GHQF精度分析及其在組合導航中的應用

穆榮軍，梁浩，龐寶君，崔乃剛

(哈爾濱工業大學 航天學院，黑龍江 哈爾濱150001)

0 引言

星光導航(CNS)、合成孔徑雷達(SAR)和捷聯慣導(SINS)組成的CNS/SAR/SINS組合導航系統是一種有發展前途的自主導航方式［1-2］。在組合導航系統中，當姿態失準角為大角度時，系統狀態方程和量測方程呈現非線性。遞推貝葉斯估計為非線性系統的狀態估計提供了最優解決方案，然而貝葉斯估計需要傳播整個概率密度，很難獲得解析解。高斯系統是一種最為常見的系統，人們基于貝葉斯估計和最小方差準則，推導了非線性高斯濾波公式，并利用相應的近似策略對非線性高斯系統狀態的后驗均值、方差等進行近似，提出了許多近似非線性濾波方法，如 UKF，KF 和 GHQF 等［3-5］。

UKF作為一種常用的非線性濾波被廣泛研究并應用于飛行器組合導航系統，理論上UT變換能夠以至少二階Taylor精度逼近非線性系統的后驗均值和協方差。與 UKF濾波過程類似，CKF根據spherical-radial cubature準則，利用具有相同權重的采樣點并通過非線性方程的傳播來進行狀態估計。

本文利用泰勒級數對GHQF，KF和CKF的性能進行了對比分析，并以CNS/SAR/SINS組合導航系統為應用背景對三種非線性濾波算法進行了數學仿真驗證。

1 高斯厄米特積分濾波算法

非線性系統方程和量測方程具有離散形式:

式中:f和h為非線性向量函數，可由慣導誤差傳播模型和觀測方程求得;wk－1和vk為不相關的零均值高斯白噪聲序列。

高斯濾波需要進行積分運算，單維高斯積分規則可表示如下［6］:

式中:m為單維積分點的數目;γi和wi分別為積分點和積分權值;γi和wi的計算方法如下:J是一個對稱三對角矩陣，對角線元素為零，且有為J 的第 i個特征值;wi=為J的第i個歸一化特征向量的第一個元素;R為實數集。

對于多維積分的情況，高斯積分可以通過張量積的形式進行擴展。

式中:P=SST。

利用式(5)，基于GHQ的積分濾波算法可表示為:

(1)預測:

式中:轉換點 ξi由方差陣分解得到為式(4)中 n維高斯積分的積分點;

(2)更新:

2 GHQF算法精度分析

2.1 向量函數的泰勒展開

向量函數f(x)在均值xˉ點處的泰勒級數［7］為:

記 δx=［δx1，…，δxn］T，? 為偏微分算子向量，則式(11)可以寫為:

根據正態分布概率密度的對稱性，奇次階矩均為0，從而式(13)可寫為:

因此，經非線性傳播后得到f(x)的均值為:

式中:ζ1為交叉項，本文中 ζi(i=1，2，…)均為交叉項。

2.2 GHQF估計精度

其中:

只要積分點的數目足夠多，高斯厄米特算法的積分點和積分權值具有如下性質［8］:

因此有

2.3 估計精度比較

由式(19)和式(26)對比可以看出，利用高斯厄米特積分可以逼近任意階精度的非線性系統的后驗均值，而UKF和CKF只能精確傳播至二階項，從四階項開始出現截斷誤差。

為了比較UKF，KF和GHQF的估計精度，只需比較非線性傳播的四階矩精度［9］，比較結果如下:

式中:n≤3，k=2，n+λ =3，各項分別為 CKF，UKF和GHQF的四階矩系數，當系統狀態變量維數不超過三維時，GHQF與UKF的捕獲精度相當;當狀態變量維數較大時，UKF和CKF均會產生較大的截斷誤差。

3 CNS/SAR/SINS組合導航模型

3.1 捷聯慣導誤差傳播模型

以東北天地理坐標系為導航坐標系，CNS/SAR/SINS組合導航系統在大失準角條件下的非線性慣導誤差傳播模型［10-11］為:

取狀態向量為:

式中各分量依次分別為三向姿態失準角、東向速度誤差、北向速度誤差、經度誤差、緯度誤差、三向陀螺常值漂移和三向加速度計零偏。

3.2 量測方程

星光導航系統中星光矢量的實際測量值和理論測量值分別表示為:

星敏感器對星光矢量的實際測量值rb與理論測量值pb有一定的偏差:

星光導航系統中一般將兩個星敏感儀正交安裝，把星敏感器實際測得的兩個星光矢量rb1，rb2與理論測量值pb1，pb2相減可以得到CNS/SINS的觀測量，SAR/SINS組合量測信息由INS輸出的水平位置與SAR圖像匹配輸出的水平位置之差構成，則CNS/SAR/SINS組合導航系統量測方程為:

式中:vk為量測噪聲。

4 仿真分析

利用UKF，CKF和GHQF設計CNS/SAR/SINS組合導航濾波器，對濾波估計精度進行比較分析。仿真條件為:飛行器初始位置為東經100°，北緯45°，飛行高度10 km，速度150 m/s，航向角35°，俯仰和橫滾角均為0°，飛機有1 m/s2的加速度和0.2(°)/s的轉彎角速度;捷聯慣導陀螺常值漂移0.1(°)/h，加速度計零偏100μg;星敏感器精度為20″(1σ)，SAR位置精度20 m(1σ);仿真時間500 s。

圖1～圖3給出了基于三種非線性濾波算法的CNS/SAR/SINS組合導航濾波器對姿態、速度和位置誤差的估計效果。由仿真結果可以看出，基于GHQF的組合導航濾波器對姿態、速度和位置的估計誤差最小，驗證了在三種濾波算法中，GHQF的精度最高。

圖1 姿態失準角估計誤差Fig.1 Estimation error of misalignment angle

圖2 速度估計誤差Fig.2 Estimation error of velocity

圖3 位置估計誤差Fig.3 Estimation error of position

根據式(28)，當系統維數n≤3時，UKF的精度優于CKF，而在處理高維系統(本算例n=13)時，CKF比UKF具有更好的精度和數值穩定性。

5 結束語

本文利用泰勒級數展開對GHQF，UKF，CKF三種非線性高斯濾波算法進行了精度比較分析。研究結果表明，GHQF能夠逼近任意階精度的非線性系統的后驗均值，與UKF和CKF相比，GHQF具有更高的估計精度，并以CNS/SAR/SINS非線性組合導航為應用背景驗證了上述結論。然而，GHQF存在計算量大的問題，如何在保持估計精度的同時降低其計算量是對GHQF算法開展下一步研究的重點內容。

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