退化拋物-雙曲型方程柯西問題的解關于初值的連續性＊

郝興文

（濰坊學院，山東 濰坊 261061）

1 問題與主要結果

考慮下列退化拋物-雙曲型方程的柯西問題：

由于這個方程的應用廣泛，大家對它的研究也由來已久。這個方程在某些方向上拋物退化，所以他的解顯示出雙曲方程的一些性質，解會出現間斷。Volpert-Hugjaev在文獻［8］中最先給出了方程（1）的BV 解的存在性，Chen-Karlsen在文獻［10］證明了解的唯一性。另外，Chen-Perthame在文獻［4］中得到了方程（1）中系數不顯含x，t形式的齊次方程動力學解的存在唯一性，其它形式的解可以見文獻［5，6，7，9］等。對于系數不顯含x，t的方程，它的解在初始時刻具有連續性，從而說明初始層不會出現，參見文獻［4］，特別是對于完全退化的情形—雙曲型方程，這個性質在文獻［11］中應用雙變量方法給予了證明。對于一般形式的方程（1），解的這個性質是否成立沒有結果。本文將主要證明方程（1）-（2）的解具有這個性質。首先引入本文中要用到的一些記號和方程（1）-（2）的解的定義。記

對任意的非負φ∈C（R），令

記R2上的動力學函數［4］為

問題（1）-（2）的動力學解定義為

定義1 一個可測函數u∈L∞（［0，T］），L1（Rn+1））是方程（1）的動力學解，如果u滿足

（ii）對任意兩個非負函數φ1，φ2∈C（R），下式成立

（iii）對某個非負測度m，下式在D′（［0，T）×Rn）中成立

其中，測度n由下式給出

本文的主要結果是

定理1 如果初值u0（x）∈L1（Rn）∩L∞（Rn），u 是（1）—（2）的動力學解，則當t→0時，有‖u（·，t）-u0（·）‖L1（Rn）→0。

2 定理的證明

首先引入一個引理，設函數g（ξ）滿足

下列引理成立：

引理1 設函數g（ξ）滿足上面的條件，如果存在數u和非負可測函數～m（ξ）∈C0（R）滿足

該引理的證明可參見文獻［12］，細節省略。

令Ri→+∞后，利用m 和n 的非負性，得

所以

首先，對任意的E∈Rn，且m（E）＜+∞，則

所以，0≤sngξ·Χ（ξ，x）≤1，且sngξ·Χ（ξ，x）=｜Χ（ξ，x）｜。

另一方面，

令τ→0，得到，

特別地，對任意的τ＞0，選取實驗函數ω（ξ，t，x）=φ（ξ，x）ψ（t），其中，

在分布意義下，

在上面引理的基礎上，給出定理1的證明

由極限的唯一性可知

在（4）中，令τ→0，可得

由σ的凸性及u（t，x）弱收斂到u0（x），表明該收斂是強收斂，從而定理1成立。

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