庫侖力衛(wèi)星編隊動力學(xué)建模及基本穩(wěn)定條件分析

孫 杰，張東青，張紅英，張錦繡

（1.上海衛(wèi)星工程研究所，上海 200240；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 衛(wèi)星技術(shù)研究所，黑龍江 哈爾濱 150080）

0 引言

自20世紀90年代以來，衛(wèi)星編隊飛行技術(shù)得到了迅速發(fā)展，美、俄、歐空局等眾多國家和空間組織機構(gòu)都開展了編隊飛行技術(shù)的研究，并取得了卓越的成效，尤其是由DLR研制的TanDEM-X編隊在2010年7月投入運行，該計劃是國際上首個投入在軌運行的近地衛(wèi)星編隊［1］。隨著技術(shù)的發(fā)展和任務(wù)的不同，對近距離編隊甚至超近距離編隊也提出了技術(shù)需求。

庫侖力衛(wèi)星編隊技術(shù)是近年來一種新興的編隊技術(shù)［2］，其基本概念是采用一定技術(shù)手段（如電子槍）使衛(wèi)星帶電（正電荷或負電荷），通過控制衛(wèi)星帶電量實現(xiàn)衛(wèi)星編隊相對位置的控制，未來將成為解決超近距離編隊的一種有效途徑。在庫侖力衛(wèi)星編隊中，任意兩顆衛(wèi)星間的相對距離由它們間的庫侖力控制，故不會產(chǎn)生對鄰近衛(wèi)星敏感器的污染問題；同樣，基于帶同性電荷衛(wèi)星相互排斥機理，在近距離編隊時帶同性電荷的衛(wèi)星也不會產(chǎn)生碰撞問題。因此，庫侖力編隊既可利用衛(wèi)星在空間環(huán)境中充電的特性產(chǎn)生控制力，又能解決現(xiàn)有推進系統(tǒng)的敏感器污染和近距離碰撞問題。前期空間試驗已經(jīng)證明了空間環(huán)境中衛(wèi)星表面帶電的可能性，對電磁力衛(wèi)星編隊也進行了大量的研究。1979年發(fā)射的史卡莎（SCATHA）試驗衛(wèi)星表明在空間等離子環(huán)境中僅數(shù)十毫安的電流就可使衛(wèi)星獲得3kV電勢，空間等離子環(huán)境可充電勢達14kV，且基于庫侖力控制比沖可達1 000ms，遠高于 EP推力器［3－4］。文獻［5］建立了N體充電衛(wèi)星的動力學(xué)模型，其主要基于圓軌道假設(shè)，且成員間的距離小于100m；文獻［6］研究了兩衛(wèi)星間利用庫侖力系繩編隊的動力學(xué)方程及其穩(wěn)定性問題；文獻［7］討論了幾種穩(wěn)定的編隊構(gòu)形，并提出了一些關(guān)于閉環(huán)控制的問題；文獻［8］提出了表明基于庫侖力實現(xiàn)系統(tǒng)編隊重構(gòu)的方法以節(jié)約能量。

本文對庫侖力衛(wèi)星編隊空間德拜屏蔽效應(yīng)進行了分析，用拉格朗日方程建立了Hill坐標系中的地球同步軌道庫侖力編隊相對運動動力學(xué)模型，分析了系統(tǒng)的基本平衡條件，并用于地球同步軌道上的兩星編隊。

1 參考坐標系

2 庫侖力編隊空間德拜屏蔽效應(yīng)

在包括大氣阻力、地球非球形攝動、太陽光壓、空間等離子等多個影響庫倫力編隊性能的因素中，空間等離子環(huán)境直接影響庫侖力編隊的性能，其中最突出的因素為德拜（Debye）屏蔽效應(yīng)［9］。德拜屏蔽效應(yīng)的分析結(jié)果將直接決定庫倫力編隊的應(yīng)用范圍。

圖1 Hill坐標系Fig.1 Hill coordinate

由靜電學(xué)理論可知，帶電體在等離子和真空環(huán)境中的表現(xiàn)完全不同。將一正電荷放入等離子環(huán)境中，它將吸引等離子環(huán)境中的負電荷，同時排斥等離子環(huán)境中的正電荷，最終會成一個負電荷團，將該正電荷包圍，并屏蔽這個正電荷的電場。因此，電場在等離子環(huán)境中衰減較在真空中更快，該現(xiàn)象被稱為德拜屏蔽效應(yīng)，電荷團的平均半徑稱為德拜長度。

當與正電荷的距離大于德拜長度時，正電荷的電場呈指數(shù)衰減，可表示為

式中：F為庫侖力；kc為靜電引力常數(shù)；q為星體帶電量；d為星體間距；λd為德拜長度。當與正電荷的距離小于德拜長度時，正電荷的電場相當于一個點電荷在真空中的電場。

在不同的軌道高度，因環(huán)境中離子密度不同，德拜長度有所差異。同時，太陽的活動對德拜長度也有一定影響。不同軌道高度德拜長度見表1［10］。

表1 不同高度軌道的德拜長度值Tab.1 Debye length at different orbit

由表1可知：在近地軌道，德拜長度僅為2～40cm，要求編隊的距離極小，僅適于衛(wèi)星機構(gòu)的對接操作，不適于進行編隊飛行；在地球同步軌道，德拜長度為100～1 000m量級，完全能滿足編隊飛行的需要；對深空環(huán)境，庫侖力編隊也具備一定前景，但僅限較近距離編隊飛行。本文選擇地球同步軌道對庫侖力編隊進行動力學(xué)建模與穩(wěn)定性分析。

3 庫侖力編隊動力學(xué)建模

為便于分析問題，將Hill模型的原點建立在編隊質(zhì)心處。則在編隊質(zhì)心處式成立

式中：xcm，zcm為庫侖力編隊在Hill模型中的質(zhì)心位置坐標；n為軌道角速度［11］。可見，若xcm，zcm為零，則衛(wèi)星編隊質(zhì)心在X、Z向上無加速度，編隊達到穩(wěn)定狀態(tài)，同時衛(wèi)星編隊質(zhì)心在Y向上有位移但對編隊穩(wěn)定性無影響。為使衛(wèi)星編隊在初始時刻就達到穩(wěn)定和編隊的唯一性，令衛(wèi)星在Y向上無初始位移，即成立質(zhì)心條件

式中：M為衛(wèi)星編隊的質(zhì)心；ρi為衛(wèi)星編隊質(zhì)心在Hill模型中的位置矢量；xi，yi，zi分別為ρ的三軸標量。

進一步為克服重力梯度力矩，編隊系統(tǒng)一個慣性主軸須沿向；為保證編隊繞地球的角速度，編隊一個慣性主軸須與軸重合；第三個主軸的方向由右手定則自然確定，這就要求庫侖力衛(wèi)星編隊的慣性主軸必須與Hill模型的三個坐標軸重合。

在Hill坐標系中，任何一顆衛(wèi)星的位置矢量可表示為

編隊中第i個衛(wèi)星相對FI系的速度可表示為

式中：為衛(wèi)星在Hill模型中繞Z軸旋轉(zhuǎn)的角速度；r為參考衛(wèi)星的地心距。

每個衛(wèi)星的動能可表示為

用拉格朗日方程建立動力學(xué)關(guān)系

式中：T為衛(wèi)星的總動能；Qi＝Qig＋Qic［7］。此處：Qig，Qic分別為地球重力項和庫侖力項，且

其中：μ為地球引力常量；kc為靜電引力常量。將式（6）、（8）代入式（7）可得

將重力項整理成

在此基礎(chǔ)上，用泰勒展開形式

因μ＝r3n2（n為衛(wèi)星編隊的平均軌道角速度），則可得

將式（12）代入式（9），并考慮德拜屏蔽效應(yīng)，可得Hill模型中衛(wèi)星庫侖力編隊的動力學(xué)方程

式中：ρij為兩星間距，且ρij＝｜ρi－ρj｜。

4 編隊基本平衡條件及兩星狀態(tài)簡化

為使庫侖力飛行編隊中各星間的相對位置保持穩(wěn)定，在不考慮擾動條件下，動力學(xué)方程式（13）中所有導(dǎo)數(shù)項均必須為零。具體編隊構(gòu)形是通過嚴格布置各衛(wèi)星在編隊中的位置和衛(wèi)星的電勢（電荷量）實現(xiàn)的。式（13）考慮了德拜屏蔽效應(yīng)，在地球同步軌道上，含德拜長度的指數(shù)項可近似為1。

為使表達更簡潔，將方程中的q，kc，n合稱為一個參數(shù)，定義

對一般N星問題，若衛(wèi)星的編隊按式（16）構(gòu)形，則該庫侖力衛(wèi)星編隊可達到穩(wěn)定。

對兩星問題，兩星沿Hill坐標系X軸的編隊如圖2所示。兩星的間距為L，兩者的質(zhì)心位于坐標原點，滿足質(zhì)心條件。因兩者共線且位于X軸上，主軸條件自然滿足。

圖2X軸上兩體編隊Fig.2 Two-body formation flying inXaxis

根據(jù)質(zhì)心條件可得

將兩星的間距表示成第一顆衛(wèi)星的坐標

將此問題的編隊形式代入Hill方程式，可得X向上的兩組方程（每個衛(wèi)星各有一個）

將式（17）、（18）代入式（19）中，解出Q12，編隊構(gòu)形方程為

同理，若設(shè)任意軸上的兩星編隊的構(gòu)形方程為

則可得X、Z軸（即沿地心方向與沿軌道面法線方向）存在穩(wěn)定構(gòu)形，沿飛行方向則無穩(wěn)定構(gòu)形。任意軸上兩星庫倫力編隊存在情況見表2。

表2 任意軸上兩星庫倫力編隊存在情況Tab.2 Pair coulomb satellite formation in random axis

5 數(shù)學(xué)仿真及結(jié)果分析

如前分析，理論上滿足兩星庫侖力編隊在Hill坐標系中任意軸上的穩(wěn)定構(gòu)形存在無窮多個，因此編隊構(gòu)形選擇成為關(guān)鍵。本文針對X軸上的兩星編隊，討論影響編隊充點電勢的因素，進而得到關(guān)于編隊優(yōu)化的一般性結(jié)論。為簡化問題，假定編隊內(nèi)兩衛(wèi)星的質(zhì)量（m1，m2為150kg）、體積和充電電勢相等，r1＝r2＝2.5m，n＝＝7.291 5×10－5rad／s［12］。

根據(jù)格林公式和式（21），可得充電電荷

將式（22）代入式（20）可得衛(wèi)星充點電勢

數(shù)值仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 庫侖力編隊電勢Fig.3 Voltage for coulomb satellite formation

由仿真結(jié)果可知：對地球同步軌道庫侖力編隊，隨著衛(wèi)星間距的增大、衛(wèi)星質(zhì)量的增加，衛(wèi)星所需充電電勢逐漸增大；充電電勢與衛(wèi)星直徑成反比關(guān)系，充電電勢隨衛(wèi)星直徑增大而快速下降。由此可知，為減小庫侖力衛(wèi)星編隊所需電勢以節(jié)約能源，應(yīng)減小編隊距離，減輕衛(wèi)星重量，同時增大衛(wèi)星外表面體積，提高庫侖力編隊的效率。

6 結(jié)束語

本文分析了庫倫力編隊空間德拜屏蔽效應(yīng)，建立了基于拉格朗日方程的庫侖力衛(wèi)星編隊動力學(xué)模型并得到簡化模型，得到了編隊系統(tǒng)達到穩(wěn)定的基本平衡條件：基于地球同步軌道等離子環(huán)境中德拜長度在100～1 000m量級，相較近地和深空軌道，地球同步軌道為庫倫力編隊的最佳應(yīng)用范圍；雙星地球同步軌道庫倫力編隊在沿地心方向與沿軌道面法線方向存在穩(wěn)定構(gòu)形；為提高庫倫力編隊效率節(jié)約能源，應(yīng)減小編隊距離，減輕衛(wèi)星重量，同時盡可能增大衛(wèi)星外表面體積。研究為后續(xù)N星庫侖力編隊的進一步分析提供了參考。

［1］ KRIEGHER G，MOREIRA A，F(xiàn)IEDLER H，et al.TanDEM-X：a satellite formation for high-resolution SAR interferometry［J］.IEEE Transactions on Geosciences and Remote Sensing，2007，45（11）：3317-3340.

［2］ PARKER G，SCHAUB H，NATARAJAN A，et al.Coulomb force virtual space structures［C］／／Workshop on Innovative Systems Concepts，Noordwjik：［s.n.］，2006：39-44.

［3］ GARRETT H B，SCHWANK D C，DEFROST S E.A statistical analysis of the low energy geosynchronous plasma environment［J］. Protons Planetary Space Science，1981，29（10）：1021-1044.

［4］ MULLEN E G，GUSSENHOVEN M S，HARDY D A.SCATHA survey of high-voltage spacecraft charging in sunlight［J］.Journal of Geophysical Research，1986，91（7）：74-90.

［5］ CHONG J H.Dynamic behavior of spacecraft formation flying using coulomb forces［D］. Houghton：Michigan Technological University，2002.

［6］ NATARAJAN A.A study of dynamics and stability of two-craft coulomb tether formations［D］.Blacksburg：Virginia Tech，2007.

［7］ SCHAUB H，PARKER G G，KING L B.Simulated Reprint from Journal of the Astronautical Sciences.2004，45（3）：169-193.

［8］ PETTAZZI L，KRUGER H，THEIL S.Electrostatic force for swarm navigation and reconfiguration［J］.Acta Futura，2008，26（4）：80-86.

［9］ NICHOLSON D R.Introduction to plasma theory［M］.Malabar：Krieger Pub Co，1992：56-89.

［10］ PARKER G，KING L B，SCHAUB H.Steered spacecraft deployment using interspacecraft coulomb forces［C］／／American Control Conference.Minneapolis：［s.n.］，2006：14-36.

［11］ SCHAUB H.Stabilization of satellite motion relative to a coulomb spacecraft formation［J］.Journal of Guidance，Control and Dynamics，2005，28（6）：1231-1239.

［12］ BERRYMAN J，SCHAUB H.Analytical charge analysis for two-and three-craft coulomb formations［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2007，30（6）：1701-1710.