基于SDRE法的非線性魯棒滑模末制導(dǎo)律設(shè)計

朱戰(zhàn)霞，馬巖，毛正陽，唐必偉

(1.西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，陜西 西安710072;2.航天飛行動力學(xué)技術(shù)國家級重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安710072)

0 引言

滿足成本和性能要求是航天器設(shè)計的基本原則，為了降低發(fā)射成本，總是力求航天器質(zhì)量盡可能輕。一般地，燃料占質(zhì)量的相當(dāng)比例，因此應(yīng)盡可能使航天器執(zhí)行任務(wù)所需的燃料最少。對于大氣層外動能攔截器，從平臺發(fā)射之后，在制導(dǎo)控制系統(tǒng)作用下，攔截器飛達(dá)目標(biāo)并對目標(biāo)實(shí)施直接碰撞殺傷。攔截過程中燃料消耗取決于控制系統(tǒng)性能和所采用的制導(dǎo)方案，燃料最省的制導(dǎo)方案可以有效減少攔截器質(zhì)量，從而降低地面發(fā)射成本。然而基于視線坐標(biāo)系建立的動能攔截器末制導(dǎo)段動力學(xué)模型雖然物理意義明顯，但卻具有強(qiáng)非線性特性，導(dǎo)致經(jīng)典制導(dǎo)律設(shè)計方法不適用，同時考慮到目標(biāo)躲避機(jī)動及各類偏差和外擾，致使?jié)M足攔截精度要求的制導(dǎo)律設(shè)計困難。

為了解決以上問題，國內(nèi)外不少學(xué)者進(jìn)行了研究。其中針對非線性系統(tǒng)最優(yōu)制導(dǎo)問題，狀態(tài)相關(guān)黎卡提方程法(SDRE)［1］不失為一種有效的解決方法，相對于傳統(tǒng)最優(yōu)反饋制導(dǎo)律求解HJB(Hamilton-Jacobi-Bellman)方程十分困難的情況，SDRE非線性次優(yōu)制導(dǎo)律求解簡單，控制精度高，已有學(xué)者將該方法應(yīng)用于制導(dǎo)律設(shè)計中。賈正望等［2］針對防空導(dǎo)彈的二維制導(dǎo)問題，設(shè)計了基于SDRE法的末制導(dǎo)律。文獻(xiàn)［3］設(shè)計了一種基于SDRE法的最優(yōu)滑模制導(dǎo)律。文獻(xiàn)［4-5］基于SDRE控制理論，采用θ-D法求解次優(yōu)控制律，分別針對航天器伴隨軌道控制問題和三維空間彈目攔截問題進(jìn)行了研究。雖然SDRE法可以用于非線性系統(tǒng)，但是當(dāng)系統(tǒng)存在不確定項(xiàng)或者干擾項(xiàng)時，應(yīng)用該方法求解最優(yōu)解非常困難。

滑模控制具有對參數(shù)攝動的不變性和對外界干擾的魯棒性，也在末制導(dǎo)律設(shè)計中得到了應(yīng)用［6-9］。但是滑模控制的原理導(dǎo)致抖振問題不可避免，抖振會造成控制量在正負(fù)之間頻繁切換，導(dǎo)致該方法工程實(shí)施困難。

本文以動能攔截器攔截大氣層外大機(jī)動目標(biāo)為對象，考慮系統(tǒng)非線性和不確定干擾，充分利用以上兩種方法的特點(diǎn)，提出并研究了結(jié)合SDRE法和滑模法的末制導(dǎo)律設(shè)計方法。

1 基于視線系的彈-目相對運(yùn)動模型

在視線坐標(biāo)系［10］下建立攔截器與目標(biāo)之間的相對運(yùn)動模型［11］:

式中:r為視線坐標(biāo)系下的攔截器和目標(biāo)的相對距離;qε為視線傾角;qβ為視線偏角;atx，aty，atz為目標(biāo)機(jī)動加速度矢量在視線坐標(biāo)系三軸上的分量;amx，amy，amz為攔截器加速度矢量在視線坐標(biāo)系三軸上的分量。

為了方便控制系統(tǒng)設(shè)計，將式(1)改寫成狀態(tài)方程的形式，設(shè)

則有:

式中:x為狀態(tài)量;u為攔截器控制量;將目標(biāo)機(jī)動視為干擾量δ，它們都是隨時間的變化量。B(x)矩陣及C(x)矩陣為控制量u及干擾量δ的系數(shù)矩陣，是狀態(tài)量x的函數(shù)。

以上狀態(tài)方程中，視攔截器-目標(biāo)的相對距離、視線傾角及視線偏角為被控狀態(tài)量，既能完整地表達(dá)相對接近問題，又不會引入絕對坐標(biāo)信息，簡化了數(shù)值解算的復(fù)雜度。顯見，該方程為非線性方程，其中的目標(biāo)機(jī)動項(xiàng)為不確定項(xiàng)，因此該方程表示的系統(tǒng)是帶有不確定干擾項(xiàng)的非線性系統(tǒng)。

2 基于SDRE法和滑模控制的設(shè)計方法

一般地，考慮擾動及不確定項(xiàng)的非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程可表示如下:

式中:系統(tǒng)狀態(tài)量x∈Rn;控制量u∈Rm;f(x)，g(x)為由狀態(tài)量x組成的非線性系統(tǒng)的函數(shù)。假設(shè)系統(tǒng)(3)中的不確定項(xiàng)，則系統(tǒng)可以表示為:

式中:a0，a1為正常數(shù);‖˙‖表示歐幾里德范數(shù)。

對于式(4)所描述的系統(tǒng)，本文考慮充分利用SDRE法和滑模控制的特點(diǎn)進(jìn)行最優(yōu)控制的設(shè)計。首先，不考慮干擾，即在δ=0的情況下基于SDRE理論求解系統(tǒng)的解。然后在此基礎(chǔ)上，考慮不確定干擾項(xiàng)，即δ≠0，采用滑模控制進(jìn)行補(bǔ)償。具體過程如下。

2.1 基于SDRE的最優(yōu)控制

假設(shè)δ=0，非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:

令u=ucon，并稱ucon為標(biāo)稱系統(tǒng)(不考慮干擾)的最優(yōu)控制量。取系統(tǒng)(6)的控制能量消耗最小作為性能指標(biāo)，即

式中:Q(x)∈Rn和R(x)∈Rm為系統(tǒng)性能指標(biāo)中含有狀態(tài)量x項(xiàng)的權(quán)重矩陣，Q(x)為半正定矩陣，R(x)為正定矩陣。

基于SDRE理論，即基于狀態(tài)量的黎卡提方程的思想，將非線性動力學(xué)方程轉(zhuǎn)換為系數(shù)矩陣含有狀態(tài)量的狀態(tài)方程，其與LQR控制具有同樣的魯棒性。將式(6)中的f(x)表示為A(x)x，將g(x)表示為B(x)，則狀態(tài)方程就可表示為基于SDRE理論的狀態(tài)方程:

系數(shù)矩陣 [A(x) B(x)]對于x逐點(diǎn)可控，則滿足最優(yōu)性能指標(biāo)的最優(yōu)控制ucon為:

其中矩陣P(x)通過以下黎卡提矩陣代數(shù)方程求得:

對于SDRE法設(shè)計過程中的可控性問題，選擇合適的系數(shù)矩陣A(x)對系統(tǒng)的可控性有比較大的影響。如果對于任意狀態(tài)量，系統(tǒng)中［A(x) B(x)］需逐點(diǎn)可控，令S4=［B(x) A1(x)B(x) …，即有 rank(S4)=n，則本文所設(shè)計的非線性魯棒系統(tǒng)可控。

2.2 基于滑模控制的干擾補(bǔ)償

以上結(jié)果是在δ=0的情況下得到的，下面考慮當(dāng)δ≠0的情況。

為了補(bǔ)償非線性系統(tǒng)(4)中的不確定項(xiàng)，選擇控制律為:

式中:uunc為針對系統(tǒng)外擾及參數(shù)不確定性的滑模控制補(bǔ)償量。若求得式(11)，即可得到考慮干擾的最優(yōu)制導(dǎo)律，前面已經(jīng)設(shè)計具有最優(yōu)性能的控制ucon，因此這里需要設(shè)計補(bǔ)償量uunc。

基于滑模控制思想，首先選擇滑模面為:

本文設(shè)計積分滑模面如下所示:

這里，G(x)∈Rm×n，G(x)B(x)滿秩非奇異，不考慮系統(tǒng)外擾動，當(dāng)t=0時，s(0，x(0))=0，這樣系統(tǒng)運(yùn)動點(diǎn)總是從滑模面出發(fā)，對s求導(dǎo):

與基于SDRE設(shè)計的最優(yōu)控制相比，式(9)和式(15)完全相同，這也證明了本文選擇的滑模面是魯棒最優(yōu)的。

考慮系統(tǒng)外擾項(xiàng)，選擇uunc為:

式中:參數(shù)η為正常數(shù)。

將式(4)代入，得:

將式(16)代入式(18)，得:

本文研究的末制導(dǎo)問題中，C(x)=－B(x)，則:

考慮式(5)，得:

分析式(22)，s的1-范數(shù)‖s‖1是大于0的，則－η‖s‖1＜0，有‖s‖ ＜ ‖s‖1，則式(22)中后半項(xiàng)，則，證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

3 攔截器末制導(dǎo)律設(shè)計

針對攔截器末制導(dǎo)律設(shè)計問題，應(yīng)用以上方法時，首先需要將狀態(tài)方程式(2)改寫為如下形式:

由于在視線方向不用控制，因此式(23)的前兩式在仿真中只需參加循環(huán)計算，則狀態(tài)量變?yōu)閤=，去掉前兩式后，式(23)各系數(shù)矩陣的表達(dá)式為:

則可以直接利用本文方法進(jìn)行末制導(dǎo)律的設(shè)計，其中兩個系數(shù)矩陣R和Q設(shè)計如下:

4 仿真驗(yàn)證結(jié)果及分析

為了驗(yàn)證本文設(shè)計的末制導(dǎo)律的性能，在相同條件下，將仿真結(jié)果與以下自適應(yīng)滑模末制導(dǎo)律比較［12］:

4.1 單次仿真結(jié)果

體現(xiàn)制導(dǎo)性能的主要參數(shù)就是視線角變化率和脫靶量，前者與攔截過程中需用過載相對應(yīng)，后者說明了攔截精度。仿真計算得到基于SDRE法的非線性魯棒滑模末制導(dǎo)律的脫靶量為0.132 5 m，燃料消耗為11.906 kg，而自適應(yīng)滑模末制導(dǎo)律的脫靶量為0.416 8 m，燃料消耗為12.983 kg，表明本文所提出并設(shè)計的末制導(dǎo)律脫靶量更小，制導(dǎo)精度更高，且燃料消耗更少。圖1和圖2給出兩種制導(dǎo)律下的視線傾角變化率和視線偏角變化率。其中，ASMG代表自適應(yīng)滑模末制導(dǎo)律;OSMG代表本文設(shè)計的基于SDRE法的非線性魯棒滑模最優(yōu)末制導(dǎo)律。

圖1 視線傾角變化率Fig.1 Changing rate of line of sight lnclination angle

圖2 視線偏角變化率Fig.2 Changing rate of line of sight deflection angle

由圖1和圖2可以看出，基于SDRE法的非線性魯棒滑模末制導(dǎo)律的視線角速率在前段變化較快且很快減小并逐漸趨于較小的值，說明彈道前段充分利用了機(jī)動性而彈道末段比較平直，有利于精確控制以減小脫靶量。

4.2 蒙特卡洛打靶仿真結(jié)果

在末制導(dǎo)段進(jìn)行蒙特卡洛打靶仿真，誤差源及其誤差選值范圍和分布規(guī)律如表1所示，打靶次數(shù)n=100次。其中正態(tài)分布N(0，σ2)，選取均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差σ=0.5。兩種末制導(dǎo)律下，蒙特卡洛打靶的脫靶量分別如圖3和圖4所示。

表1 誤差源及其分布規(guī)律Table 1 Distribution of error sources

圖3 自適應(yīng)滑模末制導(dǎo)律脫靶量分布Fig.3 Missed distance of ASMG

圖4 非線性魯棒滑模最優(yōu)末制導(dǎo)律脫靶量分布Fig.4 Missed distance of OSMG

統(tǒng)計結(jié)果為:ASMG法的CEP誤差為0.225 m，脫靶量均方差為0.030 5 m;OSMG法的CEP誤差為0.138 2 m，脫靶量均方差為0.008 55 m。進(jìn)一步說明了基于SDRE法的非線性魯棒滑模最優(yōu)末制導(dǎo)律脫靶量更小，制導(dǎo)精度更高。

5 結(jié)束語

在保證制導(dǎo)精度的前提下，攔截器燃料消耗的減少對于其總體優(yōu)化設(shè)計以及航天器作為有效載荷從地面發(fā)射時的成本減小意義重大。本文正是基于此考慮，研究了基于SDRE法解決非線性系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)，并將滑模變結(jié)構(gòu)控制與其結(jié)合，設(shè)計了基于SDRE法的非線性魯棒滑模末制導(dǎo)律，仿真結(jié)果表明了該制導(dǎo)律的可用性和優(yōu)越性能。

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