Matlab在概率論與數理統計中的應用＊

陸述田

（濰坊學院，山東 濰坊 261061）

Matlab數學應用工具箱是一套建立于Matlab數值計算環境的統計分析工具，功能強大，能夠支持廣泛的統計計算、工程計算及科學統計和圖像繪制等功能，并且工具箱中的命令調用格式極為簡單方便，分為數值計算函數和交互式圖形工具函數兩類。工具箱由一些函數組成，可以通過命令行或自己的應用程序來調用這些函數，其中很多函數為Matlab的M 文件，這些文件由一系列實現特殊統計計算的語句構成。工具箱所提供的第一類工具是一些能夠通過圖形用戶界面（GUI）來使用的交互式圖形工具，這些基于GUI的工具也為多項式擬合和預測以及概率函數分布提供環境，通過使用工具箱了解Matlab后可以進一步挖掘其強大的功能。

1 直觀演示隨機變量的分布函數和概率密度函數圖像

在Matlab命令窗口運行disttool命令，出現圖像窗口，在窗口右上角function type菜單中選擇PDF選項，出現了默認狀態下的正態分布概率密度曲線，如圖1。在distribution選項選擇Exponential（指數分布）、Uniform（均勻分布）、Geometric（幾何分布）等選項，圖像就顯示不同概率分布的曲線，拖動圖像下面的參數滑塊，就能動態地看到正態曲線隨著參數變化的變化情況，如圖2，圖3，圖4分別顯示的是指數分布、均勻分布和幾何分布的概率密度曲線。如果在窗口右上角function type菜單中選擇CDF 選項，同理可以顯示隨機變量不同的分布函數的圖像，如圖5，圖6分別顯示的是均勻分布和幾何分布的分布函數的圖像。

2 繪制直方圖和分布函數曲線

2.1 繪制正態密度曲線的直方圖

語法為：histfit（data，nbins），將data中的數據繪制成直方圖，圖中矩形的條數等于data中數據個數的平方根（取大于它的最小整數）。例如繪制附加正態密度曲線的直方圖結果如圖7。

圖7

圖8

2.2 繪制規定區間的正態分布密度曲線

語法為：p=normspec（specs，nu，sigma），繪制由矢量specs的兩個元素所確定的上限和下限間的正態分布密度曲線。nu和sigma為此正態分布的參數。

例1 加工某種藥品，規定每箱重量為10千克，但實際裝箱過種中平均每箱的重量為11.5千克，標準差為1.25千克，用圖形表示有多少箱的重量大于10千克，結果如圖8。

例2 通過圖像觀察二項分布和正態分布的關系。

對二項分布B（k，n，p），輸入p 的值（p=0.1，0.2，0.3，0.4），取n=10，20，30，…100，步長為10，這樣二項分布的概率密度曲線就可以在同一坐標系內顯示出來。當n的值增大時，二項分布的圖像就接近于正態分布曲線，如圖9。

圖9

3 求概率值

3.1 求二項分布的概率值

例3 某工廠生產的產品中廢品率為0.005，任意取出1000件，計算：①至少有2件廢品的概率；②所求概率為P（X≤5）不超過5件廢品的概率；③由題意，求n，使P（X≤n）≥90%，我們求n滿足P（X≤n）=90%即可，能以90%以上的概率保證廢品件數不超過多少？

解：用X 表示取出的1000件中的廢品數，則X 近似服從二項分布B（1000，0.005）

①所求概率為P（X≥2）=1-P（X＜2）=1-P（X≤1）

3.2 求泊松分布的概率值

例4 設有一大批產品，其中一等品占20%，任選6000件產品，問其中一等品所占比例與20%之差絕對值小于1%的概率是多少？

解：設X 表示6000件產品中一等品的數量，則X～B（6000，0.2），X 近似服務泊松分布P（1200）。

如果用例4中的二項分布計算，其值為0.9472，如果用切比雪夫不等式估算，結果為0.73。

3.3 求正態分布概率值

例5 設X～N（4，1.52），①求P（X＜1），P（0＜X≤3），P（｜X-4｜＞2）；②已知P（X＞a）=P（X＜a），求a.

解：①由題意得

由于P（｜X-4｜＞2）=1-P（｜X-4｜≤2）=1-P（2≤X≤6），故

②已知P（X＞a）=P（X＜a），則P（X＞a）=P（X＜a）=0.5

4 求隨機變量的數學期望、方差、標準差、和、中位數、最大值、最小值、極差

例6 某電子元件，測得它們的直徑為（單位為毫米）74.001，74.005，74.003，74.001，74.000，73.998，74.006，74.002，求樣本的均值、方差、樣本方差值、標準差、樣本標準差、和、中位數、最大值、最小值和極差（全距）。

5 求協方差及相關系數

對于二維隨機變量（X，Y），在Matlab中，求協方差可由cov（x）來實現，如果x是向量，則返回向量元素的方差，如果x是矩陣，cov（x）返回一個協方差矩陣。

例7 求已知向量a=［1，2，1，2，2，1］和隨機產生的二行六列矩陣的協方差

求相關系數可由S=corrcoef（x）來實現，根據輸入矩陣x，返回一個相關系數矩陣，相關系數S的矩陣與協方差矩陣C=cov（x）有關；如果用S=corrcoef（x，y），則返回列向量x和y的相關系數。例如：

6 求偏斜度和峰度

用偏斜度和峰度來描述隨機變量分布的形狀、對稱形式和正態分布型的偏離程度，分別用函數skewness（x）和kurtosis來實現。

偏斜度和峰度分別定義為：

例8 有15 名學生的體重（單位為千克）為75.0，64.0，47.4，66.9，62.2，62.2，58.7，63.5，66.6，64.0，57.0，61.0，56.9，50.0，72.0，求此15名學生體重的偏斜度和峰度。