空間桿狀構架式展開機構拓撲型綜合與分析

李 波，陳曉峰

（上海宇航系統工程研究所，上海 201109）

0 引言

空間桿狀構架式展開機構作為航天器大型支撐機構，具有重要的支撐定位功能，可實現空間有效載荷的長距離、大面積展開。空間桿狀構架式展開機構主要由可折疊的復雜桿系組成，具有質量小、收藏比大、比剛度高、可靠性高等特點，可較好地解決運載整流罩的包絡空間有限對航天器空間構型的制約問題，能滿足航天器發射和在軌不同階段的任務需求，是一種典型的空間變胞機構，在空間技術領域有重要的研究價值和廣闊的應用前景［1－4］。

機構綜合與機構分析是機構學研究的兩個基本內容。機構綜合著重創造性構思、發明、創新設計新機構的理論與方法的研究；機構分析著重機構結構學、運動學及動力學特性的研究，揭示機構結構組成、運動學與動力學規律及其相互聯系，用于現有機構性能分析與改進，同時為機構綜合提供理論依據［5］。機構綜合又包括型綜合和尺寸綜合兩個方面，其中型綜合是指確定最適于問題的機構類型。目前，機構的型綜合與分析是通過計算機輔助設計及其輔助分析軟件完成的。因這兩類軟件分屬不同的工作平臺，機構分析時設計人員常采用傳統分析方法，即先由計算機輔助設計軟件給出機構類型，再采用計算機輔助分析軟件輸入機構必要的參數，對機構的各項性能進行分析和評估，這樣增加了中間環節，降低了工作效率。為此，本文應用拓撲理論在同一平臺上對機構的型綜合與結構分析進行了研究。

1 桿狀構架式展開機構型綜合

式中：n為運動鏈構件數（即拓撲圖頂點數）；m為運動副數（即拓撲圖邊數）；ni為具i個運動副的構件數，i＝1，2，3，…，該構件稱為i副桿或i元桿。

由圖論和歐拉方程式，有

式中：ν為拓撲圖基本回路數。

滿足式（1）、（4）的n，m，ν組合有無窮多解，即運動鏈有無窮多。根據拓撲結構要求，選取三回路進行構型綜合，則有n＝10，m＝12，ν＝3。由式（2）、（3）可知

將式（5）、（6）代入式（1），得

由式（5）、（7）可得十桿機構的結構方案如下。

a）方案Ⅰ：n2＝6，n3＝4。

b）方案Ⅱ：n2＝7，n3＝2，n4＝1。

第五，為了充實實驗的全面性，建議在山區對各像控點布設方案做更多的實驗，同時也可以適當改變基線相隔數量以及航帶相隔數量并分別驗證其精度。

c）方案Ⅲ：n2＝8，n4＝2。

選用方案Ⅲ作為運動鏈的基本結構形式，對應的拓撲胚圖類型如圖1所示。圖中，多副桿（i≥3）用頂點表示，頂點用邊連接，每條邊代表一支由二副桿組成的運動鏈。采用運動鏈拓撲胚圖插點法，在胚圖的邊中插入n2構件，不同分配方式，可得各種異構體（或稱異構運動鏈）。為便于區別，用4個數字表示4支運動鏈中二副桿的構件數，由此可得兩種異構體，如圖1所示。

對各種異構體，按平面運動副同一級別間可相互轉換，不同級別按高副低代的原則，確定可行的機構組成。則由異構體3212得到的運動鏈如圖2所示，相應的機構如圖3所示。

2 桿狀構架式展開機構展開過程型綜合

圖1 方案Ⅲ對應的胚圖類型及異構體Fig.1 Contracted and isomers for schemeⅢ

圖2 三自由度十桿機構運動鏈Fig.2 Kinematical chain of a ten－bar mechanism with 3DOFs

圖3 三回路十桿構架式展開機構結構Fig.3 A ten－bar mechanism with 3loops

變胞機構與傳統機構的不同之處是機構在構態變化的過程中自由度發生變化。自由度的變化取決于機構運動鏈及拓撲結構的變化，該類機構結構變化由構件的合并引起，具體表現為構件和運動副數的變化。按自由度的變化規律，變胞機構可分為三類：第一類，自由度逐漸由多到少；第二類，自由度逐漸由少到多；第三類，上述兩者混合變化，即有時自由度逐漸增加，有時自由度逐漸減少［6］。

空間構架式展開機構屬于第一類變胞機構，其展開過程的型綜合實質是變胞機構的型綜合。在展開的最初階段，桿系折疊收攏在航天器側壁，桿件間通過鉸鏈連接，各鉸鏈均處于活動狀態（如圖3（a）所示），機構為三自由度桿系，此時對應為機構的始態。展開過程中，在控制系統和鎖定裝置的作用下，桿系各鉸鏈依次鎖定，展開到位后整個桿系形成一穩態結構，自由度變為0，此時對應為機構的終態。

根據展開機構自由度變化的特點，為實現機構構態變化前后自由度減少1，應滿足關系

式中：n，n′分別為構態變化前后的構件數；m，m′分別為構態變化前后的運動低副數。

因n，n′，m，m′必須為正整數，故滿足上述條件且符合實際情況的組合有

式（9）、（10）表明：機構實現自由度減少1具有以下變化規律和結構特點：

a）將相鄰接的兩構件合并，構件和運動副各減少1個；

b）將同一回路中相隔2個構件的兩構件合并，減少構件3個和運動副4個。

根據展開機構的工作特性，在運動過程中其自由度從3→2→1→0。按上述變化規律，只要將任意相鄰接的兩構件合并即可得自由度為2的運動鏈，有“1、2”，“2、3”，“3、4”，“4、5”，“5、6”，“6、7”，“7、1”，“2、8”，“5、8”，“2、9”，“9、10”，“5、10”桿件合并共12種形式，消除同構體（即同構運動鏈）后得到3種異構體方案如圖4所示。

圖4 自由度由3變2的異構體方案Fig.4 Isomers with 2DOFs

同理，由異構體3211可綜合出實現自由度從2→1→0的運動鏈方案，如圖5所示。

圖5 自由度由2變0的運動鏈Fig.5 Kinematical chain of DOF changing

3 桿狀構架式展開機構型分析

機構的型分析是機構學研究中重要方面，為機構的選型和應用提供相應的評價準則。根據構架式展開機構的工作特性不僅可綜合出工作周期內構態的變化過程，還能得到機構的拓撲特性矩陣，作為定量評價機構性能的工具。

機構的距離矩陣D和剛度矩陣S分別描述了該構型展開機構的空間緊湊性和整體剛度。利用這些拓撲矩陣，便于在方案階段快速、合理地分析和選擇桿系構型。

3.1 距離矩陣

緊湊性是反映機構靜態性能的一個重要指標。機構越緊湊表明其靜態性能越好，并占有較小的空間。在不考慮桿件尺寸的情況下，桿件和運動副數越少的機構越緊湊，具有相同桿件和運動副數的不同設計構型的機構，其空間緊湊性通過定義桿件之間的距離描述，用距離矩陣D表示。D越小，機構越緊湊。

圖1中，運動鏈3212及其對應機構的距離矩陣分別為

靜態距離矩陣為一n×n階對稱矩陣，此處n為描述機構的構件數。矩陣中的元素dij代表了機構中第i，j個構件間最少的運動副數，且當i＝j時，dij＝0［7］。矩陣Dc中所有元素之和為距離值。因此，構型3212方案中，機構的距離值為182；構型3113方案中，機構的距離值為192，可見對應具有相同桿件和運動副數的上述兩種構型，構型3212方案空間布局更緊湊。

3.2 剛度矩陣

機構的實際剛度由桿件尺寸、彈性及支撐決定。在不考慮桿件物理參數和幾何參數的前提下，桿系剛度取決于各桿件的支撐點數，每個桿件的支撐點數為該桿的連通度，機構的剛度用S表示。

圖1中，運動鏈3212，3113對應機構的剛度矩陣

式中：S3212中，s11＝2，s12＝4，s13＝4／3，s14＝4／5，s15＝4／5，s16＝1，s17＝2，s18＝4／3，s19＝4／3，s110＝4／5，s21＝2，s22＝4，s23＝2，s24＝1，s25＝4／3，s26＝2／3，s27＝1，s28＝2，s29＝2，s210＝1，s31＝4／3，s32＝4，s33＝2，s34＝2，s35＝4／3，s36＝4／5，s37＝4／5，s38＝4／3，s39＝4／3，s310＝4／5，s41＝4／5，s42＝4／3，s43＝2，s44＝2，s45＝4，s46＝4／3，s47＝4／5，s48＝4／3，s49＝4／5，s410＝4／3，s51＝2／3，s52＝4／3，s53＝1，s54＝2，s55＝4，s56＝2，s57＝1，s58＝2，s59＝1，s510＝2，s61＝1，s62＝4／5，s63＝4／5，s64＝4／3，s65＝4，s66＝2，s67＝2，s68＝4／3，s69＝4／5，s610＝4／3，s71＝2，s72＝4／3，s73＝4／5，s74＝4／5，s75＝4／3，s76＝2，s77＝2，s78＝4／5，s79＝4／5，s710＝4／5，s81＝4／3，s82＝4，s83＝4／3，s84＝4／3，s85＝4，s86＝4／3，s87＝4／5，s88＝2，s89＝4／3，s810＝4／3，s91＝4／3，s92＝4，s93＝4／3，s94＝4／5，s95＝4／3，s96＝4／5，s97＝4／5，s98＝4／3，s99＝2，s910＝2，s101＝4／5，s102＝4／3，s103＝4／5，s104＝4／3，s105＝4，s106＝4／3，s107＝4／5，s108＝4／3，s109＝2，s1010＝2；S3213中，s11＝2，s12＝4，s13＝4／3，s14＝4／5，s15＝1，s16＝2，s17＝4／3，s18＝4／3，s19＝4／5，s110＝4／7，s21＝2，s22＝4，s23＝2，s24＝4／3，s25＝2／3，s26＝1，s27＝2，s28＝2，s29＝1，s210＝2／3，s31＝4／3，s32＝4，s33＝2，s34＝4，s35＝4／3，s36＝4／5，s37＝4／3，s38＝4／3，s39＝4／5，s310＝4／3，s41＝2／3，s42＝4／3，s43＝2，s44＝4，s45＝2，s46＝1，s47＝2，s48＝2／3，s49＝1，s410＝2，s51＝1，s52＝4／5，s53＝4／3，s54＝4，s55＝2，s56＝2，s57＝4／3，s58＝4／7，s59＝4／5，s510＝4／3，s61＝2，s62＝4／3，s63＝4／5，s64＝4／3，s65＝2，s66＝2，s47＝4／5，s48＝4／5，s49＝4／7，s410＝4／5，s71＝4／3，s72＝4，s73＝4／3，s74＝4，s75＝4／3，s76＝4／5，s77＝2，s78＝4／3，s79＝4／5，s710＝4／3，s81＝4／3，s82＝4，s83＝4／3，s84＝4／5，s85＝4／7，s86＝4／5，s87＝4／3，s88＝2，s89＝2，s810＝1，s91＝4／5，s92＝4／3，s93＝4／5，s94＝4／3，s95＝4／5，s96＝4／7，s97＝4／5，s98＝2，s99＝2，s910＝2，s101＝4／7，s102＝4／5，s103＝4／3，s104＝4，s105＝4／3，s106＝4／5，s107＝4／3，s108＝1，s109＝2，s1010＝2。

其中，矩陣中元素

式中：Ci，Ck，Cj為不同桿件的連通度（每個桿件的運動副數）。當i＝j時，剛度矩陣的元素值就是桿件自身的連通度。當i≠j時，剛度矩陣的元素值是除桿件i外，從桿件i到桿件j經過的最短路徑中所有串聯桿件連通度的運算之和。如存在多條最短路徑，則應選取由具有最小連通度的桿件組成的最短路徑。剛度矩陣中的每一行元素之和代表了該行對應桿件的剛度，所有元素之和代表了整個機構的剛度。因此，構型3212方案中桿件1～10的剛度值依次為 77／5，17，236／15，236／15，17，77／5，38／3，94／5，236／15，236／15，總體剛度值159.2；構型3113方案中桿件1～10的剛度值為531／35，50／3，274／15，50／3，531／35，1 306／105，274／15，531／35，1 306／105，531／35，總體剛度值155.43。由此可見，對應具有相同桿件和運動副數的上述兩種構型，構型3212方案整體剛度更強。

4 結束語

根據空間桿狀構架式展開機構的工作特性，本文應用拓撲理論研究了運動鏈結構的變化及其對應構型下的拓撲特性矩陣，為在同一平臺上進行變自由度機構的綜合、選型和應用提供了手段。本文研究的型分析方法簡潔、實用，利用矩陣運算分析并對比了不同運動鏈的結構特征和拓撲性能，得到了最佳的運動鏈構型方案，對空間桿系結構布局的優化具有一定的指導意義。因將型分析問題轉化為矩陣運算，本文提出的方法易于在計算機上進行，對開發變胞機構快速設計系統，實現空間機構系統設計與分析一體化有重要作用。

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