的孔洞，實(shí)現(xiàn)縫合細(xì)小的裂縫達(dá)到連接相互鄰近的物體和平滑邊緣的目的，而總的位置和形狀不變。開運(yùn)算和閉運(yùn)算也是一對(duì)互為對(duì)偶的操作。

1.3 結(jié)構(gòu)元素的選取

任何數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)算法都由兩個(gè)基本問題組成：數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)運(yùn)算和結(jié)構(gòu)元素的選取［13］。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的定義使得數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的運(yùn)算規(guī)則已經(jīng)確定不變，所以形態(tài)結(jié)構(gòu)元素的選取決定了數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)算法的目的和效果。因此，結(jié)構(gòu)元素的確定和優(yōu)化便成為了研究數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。

形態(tài)結(jié)構(gòu)元素的選取問題可以分為兩個(gè)方面：結(jié)構(gòu)元素的尺寸和形狀。選擇的結(jié)構(gòu)元素的尺寸過小時(shí)，對(duì)于較大區(qū)域的凸起開運(yùn)算不能有效地消除，而對(duì)于邊緣斷裂較大的情況閉運(yùn)算不能有效地彌合；選擇的結(jié)構(gòu)元素的尺寸過大時(shí)，開運(yùn)算會(huì)過度消除圖像原本為邊緣點(diǎn)的像素而造成假斷裂，閉運(yùn)算會(huì)過度彌合圖像原本斷裂的像素點(diǎn)而造成干擾信息。所以，采用單一尺寸的結(jié)構(gòu)元素容易導(dǎo)致在對(duì)目標(biāo)圖像進(jìn)行邊緣提取時(shí)定位不夠準(zhǔn)確，去噪效果不理想。另外，由于圖像的邊緣存在著某種約束關(guān)系，而圖像的噪聲是隨機(jī)生成的，在利用結(jié)構(gòu)元素對(duì)目標(biāo)圖像進(jìn)行度量時(shí)，在圖像的邊緣點(diǎn)附近總能夠找到一個(gè)幾何形態(tài)類似的邊緣點(diǎn)［14］，所以，采用單一形態(tài)的結(jié)構(gòu)元素在對(duì)目標(biāo)圖像進(jìn)行邊緣提取時(shí)不能夠有效地保留圖像邊緣的細(xì)節(jié)信息。

針對(duì)采用單一尺寸或單一形態(tài)的結(jié)構(gòu)元素進(jìn)行數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)邊緣提取時(shí)的不足之處，本文提出了一種基于多尺度多結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的圖像邊緣提取方法，即選取3種不同尺寸且關(guān)于中心對(duì)稱的多結(jié)構(gòu)元素對(duì)目標(biāo)圖像進(jìn)行邊緣提取處理。首先用兩種較大尺寸的結(jié)構(gòu)元素B1和B2對(duì)目標(biāo)圖像進(jìn)行開運(yùn)算和閉運(yùn)算處理，其次用另一種較小尺寸的結(jié)構(gòu)元素B3對(duì)目標(biāo)圖像進(jìn)行膨脹和腐蝕處理。用公式表示為：

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

根據(jù)上述算法，在CPU為Intel i5 2.4G、操作系統(tǒng)為Win7旗艦版的PC上，用配置了OpenCV 2.4.4的Visual Studio 2010分別對(duì)Lena（512×512像素）灰度圖和加入均方差為30的高斯噪聲圖像進(jìn)行邊緣提取實(shí)驗(yàn)。并且，為說明本文中基于多尺度多結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的邊緣提取算法的效果，將其與Canny邊緣提取算法進(jìn)行仿真對(duì)比。

本文的邊緣提取算法實(shí)驗(yàn)步驟如下：

（1）輸入Lena灰度圖，并加入均方差為30的高斯噪聲。

（2）對(duì)加入高斯噪聲后的圖像進(jìn)行開運(yùn)算和閉運(yùn)算操作，達(dá)到濾波降噪的目的。其中，開運(yùn)算和閉運(yùn)算的結(jié)構(gòu)元素分別采用3×3和5×5的菱形結(jié)構(gòu)元素。

（3）利用公式（3）對(duì)經(jīng)過濾波降噪處理后的圖像進(jìn)行邊緣提取。其中，B1和B2分別為3×3和5×5的菱形結(jié)構(gòu)元素，B3是1×1的正方形結(jié)構(gòu)元素。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖1、圖2所示。

通過對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出：圖1中Canny算法提取的邊緣較為連續(xù)，本文算法邊緣更為清晰突出，細(xì)節(jié)明顯且豐富；圖2中Canny算法受到噪聲嚴(yán)重干擾而幾乎無法檢測(cè)出圖像邊緣，本文算法對(duì)高斯噪聲有明顯的抑制作用。

3 結(jié)論

本文針對(duì)傳統(tǒng)的邊緣提取算法抗噪能力差和定位精度低的特點(diǎn)，采用了數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的方法對(duì)目標(biāo)圖像進(jìn)行邊緣提取，并且分析了不同尺寸和不同形狀的結(jié)構(gòu)元素對(duì)邊緣提取效果的影響，改進(jìn)了傳統(tǒng)單一尺寸或單一形狀結(jié)構(gòu)元素的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)處理算法，提出了多尺度多結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的邊緣提取方法。通過對(duì)比實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，本文算法提取的邊緣更明顯、更平滑、細(xì)節(jié)更豐富，并且具有很好的抗噪性。但是，本文算法復(fù)雜度較高，相較Canny算法處理時(shí)間長(zhǎng)，邊緣較寬需要進(jìn)行細(xì)化處理。

圖1 對(duì)未加噪聲的Lena圖像邊緣提取結(jié)果

圖2 對(duì)加入高斯噪聲的Lena圖像邊緣提取結(jié)果

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