擴展KP方程的周期波解以及可積性質＊

高 靜

（中國礦業大學，江蘇 徐州 221116）

1 引言

利用雙線性算子尋求非線性方程的雙線性表示，Lax對和B?cklund變換是孤立子理論的研究方向之一，日本數學家Hirota［1］開辟了這一先河，隨后中國科學院的胡星表［2-3］等國內學者利用雙線性化方程導出了許多非線性方程的雙線性表示、Lax對、B?cklund變換、無窮守恒律等系列問題。在1980年，Nakamura基于Hirota雙線性方法提出了求解非線性方程的多周期波解的綜合方法［4-5］，這種方法的優點在于它只依賴Hirota雙線性形式。可是，尋求一個非線性演化方程的雙線性變換并非易事，需要作出恰當變換，尋求該變換具有很強的技巧性，為解決這一問題，Lambert等人［6-7］引進了Bell多項式方法，使得尋求非線性演化方程的雙線性表示有了一定的規律。在此基礎上，范恩貴［8-9］等學者將Bell多項式應用于變系數的非線性演化方程中，得到了變系數KdV 方程、KP方程等的可積性質。本文利用Riemann theta函數理論和Bell多項式有關理討論擴展KP方程的可積性質。

為此，我們首先回顧一下Riemann theta函數和Bell多項式的基本理論。

2 Riemann theta函數與Bell多項式

定義1 Hirota雙線性算子

其中X′=（x′1，x′2，…，x′N）。

性質1 Hirota雙線性算子Dx1，Dx2，…DxN，Dt有如下性質

其中ξi=kix1+lix2+…+σixN+ωit+εi，i=1，2，ki，li，…，σi，ωi，εi是常數。此外，我們有

其中F（Dx1Dx2，…，DxN，Dt）是關于雙線性算子Dx1，Dx2，…，DxN，Dt的多項式。這些性質在導出Hirota雙線性形式以及構造非線性方程的周期波解方面具有重要作用。下面我們介紹Riemann theta函數以及它的周期性。

定義2 Riemann theta函數

其中，m∈Z，參數s，ε∈C，變量ξ∈C，τ＞0是Riemann theta函數的周期矩陣。

定義3 設g（t）是復數域C 上周期函數，基本周期T1，T2，…，Tk∈C，如果T1，T2，…，Tk是線性依賴于整數Z 且存在Ck上的函數G（y1，y2，…，yk）滿足

那么g（t）是復數域C 上的擬周期函數。

特別地，當k=2時，g（t）稱為是雙周期函數，當且僅當Tj=mjT 時，g（t）是關于周期T 的周期函數。

性質2 Riemann theta函數?（ξ，τ）具有周期性

特別地，我們把向量l和iτ 稱為是?（ξ，τ）關于乘數l和exp（-2πiξ+πτ）的周期。

性質3 設f（ξ）是復數域C 上的亞純函數

則有

也就是說f（ξ）是關于l和iτ 的周期函數。

其中，∑μ=0，1是關于μ=0，1的兩種不同的變換。x，y，t的雙線性公式由?x，?y，?t代替。

一般地，關于算子Dx，Dt，Dy的多項式算子F（Dx，Dt，Dy）則有下面重要的公式

其中

由（11）和（12）式我們可以知道如果

的周期波解。

公式（13）為我們提供了求解非線性方程周期波解的獨一無二的方法。只要求出方程的雙線性形式，那么我們可以從公式（13）中直接獲得它的周期波解。

定義4 設f=f（x1，x2，…，xn）是具有n個變量的C∞函數，則稱

為多維Bell多項式。特別地，當f=f（x，t）時，由（15）可得

設

則這種只含有函數v和w 的Bell多項式稱為雙Bell多項式。由（17）式可得

二元Bell多項式與Hirota雙線性D 算子之間有如下的關系

其中，n1+n+…+nl≥1。特別的，當f=g 時，由（19）式可得

由（20）式可得

根據雙線性算子和Hopf-Cole變換v=lnΨ 之間的關系。特別地

下面，我們利用以上理論，討論擴展KP 方程的周期波解以及可積性質，包括雙線性表示、Lax 對、B?cklund變換和無窮守恒律。

3 方程（1）的周期波解與可積性質

在方程（1）中，令u=q2x，積分兩次可得

其中，c為積分常數，令

所以

令q=2lnf?u=q2x=2（lnf）2x，則方程（1）的雙線性導數形式為

在求解孤子解時常數c可以為零，但在求周期波解時非零常數c具有重要作用，在應用時不可以省略。

當c=0時，方程（1）的單孤子解

其中，η=kx+ry+ ［（k4+3y2+3k2）／k ］t+h，k，r，h 是常數。下面我們討論（23）的周期性。函數f 選作Riemann theta函數，也就是說，

其中，變量ξ=αx+βy+ωt+σ。由性質3可得

即孤子解u是關于基本周期l和iτ 的周期函數。

引進如下的記號

把（28）帶入（26），利用公式（13）和（30），可以得到如下的線性關系：

其中

由（31）式我們可以得到ω，c的精確解

因此，我們得到方程（1）的周期波解

其中，?（ξ，τ）是由（4）式給出，且s=ε=0，參數ω，c由（33）式給出，其它的變量α，β，σ都是自由的。

下面我們討論周期波一些特征以及漸進性質。周期波解（34）具有如下一些簡單性質。

（1）關于變量ξ是一維的。

（2）關于變量ξ有兩個基本周期l和iτ。

（3）速度參數ξ是由

給出。

（4）在一個周期中，只有一個波模式，可以視為是一個平行疊加重疊的孤子波。

現在，我們更深一層的討論周期波解的漸進性質。即周期波解（34）和單孤子解（27）它們之間有如下的關系。

定理2 如果向量（ω，c）T是（31）式的一個解并且是（33）式的周期波解，令

其中k，γ，h是由（27）式給出，那么有如下的漸進關系，當ρ→0時，

這說明在一個很小振幅限制下，周期波解（34）趨近于單孤子解（27），即當ρ→0時

證明 我們把（31）式的系數展開則有

把（31）式的解寫成如下形式

把（39）式和（40）式代入（31）式，根據第二個方程ρ的系數，令ρ→0，則我們可以立即得到如下的關系

有下面的解

結合（36）和（41）當ρ→0時

因此，我們可以得到如下結論，當ρ→0時

接下來，我們討論當ρ→0時，周期波解（34）式的漸進性質。把Riemann theta函數?（ξ，τ）展開，并利用（44）式的表達式，有如下結論，當ρ→0時

所以，我們有當ρ→0時，周期波解（34）趨近于孤子解（27）。

下面我們討論方程（1）的可積性質：

其中

令

則有

故（47）式可以化為

（51）式兩邊對x 積分，并取積分常數為零可得

由（49）和（52）式可得方程（1）的B?cklund變換，

設υ=lnψ，ω=υ+q 由（22）式可知

因此，由方程（49）和（52），我們可以得到方程（1）的Lax對

把（56）式代入（49）式，得到Riccati-type方程

把（56）式代入（52）式，得到divergence-type方程

令

并代入（57）式，我們得到In的遞推關系式

把（59）代入（58）可得，

因此，我們得到方程（1）的無窮守恒律

其中

［1］Hirota R.The Direct Method in Soliton Theory［M］.Cambridge：Cambridge University Press，2004.

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