基于差分進化和向量回歸的四旋翼參數集員辨識

方旭，劉金琨

(北京航空航天大學 自動化科學與電氣工程學院，北京100191)

0 引言

目前，垂直起降飛行器和無人機(UAV)的研究主要集中在航跡規劃和跟蹤兩個方面，而對UAV的參數辨識研究并不多，特別是在飛行器參數集員辨識［1］方面缺少研究。在實際應用中飛行器系統的噪聲統計特性很難確定，用統計類的辨識方法是行不通的，而集員辨識［2-4］卻適合這種情況。集員辨識是在未知但有界噪聲假設下進行的辨識，完成的工作是在參數空間中找到一個與量測數據和已知噪聲界相容的可行解集，即參數空間的一個集合［5］，且集合中的每一個成員均為可行解。隨著樣本的增大，成員集范圍逐漸縮小［6-7］。差分進化算法［8］在保留了遺傳算法優點的同時，又避免了復雜的運算。跟蹤微分器［9］通過積分提取微分信號，積分鏈式微分器可以有效地抑制噪聲，而且可以直接估計系統高階導數。

本文為了解決辨識模型回歸矩陣奇異條件下的參數集員辨識問題，基于差分進化算法和非線性向量回歸［10］，建立了逼近參數向量與誤差向量的范數之間的函數關系模型，并用差分進化算法優化回歸模型參數，避免了模型參數選擇的盲目性。此方程的應用不要求回歸矩陣非奇異，在奇異條件下也能進行集員辨識，擴大了適用范圍。首先利用跟蹤微分器由飛行器的位置和歐拉角信息估計其6個自由度的速度和加速度信息;然后，將整個系統分解為兩個相對獨立的子系統，簡化辨識模型，利用差分進化算法對飛行器參數可行集的中心進行估計和建立回歸函數;最后，根據得到的函數關系模型導出近似參數可行解集。

1 無人機系統動態模型

圖1為四旋翼UAV受力圖，其中Oxyz為慣性坐標系，飛行器有4個螺旋槳控制位置和歐拉角，l為飛行器半臂長，Fi(i=1，2，3，4)為螺旋槳推力形成的扭轉力矩。

圖1 四旋翼UAV結構圖Fig.1 Structure of quadrotor UAV

利用歐拉-拉格朗日方法推導出UAV的動力學方程，其簡化表達式如下:

式中:x，y，z分別為位置信息;θ，φ，ψ 分別為俯仰角、滾轉角和偏航角;ai(i=1，…，10)為待辨識的參數，如表1所示，表中m為質量，c為比例系數，κi(i=1，…，6)為阻力系數，Ii(i=1，2，3)為轉動慣量;ui(i=1，2，3，4)為虛擬輸入，滿足:

表1 待辨識的系統參數Table 1 Unknown parameters for identification

2 跟蹤微分器和差分進化算法

四旋翼UAV的位置和歐拉角可以通過傳感器來測量，設計了6個三階跟蹤微分器來分別獲得飛行器位置、歐拉角的速度和加速度數據，三階跟蹤微分器設計如下:

其中s3+c3s2+c2s+c1=0滿足Hurwitz穩定判據，μ是極小的正數，輸入u是傳感器測量到的位置或歐拉角信息，y1，y2為輸出，方程(4)的Laplace變換為:

差分進化算法是比較成熟的智能算法，本文不做詳細介紹，可參見文獻［11］。差分進化算法的運行參數主要有:變異因子F、交叉因子CR、群體規模Z和最大迭代次數T。其收斂速度主要由F和CR決定:F較小時，易陷入局部極值;F較大時，收斂速度會減慢。為此，可以采用下式線性調整［12］變異因子F。

式中:d為當前進化代數;D為最大進化代數;Fmax和Fmin為選定的變異因子的最大、最小值。

CR越小，種群多樣性減小，過早收斂;CR越大，收斂速度越大，但收斂變慢。同樣，可以采用式(7)線性調整交叉因子CR:

為了保證算法的性能，CRmax和CRmin應選取合理的值。隨著進化代數的增加，F線性遞減，CR線性遞增，目的是希望改進的差分進化算法在搜索初期能夠保持種群的多樣性，到后期有較大的收斂速度。

3 飛行器系統分解和參數的中心估計

為了簡化參數辨識的復雜度，將整個飛行器系統分解為兩個獨立的子系統，分別對其進行參數辨識。這樣就成功地將一個高維的系統辨識問題降階分解到兩個低維的子系統上，避免了差分進化算法在進行高維優化時容易陷入局部最優的問題，同時也加快了系統的收斂速度。

兩個獨立的子系統(位置子系統(8)和姿態子系統(9))寫成含有噪聲的參數線性化回歸模型形式m=Nθ+e如下:

式中:e∈R3為未知但有界的噪聲;m∈R3為測量輸出。位置子系統(8)記為ma=Naθa+ea，其中Na∈R3×4，θa∈ R4;而姿態子系統(9)記為 mb=Nbθb+eb，其中Nb∈R3×6，θb∈R6。系統分解后就可以分別對子系統進行集員辨識，下面以其中任意一個子系統m=Nθ+e為例介紹中心估計方法［13］。假設得到k組數據，記:

可得ms=Nsθ+es，集員辨識常用最小二乘法進行參數的中心估計，但要求非奇異，限制了適用范圍。

因此，采用改進差分進化算法進行中心估計，辨識誤差指標選為:

圖2為集員辨識中心點估計流程圖。

圖2 集員辨識中心點估計流程圖Fig.2 Flow chart of set membership identification center estimation

4 基于差分算法和向量回歸的集員估計

以飛行器系統中任意一個子系統m=Nθ+e為例介紹集員辨識方法，與文獻［15-16］不同，本文采用差分進化算法對回歸模型參數進行優化，并且給出適合四旋翼參數集員辨識的加權方法。e∈R3是有界的，滿足Ve∈R3是l2范數意義下有界的，即為對角加權矩陣，d∈R為誤差界限。由上可得與回歸模型、測量輸出、誤差界限相容的集合為:

式中:向量θ(i)(i=1，…，g)為參數空間中的點。根據樣本集S建立逼近誤差向量l2范數ε∈R與θ之間的函數關系的模型:

式中:η(·)為從低維參數空間θ∈Rp到高維特征空間Rq(q＞p)的非線性映射;w∈Rq為權重向量;b∈R為偏置量。為了得到w，b，依據非線性回歸結構風險最小化原則，將其學習過程轉化為優化問題如下:

式中:i=(1，…，l);Bi為松弛變量;γ為懲罰系數。利用拉格朗日方程求解最佳參數:

ki∈R為拉格朗日乘子，求解最優參數，得到下列矩陣方程:

式中:ξ =［ε1，…，εg］;lv=［1，…，1］;k=［k1，…，kg］;Ω∈Rg×g為矩陣中的元素，Ωij= η(θ(i))Tη(θ(j))(i，j=1，…，g)，根據梅塞條件存在核函數滿足式(14)。本文選取核 函數為σ2}(i，j=1，…，g)，其中 σ 為核函數寬度系數，解矩陣方程得到b，k，最終得到最優方程解:

那么優化問題式(12)變為:

同樣利用拉格朗日方程求解最佳參數，可得到最終模型形式:

因此集員估計可行解公式為:

假設得到Tk組采樣數據m，N，每組數據得到一個可行解:

如果真實參數的先驗信息θ*∈Θ0，Θ0是參數空間的有界集合。那么，系統參數集員估計的可行解為Θ0與Hj的交集，即:

5 仿真實驗與分析

改進的差分進化算法參數設置為:Fmax=0.9，Fmin=0.4，CRmax=0.9，CRmin=0.3，Z=80，D=500;跟蹤微分器參數設置為:c1=200，c2=140，c3=22，μ=0.01;飛行器輸入為:u1=10 sin(t)，u2=10 cos(t)，u3=10 sin(t)，u4=10 cos(t);系統物理參數為:a1=0.465 1，a2=0.051 2，a3=0.055 8，a4=0.051 2，a5=0.195 3，a6=0.033 2，a7=0.198 4，a8=0.031 7，a9=0.463 4，a10=0.013 1;最優參數σ=0.025，γ=1e－4;根據測量輸出信號的變化范圍，取噪聲向量元素的界限為0.03。集員參數辨識結果如表2所示。

表2 集員參數辨識結果Table 2 Results for UAV set membership identification

圖3為系統6個自由度的幅值變化和系統噪聲。圖4為兩個子系統改進差分進化算法參數中心估計的辨識誤差指標收斂過程。

圖3 6個自由度幅值變化和噪聲Fig.3 Amplitude change of 6 degress and noise

圖4 子系統辨識指標Fig.4 Identification index of subsystem

從以上圖表可以發現，高階積分鏈式微分器可以精確地跟蹤UAV的位置和歐拉角信息，并且得到速度和加速度數據。在噪聲環境下，改進差分進化算法能很好地進行參數中心點估計和優化回歸函數參數。在集員區間估計方面，參數 a1，a4，a5，a7，a9的估計區間較小，其估計結果可信度高，而剩下的5個參數估計區間較大，其結果只可作為參考，因為這5個參數數量級較小，即使在參數變化較大的情況下引起的誤差仍然較小，依然滿足可行解方程，所以區間估計較大。

6 結束語

本文僅基于UAV位置和歐拉角信息，利用跟蹤微分器得到速度和加速度數據，將復雜系統分解為兩個獨立的子系統進行辨識，減輕了辨識的工作量。利用非線性向量回歸方法建立逼近參數向量與誤差向量的范數之間的函數關系模型，用差分進化算法進行參數中心點估計和優化回歸函數參數，避免參數選擇的盲目性。為了進一步完善算法，對樣本數據進行加權處理。給出了一種四旋翼參數的集員估計方法，為集員辨識在飛行器上的應用提供了一種新的思路。

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