含股指期貨的多資產價格動力學模型

王 婧

(伊犁師范學院數學與統計學院，新疆伊寧835000)

近幾年，關于資產定價中有關異質代理商模型的研究受到很多學者的關注.大多數學者考慮兩類資產，一支無風險資產，一支風險資產，主要探索影響期望收益和風險資產價格波動的因素，如 Gaunerdorfer［1］，Chiarella et al.［2］.大多數文獻主要從兩方面考慮問題:首先是制定均衡價格，做市商機制和Walrasian均衡機制，利用做市商機制更能體現真實市場的情況.如Chiarella et al.［3］利用做市商機制來出清市場價格.Mei Zhu和Chiarella［4］研究了在做市商機制中，當做市商扮演不同角色時，對市場的穩定的影響.其次是交易者更新信念的法則，其中二階信念的應用更加廣泛，并且對于在異質代理商模型中，處理多風險資產的問題也越來越多，如 Bhm and Chiarella et al.［5］，Wenzelburger［6］.

Chiarella et al［7］說明了趨勢判斷和時變信念的方差、協方差對價格與收益波動的影響.而且，風險或收益信念的改變可以引起一個風險資產到另一個風險資產的波動溢出.但其僅考慮了兩種風險資產，沒有考慮到兩種資產的市場分數及其基本價格是由外生因素給定的.本文中，我們參考Chiarella et al［8］，考慮兩類投資者，即基本面分析者與追風者，假定他們關于收益的一階和二階分布具有時變的信念，并考慮以一支風險資產為其標的股指期貨與其本身之間外生相關性的聯合影響.

1 模型

參考 Chiarella，Dieci，He［8］中的定理 1，有

這里，我們也假設金融市場上有一種風險資產(i=1)和一種無風險資產，但同時加入以這種風險資產為標的的股指期貨(i=2)，并且假定投資者對紅利的期望值相同而股指期貨的紅利為零.對于基本面分析者來說，假設Eft(ct+1)=g(pt).股指期貨定價模型參考Cornell和French［11］首次提出的當融資成本和股息收益用連續復利表示時的持有成本模型，那么指數期貨定價公式為

其中，ct為期貨合約在t時的價值，pt為期貨合約標的資產(股票指數)在t時的價值，r為無風險收益率，q為股息收益率，T為期貨合約到期時間，t為現在的時間.

對于技術分析者來說，我們假設Ect(ct+1)=ct+d(ct－τ2，t).

參考 He［12］和 Chiarella et al.［7］，假設樣本均值、方差過程遵循幾何衰減過程:

τi，t+1= ωτi，t+(1－w)pi，t+1，vi，t+1= ωvi，t+ ω(1－ω)(pi，t+1－τi，t)2，(i=1，2).

本文假定外部供給為零，即zs=0.由此得到含股指期貨的多資產價格動態模型

其中，

2 非線性系統的穩定性分析

6 維確定性動力系統由映射 J:(p，τ1，v1，c，τ2，v2)→ (p'，τ1'，v1'，c'，τ2'，v2')給出.

下面，我們討論上述系統(3)的平衡點的存在性、穩定性、穩定性區域及分支情況.

將p*代入上式，得到

Γ(λ)=(λ － ω)2［λ2－(A+ω +B － ωB)λ +ωA］［λ2－(D+ω +E － ωE)λ +ωD］=(λ－ω)2Γ1(λ)× Γ2(λ).

λ1= λ2= ω是其特征根，其它特征根λi(i=3，…，6)滿足Γ1(λ)× Γ2(λ)=0，由Jury’s判據知，特征根在單位圓內，即|λi|＜1，基本平衡點是穩定的，因0＜ω ＜1，所以只需計算λi(i=3，…，6)在單位圓內的參數范圍.則需滿足以下條件:①Γ1(1)＞0;②Γ1(－1)＞0;③|ωA|＜1.

①Γ1(1)=(1－ω恒成立，因R ＞1，0≤α≤1.

那么，Γ1(λ)的特征根在單位圓內的取值范圍為nf2＜nf≤1，μ ＜ μ1，或nf2＜nf≤nf1，μ≥μ1，

同樣，Γ2(λ)的特征根在單位圓內的取值范圍為nf5＜ nf≤1，μ ＜ μ3，或nf5＜ nf≤nf4，μ ≥μ3，其中，nf4=

n f )］ .N(d)=1+d－R －(1－ ω)a q2σ2/(ω μ)F(d)=2 a q2σ2－ μ(R－1)+2 ω d μ/(1+ ω)μ［1+2 ω d/(1+ ω+d－a ，nf1

綜上，Γi(λ)(i=1，2)的特征根在單位圓內同時成立，得到

另外，當nf=nfF(d)時，Γ(λ)=0中一個特征根為－1;當nf=nfN(d)時，有一對共軛復根.因此，當μ=μ0時，在 nf=nfF(d)邊界上產生Flip分支;在nf=nfN(d)邊界上產生Hopf分支.

圖1 (d，nf)平面上穩定區域Ⅰ

圖2 (d，nf)平面上穩定區域Ⅱ

圖3 (d，nf)平面上穩定區域Ⅲ

圖1、圖2和圖3畫出了(d，nf)平面上的三個穩定區域，參數選擇如下:R=1.0002;r=0.05;σ21=0.9;q2=1;σ22=1.6;ω =0.5;α =0.75;a=0.05.其中，μ 分別為0.07，0.1，0.18.隨著 μ 的增大，Flip 分支邊界與Hopf分支邊界會相交，穩定區域也會逐漸減小.因為我們考慮的是追風者，即d＞0的情形.令nfF(d)=nf(d)，解得 d=N，只要滿足d＞0，即只要Flip分支邊界與Hopf分支邊界就會相交。

3 結語

本文在做市商機制下，多資產模型的基礎上，建立了一支風險資產以及與其標的的股指期貨兩類資產定價模型.運用差分系統穩定性理論，討論特殊情形下系統的穩定區域與分支情況.由此得到做市商的調整速度、基本面分析者的調整速度等主要參數對系統穩定區域的影響以及分支的變化情況.

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［13］王聯，王暮秋.常差分方程［M］.烏魯木齊:新疆大學出版社，1991:202－204.