基于差分進化和向量回歸的四旋翼參數(shù)集員辨識

方旭，劉金琨

(北京航空航天大學 自動化科學與電氣工程學院，北京100191)

0 引言

目前，垂直起降飛行器和無人機(UAV)的研究主要集中在航跡規(guī)劃和跟蹤兩個方面，而對UAV的參數(shù)辨識研究并不多，特別是在飛行器參數(shù)集員辨識［1］方面缺少研究。在實際應用中飛行器系統(tǒng)的噪聲統(tǒng)計特性很難確定，用統(tǒng)計類的辨識方法是行不通的，而集員辨識［2-4］卻適合這種情況。集員辨識是在未知但有界噪聲假設下進行的辨識，完成的工作是在參數(shù)空間中找到一個與量測數(shù)據和已知噪聲界相容的可行解集，即參數(shù)空間的一個集合［5］，且集合中的每一個成員均為可行解。隨著樣本的增大，成員集范圍逐漸縮?。?-7］。差分進化算法［8］在保留了遺傳算法優(yōu)點的同時，又避免了復雜的運算。跟蹤微分器［9］通過積分提取微分信號，積分鏈式微分器可以有效地抑制噪聲，而且可以直接估計系統(tǒng)高階導數(shù)。

本文為了解決辨識模型回歸矩陣奇異條件下的參數(shù)集員辨識問題，基于差分進化算法和非線性向量回歸［10］，建立了逼近參數(shù)向量與誤差向量的范數(shù)之間的函數(shù)關系模型，并用差分進化算法優(yōu)化回歸模型參數(shù)，避免了模型參數(shù)選擇的盲目性。此方程的應用不要求回歸矩陣非奇異，在奇異條件下也能進行集員辨識，擴大了適用范圍。首先利用跟蹤微分器由飛行器的位置和歐拉角信息估計其6個自由度的速度和加速度信息;然后，將整個系統(tǒng)分解為兩個相對獨立的子系統(tǒng)，簡化辨識模型，利用差分進化算法對飛行器參數(shù)可行集的中心進行估計和建立回歸函數(shù);最后，根據得到的函數(shù)關系模型導出近似參數(shù)可行解集。

1 無人機系統(tǒng)動態(tài)模型

圖1為四旋翼UAV受力圖，其中Oxyz為慣性坐標系，飛行器有4個螺旋槳控制位置和歐拉角，l為飛行器半臂長，F(xiàn)i(i=1，2，3，4)為螺旋槳推力形成的扭轉力矩。

圖1 四旋翼UAV結構圖Fig.1 Structure of quadrotor UAV

利用歐拉-拉格朗日方法推導出UAV的動力學方程，其簡化表達式如下:

式中:x，y，z分別為位置信息;θ，φ，ψ 分別為俯仰角、滾轉角和偏航角;ai(i=1，…，10)為待辨識的參數(shù)，如表1所示，表中m為質量，c為比例系數(shù)，κi(i=1，…，6)為阻力系數(shù)，Ii(i=1，2，3)為轉動慣量;ui(i=1，2，3，4)為虛擬輸入，滿足:

表1 待辨識的系統(tǒng)參數(shù)Table 1 Unknown parameters for identification

2 跟蹤微分器和差分進化算法

四旋翼UAV的位置和歐拉角可以通過傳感器來測量，設計了6個三階跟蹤微分器來分別獲得飛行器位置、歐拉角的速度和加速度數(shù)據，三階跟蹤微分器設計如下:

其中s3+c3s2+c2s+c1=0滿足Hurwitz穩(wěn)定判據，μ是極小的正數(shù)，輸入u是傳感器測量到的位置或歐拉角信息，y1，y2為輸出，方程(4)的Laplace變換為:

差分進化算法是比較成熟的智能算法，本文不做詳細介紹，可參見文獻［11］。差分進化算法的運行參數(shù)主要有:變異因子F、交叉因子CR、群體規(guī)模Z和最大迭代次數(shù)T。其收斂速度主要由F和CR決定:F較小時，易陷入局部極值;F較大時，收斂速度會減慢。為此，可以采用下式線性調整［12］變異因子F。

式中:d為當前進化代數(shù);D為最大進化代數(shù);Fmax和Fmin為選定的變異因子的最大、最小值。

CR越小，種群多樣性減小，過早收斂;CR越大，收斂速度越大，但收斂變慢。同樣，可以采用式(7)線性調整交叉因子CR:

為了保證算法的性能，CRmax和CRmin應選取合理的值。隨著進化代數(shù)的增加，F(xiàn)線性遞減，CR線性遞增，目的是希望改進的差分進化算法在搜索初期能夠保持種群的多樣性，到后期有較大的收斂速度。

3 飛行器系統(tǒng)分解和參數(shù)的中心估計

為了簡化參數(shù)辨識的復雜度，將整個飛行器系統(tǒng)分解為兩個獨立的子系統(tǒng)，分別對其進行參數(shù)辨識。這樣就成功地將一個高維的系統(tǒng)辨識問題降階分解到兩個低維的子系統(tǒng)上，避免了差分進化算法在進行高維優(yōu)化時容易陷入局部最優(yōu)的問題，同時也加快了系統(tǒng)的收斂速度。

兩個獨立的子系統(tǒng)(位置子系統(tǒng)(8)和姿態(tài)子系統(tǒng)(9))寫成含有噪聲的參數(shù)線性化回歸模型形式m=Nθ+e如下:

式中:e∈R3為未知但有界的噪聲;m∈R3為測量輸出。位置子系統(tǒng)(8)記為ma=Naθa+ea，其中Na∈R3×4，θa∈ R4;而姿態(tài)子系統(tǒng)(9)記為 mb=Nbθb+eb，其中Nb∈R3×6，θb∈R6。系統(tǒng)分解后就可以分別對子系統(tǒng)進行集員辨識，下面以其中任意一個子系統(tǒng)m=Nθ+e為例介紹中心估計方法［13］。假設得到k組數(shù)據，記:

可得ms=Nsθ+es，集員辨識常用最小二乘法進行參數(shù)的中心估計，但要求非奇異，限制了適用范圍。

因此，采用改進差分進化算法進行中心估計，辨識誤差指標選為:

圖2為集員辨識中心點估計流程圖。

圖2 集員辨識中心點估計流程圖Fig.2 Flow chart of set membership identification center estimation

4 基于差分算法和向量回歸的集員估計

以飛行器系統(tǒng)中任意一個子系統(tǒng)m=Nθ+e為例介紹集員辨識方法，與文獻［15-16］不同，本文采用差分進化算法對回歸模型參數(shù)進行優(yōu)化，并且給出適合四旋翼參數(shù)集員辨識的加權方法。e∈R3是有界的，滿足Ve∈R3是l2范數(shù)意義下有界的，即為對角加權矩陣，d∈R為誤差界限。由上可得與回歸模型、測量輸出、誤差界限相容的集合為:

式中:向量θ(i)(i=1，…，g)為參數(shù)空間中的點。根據樣本集S建立逼近誤差向量l2范數(shù)ε∈R與θ之間的函數(shù)關系的模型:

式中:η(·)為從低維參數(shù)空間θ∈Rp到高維特征空間Rq(q＞p)的非線性映射;w∈Rq為權重向量;b∈R為偏置量。為了得到w，b，依據非線性回歸結構風險最小化原則，將其學習過程轉化為優(yōu)化問題如下:

式中:i=(1，…，l);Bi為松弛變量;γ為懲罰系數(shù)。利用拉格朗日方程求解最佳參數(shù):

ki∈R為拉格朗日乘子，求解最優(yōu)參數(shù)，得到下列矩陣方程:

式中:ξ =［ε1，…，εg］;lv=［1，…，1］;k=［k1，…，kg］;Ω∈Rg×g為矩陣中的元素，Ωij= η(θ(i))Tη(θ(j))(i，j=1，…，g)，根據梅塞條件存在核函數(shù)滿足式(14)。本文選取核 函數(shù)為σ2}(i，j=1，…，g)，其中 σ 為核函數(shù)寬度系數(shù)，解矩陣方程得到b，k，最終得到最優(yōu)方程解:

那么優(yōu)化問題式(12)變?yōu)?

同樣利用拉格朗日方程求解最佳參數(shù)，可得到最終模型形式:

因此集員估計可行解公式為:

假設得到Tk組采樣數(shù)據m，N，每組數(shù)據得到一個可行解:

如果真實參數(shù)的先驗信息θ*∈Θ0，Θ0是參數(shù)空間的有界集合。那么，系統(tǒng)參數(shù)集員估計的可行解為Θ0與Hj的交集，即:

5 仿真實驗與分析

改進的差分進化算法參數(shù)設置為:Fmax=0.9，F(xiàn)min=0.4，CRmax=0.9，CRmin=0.3，Z=80，D=500;跟蹤微分器參數(shù)設置為:c1=200，c2=140，c3=22，μ=0.01;飛行器輸入為:u1=10 sin(t)，u2=10 cos(t)，u3=10 sin(t)，u4=10 cos(t);系統(tǒng)物理參數(shù)為:a1=0.465 1，a2=0.051 2，a3=0.055 8，a4=0.051 2，a5=0.195 3，a6=0.033 2，a7=0.198 4，a8=0.031 7，a9=0.463 4，a10=0.013 1;最優(yōu)參數(shù)σ=0.025，γ=1e－4;根據測量輸出信號的變化范圍，取噪聲向量元素的界限為0.03。集員參數(shù)辨識結果如表2所示。

表2 集員參數(shù)辨識結果Table 2 Results for UAV set membership identification

圖3為系統(tǒng)6個自由度的幅值變化和系統(tǒng)噪聲。圖4為兩個子系統(tǒng)改進差分進化算法參數(shù)中心估計的辨識誤差指標收斂過程。

圖3 6個自由度幅值變化和噪聲Fig.3 Amplitude change of 6 degress and noise

圖4 子系統(tǒng)辨識指標Fig.4 Identification index of subsystem

從以上圖表可以發(fā)現(xiàn)，高階積分鏈式微分器可以精確地跟蹤UAV的位置和歐拉角信息，并且得到速度和加速度數(shù)據。在噪聲環(huán)境下，改進差分進化算法能很好地進行參數(shù)中心點估計和優(yōu)化回歸函數(shù)參數(shù)。在集員區(qū)間估計方面，參數(shù) a1，a4，a5，a7，a9的估計區(qū)間較小，其估計結果可信度高，而剩下的5個參數(shù)估計區(qū)間較大，其結果只可作為參考，因為這5個參數(shù)數(shù)量級較小，即使在參數(shù)變化較大的情況下引起的誤差仍然較小，依然滿足可行解方程，所以區(qū)間估計較大。

6 結束語

本文僅基于UAV位置和歐拉角信息，利用跟蹤微分器得到速度和加速度數(shù)據，將復雜系統(tǒng)分解為兩個獨立的子系統(tǒng)進行辨識，減輕了辨識的工作量。利用非線性向量回歸方法建立逼近參數(shù)向量與誤差向量的范數(shù)之間的函數(shù)關系模型，用差分進化算法進行參數(shù)中心點估計和優(yōu)化回歸函數(shù)參數(shù)，避免參數(shù)選擇的盲目性。為了進一步完善算法，對樣本數(shù)據進行加權處理。給出了一種四旋翼參數(shù)的集員估計方法，為集員辨識在飛行器上的應用提供了一種新的思路。

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