航天器可展附件展開動力學建模研究

孫宏麗，張少偉，譚天樂

（1.上海航天控制技術研究所，上海 201109；2.上海市空間智能控制技術重點實驗室，上海 201109）

0 引言

柔性多體系統動力學典型的應用是空間可展結構，如伸展臂、太陽帆板、可展天線等。為完成特定任務，航天器在空間環境中越來越多地使用了各種柔性外伸結構。為降低發射成本和增加有效載荷，這些柔性外伸結構有太陽能帆板、熱輻射器、天線、柔性機械臂等，其共同特點是跨度大、結構質量輕、阻尼弱。空間環境振動輕則會影響航天器的正常工作，重則將導致整個航天器的失穩，因此航天器柔性外伸結構的振動控制歷來是航天器設計中的重點和難點［1－3］。

航天器附件展開動力學的發展經歷了從剛體模型到準剛體模型，從剛－彈－液耦合模型的演變過程。考慮柔性影響的航天器附件建模方法主要有集中參數法、假設模態法和有限元法三類［4］。研究主要包括展開結構的構成機理、展開運動特性、控制等。展開動力學分析是可展結構研究的重要領域，它可判定機構特性，并給出運動力學特性，對航天器可展附件在軌展開進行運動分析和動力學分析的意義重要。太陽能帆板和天線等可展結構的特點是尺寸大、質量輕、剛度低，固有頻率很低且十分密集［5］。根據空間可展機構展開的力學狀態，展開運動可分為主動態和被動態兩種狀態。主動態是指可展機構在馬達或彈簧的作用下展開；被動態是指可展機構借助航天器的自旋實現展開。被動態使用較少，且運動狀態有很大的不可控性，增加了其研究的復雜性，本文對航天器附件的主動態展開進行了研究。

1 多剛體模型的附件展開動力學

一衛星本體附帶3個太陽能帆板的結構及簡化的鏈式多體系統模型如圖1所示。實踐證明太陽能帆板展開時間不長且與衛星本體運動相互影響小，故多剛體模型近似認為在帆板展開過程中衛星本體繞質心作定點轉動，僅需考慮本體的姿態與帆板運動的耦合［6－8］。

圖1 太陽能帆板和多體系統結構Fig.1 Solar arrays structure and multibody system structure

因各剛體間為轉動關鉸或滑移鉸，早期的研究多用D－H參數法和4×4齊次坐標變換理論進行運動學分析。文獻［6］用D－H參數法和4×4齊次坐標變換理論對系統進行描述，并用Kane方法建立太陽能帆板的展開和碰撞動力學方程。

定義衛星本體的質心C0坐標系C0－xCyCzC與慣性參考系O－XYZ的齊次變換矩陣為AC，第i個剛體Bi上的連體基對O－XYZ系的齊次變換矩陣Ti＝ACA0A1…Ai，i＝1，2，…，n。此處：A0為衛星本體質心到本體坐標間的變換矩陣；Ai為衛星第i個附件至衛星本體坐標系的變換矩陣。設Bi的質心在本體坐標系的坐標列陣為rci＝［xciycizci1］T，是4×1列陣，最后一個數1表示該坐標列陣的比例關系。則Bi體在慣性參考系中的位置、速度、加速度分別為

式中：ωi為第i個體相對本體的角速度，且ωi＝A0A1…Ai；θj為第j個體關節角位移；Ωij＝?ωi／?θi；

此處：uijk＝?2ωi／（?θi·?θk）。Bi的角速度、角加速度矢量分別為

式中：nj－1為第j－1體連體基zj－1軸的單位方向矢量。

式中：i＝0，1，…，n；j＝1，2，…，n＋3。則對圖1的模型，定義

式中：i＝1，2，3。

則系統的Kane動力學方程為

式中：r＝1，2，…，n＋3；Fr，分別為廣義主動力和廣義慣性力，且

式中：X為廣義是（n＋3）×（n＋3）維的慣量陣；u為（n＋3）×1維的廣義速率陣；f為（n＋3）×1維的廣義力作用項及非線性項陣。

另須考慮展開終了時刻的碰撞。根據經典碰撞理論，碰撞發生在極短時間間隔Δt內物體位置不變，且有限值在Δt內積分為0，式（13）在Δt內積分為

式中：Kimpact為廣義沖量，且

根據R／W方法可以寫出圖1所示結構的關聯矩陣和通路矩陣分別為

取衛星本體質心C0為虛鉸，則描述系統結構和位置的位形矩陣

式中：b1為本體質心至本體外鉸點的位矢；b2，b3，b4分別為剛體1、2、3的內鉸點至外鉸點位矢；c1，c2，c3，c4分別為剛體1、2、3、4內鉸點至質心的位矢。

各剛體Bi的連體基Ci－xiyizi的原點為質心Ci，Cizi軸與各鉸的軸平行，各軸單位矢量如圖2所示。整個系統有自由度10個，衛星本體的姿態用歐拉角描述，偏航角ψ，滾轉角θ和仰俯角φ；連接架和各帆板的相對位置為α1，α2，α3。衛星本體的角速度

式中：p01，p02，p03為單位矢量，其與沿x、y、z方向的單位矢量i0，j0，k0的關系為

圖2 各坐標系關系Fig.2 Relationship between each body

Bi體的角速度ωi，第1、2、3、4桿件局部坐標系中的角速度用ω1，ω2，ω3，ω4可表示為

式中：i＝1，2，3，4。因k0＝k1＝k2＝k3＝k4，則

設系統角速度列陣、角速度對角陣和各轉軸單位矢量為元素的擬對角陣分別為

用廣義速度表示的角速度列陣

［pH］T為轉軸矩陣［p］與通路矩陣［T］的乘積，且［pH］T＝［p］［T］。引入對角陣

其元素是轉軸矩陣中各轉動單位矢量本身的角速度，因此有d［p］／dt＝［ωq］×［p］，則式（22）可表示為

式中：［H］為關聯矩陣的逆，且［H］＝［S］T。角加速度列陣

Bi體的外力主矢Fi和對質心的主矩Mi都等于0。各鉸的扭簧力偶矩和摩擦力偶矩分別為

式中：Ci為Oi鉸中扭簧的剛度系數；φi為扭簧的初始扭角；i＝1，2，3，4。總的內力偶矩Mi＝MCi－Mfi，鉸的內力偶矩列陣

各剛體質量為元素，可得質量列陣（m）和質量對角陣［m］分別為

式中：m0為衛星本體質量；m1，m2，m3，m4分別為太陽支架和三塊太陽帆板的質量。則系統總質量

定義對稱質量陣

衛星本體的慣量張量

式中：Ix0x0，Iy0y0，Iz0z0分別為X、Y、Z向的主慣量陣；Ix0y0，Iy0z0，Ix0z0為慣量積。Bi體的中心慣量張量

則系統對衛星本體中心的慣量張量為對角陣

研究系統某個剛體的動力學時，其他剛體的質量幾何參數的影響可用折算慣量張量表示，對整個系統，折算慣量張量可表示為

式中：Js為折算慣量張量；bc為各體質心至本體質心的距離；［E］為單位張量陣。［Js］是元素均為二階張量的對稱陣，則系統總慣量張量對稱陣

因僅考慮轉動，系統動力學方程可表示為

式中：［Y］為鉸鏈中阻尼和彈性力偶矩；

將式（32）代入式（27），令

整理可得含7個廣義坐標

的二階微分方程組

由于展開過程使用同步機構，α2＝α3＝α4＝2α1，系統增加約束方程3個，若只考慮轉動，則系統的自由度降為4。

2 考慮柔性影響的展開動力學建模

柔性體本質上含無限多自由度，為適應計算機數值計算，須對柔性多體系統進行離散化，并用必要的截斷以減少自由度數。離散化有對物理模型的離散和對數學模型的離散兩類［8］。模態綜合技術與有限元法結合，成為柔性多體系統離散化和建模的常用方法［9］。用假設模態法可將整個柔性體的變形場表示為一組模態函數（空間函數）和模態坐標（時間函數）的線性組合。通過模態分析，柔性體上任一點的變形位移列陣可表示為

式中：Φ為振型矩陣；q為模態坐標列陣。用有限元法可得較精確的位移表達。任意單元Ei內任一點p的變形位移為

式中：ρi，hi分別為Bi體的密度和厚度；，ap分別為點p相對慣性參考系O－XYZ的速度和加速度。

Bi體的廣義慣性力和廣義主動力列向量

Bi體的廣義慣性力和結構彈性所對應的廣義主動力

根據Kane方程，有

3 結束語

本文對對航天器附件的主動態展開進行了研究。基于柔性多體動力學理論，物理模型離散化采用有限元方法，用Kane方法建立柔性航天器可展開動力學模型。研究為一般構型剛柔耦合航天器的建模提供了參考，也為高精度航天器動力學快速自動生成模型提供了一種思路。

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