民用飛機巡航性能計算研究

溫瑞英，魏志強，王紅勇，韓博

(中國民航大學 空中交通管理學院，天津300300)

0 引言

在一次完整的飛行中，巡航時間占到整個航行時間的75%以上，合理選擇飛機的飛行速度和飛行高度層可以有效降低航空公司的運營成本［1-2］。運營成本通常可以分為固定成本、燃油成本以及與飛行時間有關的成本［3］。航空公司可以采用經濟巡航方式降低運營成本，但需要在飛行前知道準確的成本指數，現階段大部分航空公司對時間成本統計不準確，使得成本指數的大小難以確定，因此很多航空公司習慣使用遠程巡航 (Long Range Cruise，LRC)方式或選取一個近似由遠程巡航方式確定的成本指數進行巡航。目前在燃油價格較高的情況下，采取遠程巡航方式是一種比較理想的飛行方式。巡航高度的選擇也是影響航空公司運營成本的重要因素之一，飛機飛行時應盡可能圍繞其最佳高度進行，如果偏離最佳高度，燃油消耗將會增加，例如B757飛機在偏離最佳高度2 000 ft飛行時，航程燃油消耗將增加1%～2%;如果偏離最佳高度4 000 ft，航程燃油消耗將增加3% ～5%［4］。

波音、空客飛機公司提供的性能軟件可以計算LRC速度和最佳高度，但其計算方法保密。本文以B737-800為參考機型，以飛機的原始數據如極曲線、需用推力曲線、燃油流量曲線(或燃油消耗率曲線)等為基礎［5］，通過計算飛機的燃油里程，從而求得最大航程(Maximum Range Cruise，MRC)速度、LRC速度、最佳飛行高度以及給定初始巡航質量和巡航高度情況下的航程和航時。利用波音公司的INFLT軟件計算數據對本文的計算結果進行了驗證。民航飛機的FMC(Flight Management Computer)主要以燃油消耗最小或最小成本為性能指標進行巡航優化［6-7］，所以本文所采用的方法可為我國研制大型客機提供理論支撐，也可作為大型飛機在制作飛行燃油計劃或巡航性能評估時參考的理論依據。

1 計算方法及理論依據

1.1 LRC速度的近似計算方法

假設飛機巡航時處于勻速且無機動的穩定直線平飛狀態，在此條件下飛機的升力等于重力，總阻力等于平飛所需推力。飛機的總阻力分為零升阻力和誘導阻力，其中誘導阻力系數近似為升力系數平方的函數，所以飛機平飛所需推力可表示為:

式中:CD0為零升阻力系數;CL為升力系數;CDi為升致阻力因子，與飛機的氣動特性有關;W為飛機巡航時的重量。飛機巡航時燃油里程可以表示為單位飛行時間內飛過的距離與所消耗的燃油量之比:

式中:TSFC為燃油消耗率，在某飛行高度上可認為是與發動機有關的常數;WF為燃油流量，即單位時間內所消耗的燃油量;Ma為飛行馬赫數;θ為巡航高度上大氣溫度與標準情況海平面大氣溫度之比，θ=T/T0;c0為標準大氣情況下海平面的聲速。理論上，當航程一定時，最省燃油的巡航速度對應于MRC速度，令d SR/d CL=0，則有:

由于巡航時，飛機的升力與重力相等，滿足:

式中:γ為空氣絕熱系數，取1.4;p0為海平面標準大氣情況時的壓強;δ為飛行高度上大氣壓強與標準大氣海平面大氣壓強之比。結合式(2)～式(4)，可求得MRC速度和最大燃油里程如式(5)和式(6)所示。

飛機以MRC速度飛行可以獲得最大航程，但是MRC速度太小并且接近反常操縱區，在實際飛行中，航空公司通常取99%的最大燃油里程所對應的速度，即LRC速度進行巡航。利用文獻［8］所采用的待定系數法，可求得MRC速度與LRC速度之間的關系為:

1.2 LRC速度的準確計算方法及計算步驟

在實際飛行時，飛機阻力系數和升力系數之間并非簡單的平方關系，燃油消耗率也是變化的。航空公司可以根據飛機制造廠商提供的原始性能數據計算準確的LRC速度，以提高航空公司的運行效益，具體計算步驟如下:

(1)根據飛機飛行高度Hp和飛機質量m，利用式(4)計算不同Ma時的升力系數CL;

(2)利用極曲線，由計算出的CL和Ma計算阻力系數CD，并進行雷諾數修正;

(3)假設飛機等速平飛，由阻力系數計算換算推力;

(4)利用燃油流量曲線，由換算推力和Ma得到燃油流量;

(5)通過燃油流量計算燃油里程，將若干飛行Ma及其對應的燃油里程繪制成一條曲線，即為燃油里程曲線;

(6)燃油里程最大點所對應的速度為MaMRC，取99%的最大燃油里程所對應的速度為MaLRC;

(7)依次改變飛機質量m及飛行高度Hp，重復步驟(1)～步驟(6)，可得不同高度、不同質量時的MaMRC和 MaLRC。

1.3 最佳巡航高度的計算

對于給定的巡航質量，最佳高度為燃油里程最大的高度。所以在上述計算燃油里程曲線的基礎上，選定不同的飛機質量，重復1.2節步驟(1)～步驟(6)，可以計算出不同飛行質量所對應的最佳高度。

1.4 航程和航時的計算

燃油里程表示飛機消耗單位燃油所能飛行的距離，如式(8)所示，負號代表消耗的燃油即飛機質量的減小量。定義航程因子為mSR，假設其為常數，則航程的表達式如式(9)所示。

式中:m1為巡航開始時飛機的質量;m2為巡航結束時飛機的質量。在計算得出燃油里程曲線之后，就可以由式(9)計算出給定巡航狀態下的航程R。本文采用差分法進行計算，具體步驟如下:(1)給定巡航高度Hp，從初始巡航點即飛機質量為m1開始，取一微段航程，即微段結束時飛機的質量為m2，計算該微段航程內飛機的平均巡航質量;(2)利用燃油里程曲線，計算平均燃油里程SRavg和馬赫數Ma1;(3)利用SRavgΔm計算該微段的航程ΔR1;(4)利用計算該微段的航時Δt1;(5)以 m2為下一個微段巡航開始的質量，重復步驟(2)～步驟(4)，得到一系列的ΔRi和Δti，將所有微航段的航程、航時累加就可得到整個巡航段的航程、航時。

2 計算結果及分析

2.1 誤差分析

以B737-800型飛機為例，利用自編程序計算巡航高度9 500 m，巡航質量從50 000 kg變化到75 000 kg，飛行馬赫數為 0.74時的燃油里程(SRINT)，并與波音公司INFLT軟件計算結果(SRSEF)進行比較，具體如表1所示。可以看出，自編程序與波音性能軟件的計算數據相對誤差最大不超過2%，說明了本文算法及程序的正確性。

表1 自編程序與波音INFLT軟件計算的燃油里程對比Table1 Comparison of fuel mileages calculated by the program and INFLT software

2.2 巡航性能計算

2.2.1 MRC速度和LRC速度的計算

圖1給出了飛行高度9 500 m，不同巡航質量情況下的燃油里程曲線。可以看出，對于一個固定的巡航質量，隨著馬赫數的增大，燃油里程先增大后減小，燃油里程最大點即曲線最高點所對應的馬赫數為該巡航質量情況下的MRC速度;99%的最大燃油里程所對應的馬赫數為LRC速度。表2給出了飛行高度9 500 m，不同巡航質量時的MaMRC和MaLRC。

圖1 不同巡航質量時的燃油里程曲線Fig.1 Fuel mileage curves of different cruising mass

表2 不同巡航質量所對應的Ma MRC和Ma LRCTable 2 Ma MRC and Ma LRC of different cruising mass

2.2.2 最佳高度的計算

圖2給出了飛機巡航質量60 000 kg，飛行高度從8 100 m變化到11 300 m時的燃油里程曲線。可以看出，在不同的飛行高度，隨著馬赫數的增加，燃油里程曲線先增加后減小。結合表2，當巡航質量為60 000 kg，飛機以LRC方式巡航時(馬赫數為0.727)，11 300 m處的燃油里程最大，所以在該飛行狀態下，最佳巡航高度為11 300 m。

圖2 不同巡航高度時的燃油里程曲線Fig.2 Fuel mileage curves at different cruising flight level

2.2.3 航程和航時的計算

假設飛機以LRC方式巡航，巡航開始質量為60 000 kg，可用于巡航的燃油量為5 000 kg，根據航程和航時的計算方法，取計算步長為10 kg，不同巡航高度的航程與航時如表3所示。

表3 LRC巡航時的航程與航時Table 3 Cruising range and endurance of LRC

可以看出，飛機在最佳高度巡航時，燃油里程最大，航程越遠，航時越小，飛機偏離最佳高度飛行時，對于固定的航程，燃油消耗將會增加。

3 影響巡航性能的因素分析

3.1 巡航質量的影響

由圖1可知，巡航質量越小，飛機的燃油里程越大，說明巡航質量小時消耗相同的燃油所能飛行的距離越遠;飛機的最佳巡航高度隨飛機巡航質量的減小而增大。圖3給出了不同巡航高度時，LRC速度隨巡航質量的變化曲線。可以看出，除了巡航高度11 300 m外，MaLRC隨飛機巡航質量的減小而減小。飛機在巡航過程中，隨著飛行燃油的消耗，飛機質量逐漸減小，為滿足升力與重力相平衡，飛機需要不斷減小飛行速度。

圖3 Ma LRC隨巡航質量、巡航高度的變化曲線Fig.3 Ma LRC curves of different cruising altitude and mass

3.2 巡航高度的影響

圖2 中，巡航高度越高，燃油里程越大，航程越長，其主要原因是隨著高度的增加，大氣密度減小，阻力減小。由圖3可知，除高度11 300 m外，隨著飛行高度的增加，MaLRC增大，其主要原因是隨著飛行高度的增加，大氣密度減小，為滿足升力與重力相平衡，飛機需不斷增大飛行速度。

3.3 大氣溫度的影響

燃油流量是θx的函數，x是與發動機型號有關的常數。非標準大氣情況下的燃油流量可表示為式(10)，式中下標ns代表非標準大氣，std代表標準大氣。根據燃油流量、速度與燃油里程的關系，非標準情況下的燃油里程如式(11)所示。

本文取x的值為0.6，假設飛機巡航質量為60 000 kg，巡航高度為9 500 m，圖4給出了不同外界溫度情況下的燃油里程曲線，可以看出隨著外界溫度的增加，燃油里程減小。LRC速度與溫度基本無關。

圖4 燃油里程隨外界溫度的變化曲線Fig.4 Fuel mileage curves at different ambient temperature

3.4 風的影響

為了研究風對巡航性能的影響，使用由地速和燃油流量確定的地面燃油里程，如下式:

式中:SRg為地面燃油里程;Vg為地速;VW為風速。巡航時規定順風為正，頂風為負，圖5給出了地面燃油里程隨風速的變化規律。可以看出，順風增大了地面燃油里程，順風風速越大，地面燃油里程越大，航程越遠;頂風則使得地面燃油里程減小，頂風風速越大，地面燃油里程越小，航程越短。表4給出了巡航高度9 500 m處，LRC速度隨風速的變化規律。可以看出，隨著頂風風速的增加或順風風速的減小，LRC速度增大，說明巡航時如果遇上順風，應適當減小飛行馬赫數;如果遇上頂風，則應適當增加飛行馬赫數。

圖5 地面燃油里程隨大氣風速的變化曲線Fig.5 Variation of ground fuel mileage with wind speed

表4 風速對LRC速度的影響Table 4 Influence of wind on the LRC speed

4 結束語

本文研究了民航飛機的MRC速度、LRC速度、最佳飛行高度、航程與航時的計算方法并給出了詳細的計算步驟，利用波音性能軟件計算數據對該計算方法及所編制的計算程序進行了檢驗。對影響巡航性能的因素如飛機巡航質量、巡航高度、外界溫度、風等進行了相關計算及分析，所得出的結論可有效降低航空公司的運營成本，增大飛機的航程。同時本文所采用的計算方法可為民航飛機飛行管理系統中的性能計算提供理論支撐。

［1］ 李旭，魏志強.基于最小成本的巡航馬赫數計算分析［J］.中國民航大學學報，2007，25(4):20-22.

［2］ 楊杰，薛建平，王發威，等.大型運輸機巡航航跡優化方案建模與分析［J］.飛行力學，2012，30(4):314-317.

［3］ 吳金棟，魏志強，聶潤兔.基于遠程巡航方式的成本指數計算分析［J］.中國民航大學學報，2007，25(3):17-20.

［4］ 陳治懷，谷潤平，劉俊杰.飛機性能工程［M］.北京:兵器工業出版社，2006:157-159.

［5］ Boeing Company.Aircraft flight manual(B737-800/CFM56-7B27)［R］.USA Seattle:Boeing Company，1998.

［6］ Sam L.The evolution of flight management systems［C］//13th Digital Avionics Systems Conference.Phoenix AZ:Honeywell Air Transport Syst.，1994:157-169.

［7］ Moor D A.The role of flight management system in terminal airspace［R］.USA:SAE International，1980.

［8］ 魏志強，李旭.民用飛機遠程巡航性能計算分析［C］//中國航空學會2007年學術年會.深圳:中國航空學會，2007:54-57.