用于機械系統(tǒng)固有頻率及阻尼比計算的改進頻域方法

孟慶虎,,朱永生,刁瑞朋

(西安交通大學機械工程學院,710049,西安)

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用于機械系統(tǒng)固有頻率及阻尼比計算的改進頻域方法

(西安交通大學機械工程學院,710049,西安)

針對傳統(tǒng)的機械系統(tǒng)固有頻率及阻尼比計算方法中,時域方法易造成主觀誤差,頻域方法存在一定精度限制的問題,提出了一種利用指數(shù)衰減正弦信號頻譜校正算法計算系統(tǒng)阻尼比和固有頻率的新方法。該方法首先利用基于漢寧窗的插值頻譜校正方法獲得頻率偏移量和衰減因子,再結合有阻尼自由振動響應與指數(shù)衰減正弦信號的相似性關系求取固有頻率,進而獲得系統(tǒng)阻尼比和有阻尼固有頻率,最終計算出無阻尼固有頻率。分別使用傳統(tǒng)時域方法和本文提出的頻域方法對壓電懸臂梁的固有頻率及阻尼比進行計算,結果表明新方法擁有更高的計算精度和更好的信噪比適應性。與傳統(tǒng)的頻率擬合方法相比,本文所提方法也更簡單,計算效率更高。

衰減信號;頻譜校正;固有頻率;阻尼比;壓電懸臂梁

系統(tǒng)自由振動幅值逐步減少的過程稱為阻尼現(xiàn)象[1],其本質是振動系統(tǒng)能量的轉換,即從機械能轉換為熱能或其他形式能量的過程。阻尼比是指阻尼系數(shù)與臨界阻尼系數(shù)之比,用來表達結構阻尼的大小,描述結構在振動過程中能量的耗散情況。較為精確地獲得系統(tǒng)的固有頻率和阻尼比,在結構動力學計算、結構故障診斷、振動實時監(jiān)控、響應預測、荷載識別、能量轉換等課題研究和工程實際應用方面,有著很重要的作用。

目前常見的計算系統(tǒng)固有頻率和阻尼比的方法可分為時域法和頻域法兩種。時域法有對數(shù)衰減率法、易卜拉欣時域法(Ibrahim time domain, ITD)[2]、少時時域法(spare time domain, STD)[3]、隨機減量法[4]等;頻域法有半功率帶寬法[5]、峰值法、導納圓法等[6]。其中,時域方法具有操作簡單、易于實現(xiàn)等特點,但是該方法需要人工進行選點,會帶來一定的主觀輸入誤差。此外,在信噪比較低的信號時域波形上也難以準確地估計信號周期,這也為正確地選點造成了困難。半功率點法應用較廣,但存在柵欄效應、能量泄漏的離散譜線上很難精確找到半功率點。傳統(tǒng)的頻域識別方法在進行快速傅里葉變換(fast Fourier transform, FFT)的時候,亦會導致一定的能量泄漏,從而在精度上受到一定的限制。如何提高阻尼比識別精度,使之便于工程實際應用,便成為了一項難題。

受到指數(shù)衰減信號頻域插值校正理論的啟發(fā),本文提出了一種新型的識別系統(tǒng)固有頻率和阻尼比的指數(shù)衰減正弦信號頻譜校正方法。利用離散傅里葉變換后兩相鄰譜線的比值關系可以精確獲得衰減因子,而這個重要的頻譜校正參數(shù)與阻尼比存在確定的關系。與傳統(tǒng)的時域方法和頻域方法相比,本文方法利用校正的信號參數(shù)進行計算避免了人工選點造成的主觀誤差,而通過插值方法校正出的固有頻率和阻尼比基本不受采樣率的影響,具有較高的估計精度。同時,本文方法又具有較強的適應性和更簡單的計算過程,并適用于多模態(tài)的阻尼比的計算。使用本文方法計算了壓電懸臂梁固有頻率和阻尼比,并與傳統(tǒng)時域方法進行了對比,獲得了較為準確的結果,證明本文所提方法可以作為計算系統(tǒng)固有頻率和阻尼比的一種可選方法。

1 方法描述

1.1 基于頻域差值的非平穩(wěn)信號參數(shù)識別方法

由M個頻率分量組成的指數(shù)衰減正弦信號一般形式為

(1)

式中:Am、fm、φm為第m個頻率分量的幅值、頻率、初相位;αm為第m個頻率分量的衰減因子,該參數(shù)表征指數(shù)衰減正弦信號的衰減速率,衰減因子越大,信號幅值的衰減速率越快;N為采樣點數(shù)。其中一單頻指數(shù)衰減正弦信號可表示為

(2)

式(2)的離散傅里葉變換為

X[k]=A0ejφ0W[k-f0;α0],k=0,…,N-1

(3)

式中:W[k-fm;αm]由下式給出

(4)

假設頻率f0的理論位置為θ0,其兩側的兩根離散譜線的位置分別為k0-1和k0,則存在如下關系

(5)

由式(3)可知,f0兩側的兩根譜線對應值為

(6)

由式(5)和式(6)可知,f0兩側兩根譜線的離散傅里葉變換比值為

(7)

定義變量

(8)

將式(4)和式(8)代入式(7),可解出τ的值為

(9)

由式(8)可知,τ為一復數(shù),根據(jù)復數(shù)模和幅角的定義可知

(10)

式中:arg(τ)為τ的幅角。

因此,指數(shù)衰減正弦信號頻率的校正值為

(11)

由式(3)可知

A0=|X[k]|/|W[-δ0;α0]|

φ0=arg(X[k])-arg(W[-δ0;α0])+π/2

(12)

基于矩形窗的頻域差值方法存在頻譜泄漏大、衰減因子偏差較大的不足。為了有效地抑制頻譜泄漏的影響,提高頻譜參數(shù)估計的精度,刁瑞朋等提出了基于漢寧窗的指數(shù)衰減正弦信號矢量插值頻譜校正方法并推導出了具體的實現(xiàn)公式,可獲得衰減因子和頻率偏移量的校正值[7]

(13)

(14)

頻率的校正值為

(15)

幅值和相位的校正值為

(16)

(17)

至此,我們獲得了指數(shù)衰減正弦信號基于漢寧窗的插值頻譜校正公式。為了方便起見,將此插值頻譜校正方法簡稱為HDIDFT(Hanning damping interpolated discrete Fourier transform)。

本文擬采用基于漢寧窗的指數(shù)衰減正弦信號矢量插值頻譜校正方法,并根據(jù)振動力學的公式,提出一種計算系統(tǒng)阻尼比和固有頻率的方法。

1.2 基于頻域方法的系統(tǒng)固有頻率和阻尼比計算

由振動力學知識可知,系統(tǒng)欠阻尼情形單自由度系統(tǒng)的自由振動響應[8]為

(18)

根據(jù)三角函數(shù)和差化積公式,式(18)可表示為

(19)

其中

式(19)表明,欠阻尼情形的單自由度系統(tǒng)對初始條件的響應是一種振幅按指數(shù)規(guī)律逐漸衰減的簡諧振動,與指數(shù)衰減信號式(1)具有相同的表示形式。對比兩個公式可以看出,式(19)中的-ζωn即是式(1)中的衰減因子項2πα,而有阻尼系統(tǒng)的固有頻率ωd與式(1)中2πf意義相同,即2πf為系統(tǒng)的有阻尼固有頻率,而衰減因子2πα和頻率f剛好是本文提出的頻譜校正方法所校正出的兩個參數(shù),見式(13)和式(15)。由此可見,指數(shù)衰減信號的頻域插值頻譜校正方法可以用來計算欠阻尼情形下的阻尼比及固有頻率。

下面給出本文提出的利用指數(shù)衰減信號頻譜校正方法計算阻尼比的公式。由式(1)和式(19)可知

α=-ζωn/2π

(20)

則有阻尼固有頻率ωd和衰減因子α的比值為

(21)

根據(jù)式(20)即可求出阻尼比

(22)

式中:fd=ωd/2π為有阻尼固有頻率,單位為Hz。

具體計算阻尼比時,首先用指數(shù)衰減正弦信號頻域插值校正方法獲得衰減因子α和有阻尼固有頻率fd兩個值,代入式(21)即可求出阻尼比ζ和固有頻率ωd。然后根據(jù)ωd與ωn的關系即可求出系統(tǒng)的無阻尼固有頻率為

(23)

2 壓電懸臂梁固有頻率及阻尼比實驗

隨著無線傳感設備及微機電系統(tǒng)的日益發(fā)展,以化學電池為主的供能方式的弊端日漸顯露。為實現(xiàn)微機電系統(tǒng)的長時間供能,需要大力發(fā)展能量回收技術,將外界能量轉換成系統(tǒng)可利用的電能。由于振動現(xiàn)象幾乎無處不在且具有較高的能量密度,因此對振動能量的轉化及回收利用的研究在近年逐步興起。目前,振動能量回收技術主要分為靜電式、電磁式和壓電式3類。其中,壓電式方法以其具有的結構簡單、不發(fā)熱、無電磁干擾、清潔環(huán)保和易于微型化等諸多優(yōu)點而得到了極大重視[9-10]。

壓電發(fā)電裝置利用環(huán)境中的振動使壓電材料發(fā)生變形來產生電能,其核心部件是換能器,它決定了系統(tǒng)的能量轉換效率[10]。目前,最常用的換能器結構為懸臂梁式結構,如圖1所示。換能器設計的一個基本要求是其諧振頻率與外界的振動頻率一致,使電能輸出最大,因此需要對其形狀和結構進行優(yōu)化設計。理論分析壓電懸臂梁的電能輸出時,將其阻尼設為瑞利阻尼,忽略質量阻尼,而只考慮材料的結構阻尼,此時壓電懸臂梁的機電耦合微分方程中的阻尼系數(shù)可由阻尼比和固有頻率計算得到。

圖1 壓電懸臂梁結構圖

具體實驗中,將壓電懸臂梁固定在Z型支架上,如圖2所示。給其自由端一個微小的瞬時位移激勵,然后讓其自由振動,利用電渦流位移傳感器測量質量塊在垂直方向發(fā)生的位移量,進而利用該位移量計算求取其固有頻率及結構阻尼比。采集信號時,設置采樣率為1 000 Hz,從采集信號中截取采樣時長為601 ms的數(shù)據(jù)。圖3給出了測得的質量塊自由衰減時域曲線和FFT波形圖。

圖2 壓電懸臂梁實驗圖

3 對比分析

下面分別用時域方法和基于頻譜校正的頻域方法計算壓電懸臂梁的固有頻率和阻尼比,并將兩種方法進行對比。

3.1 時域方法

時域方法[11-13]是一種簡便有效的計算自由振動阻尼比和固有頻率的方法。具體來說,分別記錄時域曲線上相隔固定周期的幾個時刻的位移值,然后利用式(24)計算出系統(tǒng)的阻尼比,根據(jù)采集到的信號周期估計出固有頻率[10]

(24)

式中:N為計算阻尼比需要的數(shù)據(jù)點數(shù);τ為相鄰兩個數(shù)據(jù)點間所包含的信號周期數(shù)。

(a)時域波形圖

(b)FFT頻譜圖圖3 壓電換能器自由衰減時域波形及FFT頻譜圖

本例中每隔2個周期選擇一個數(shù)據(jù)點,共選擇7個數(shù)據(jù)點,即N=7,τ=2。數(shù)據(jù)點的位置和對應的位移值分別見圖4和表1。

圖4 計算阻尼比的7個數(shù)據(jù)點

使用時域方法,利用7個數(shù)據(jù)點計算出了6組阻尼比和固有頻率。表2給出了使用不同區(qū)間的數(shù)據(jù)的計算結果。

表1 不同數(shù)據(jù)點的位移

表2 使用不同區(qū)間計算出的阻尼比

3.2 基于衰減信號參數(shù)估計的頻域方法

為了用頻域方法計算懸臂梁的固有頻率和阻尼比,首先需要用頻域插值校正出固有頻率和衰減因子的準確值。表3給出了FFT和HDIDFT計算出的信號參數(shù),由于FFT不能計算出衰減因子,因此該項的值為空。

將表3中由HDIDFT計算出的有阻尼固有頻率和衰減因子代入式(22),則阻尼比為

表3 信號的FFT和HDIDFT計算結果

(25)

將有阻尼固有頻率的值代入式(23),則系統(tǒng)的無阻尼固有頻率為

fn=[1-0.01982]-1/2×28.5=28.506 (Hz)

(26)

以上對阻尼比和固有頻率的計算結果表明,時域方法和本文提出的利用指數(shù)衰減正弦信號頻譜校正算法計算系統(tǒng)固有頻率和阻尼比的方法具有基本相似的計算結果。本文方法還可應用于多模態(tài)的阻尼比的計算中。由于本文方法校正出的固有頻率值和衰減因子相對準確,基于二者計算出的參數(shù)也較時域方法要準確些。

4 結 論

指數(shù)衰減正弦信號廣泛存在于機械系統(tǒng)中,因此對該類信號進行分析和參數(shù)識別具有重要的理論和現(xiàn)實意義。在分析有阻尼自由振動響應方程的基礎上,結合指數(shù)衰減正弦信號插值頻譜校正技術,本文提出一種利用指數(shù)衰減正弦信號頻譜校正算法來計算阻尼比和固有頻率的新方法,并給出了計算公式。該方法利用校正的信號參數(shù)進行計算,從而避免了人工選點造成的主觀誤差,而通過插值方法校正出的固有頻率和衰減因子基本不受采樣率的影響,具有較高的估計精度。為了驗證該方法的性能,使用其對壓電懸臂梁的固有頻率和阻尼比進行計算。與傳統(tǒng)時域方法相比,本文所提方法適應性更好,精度更高,計算過程也更簡單。與傳統(tǒng)的頻率擬合方法相比,本文所提方法也更簡單,計算效率更高。

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(編輯 武紅江)

A New Frequency-Domain Algorithm to Calculate Natural Frequency and Damping Ratio of Mechanical Systems

(School of Mechanical Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

A new algorithm to calculate the system damping ratio and natural frequency using frequency spectrum correction of exponentially decaying sinusoidal signals is proposed to solve the problem that time domain methods are easy to cause subjective errors and there exists the accuracy limit problem in frequency domain methods in traditional methods to calculate natural frequencies and damping ratios of mechanical systems. The interpolation spectrum correcting method based on Hanning-window is used to obtain frequency deviations and damped factors. Then the natural frequency is calculated by combining similarity relations between damping free vibration responses and exponentially decaying sinusoidal signals, and the system damping ratio and damped natural frequency are obtained. The undamped natural frequency is finally calculated. Both a traditional time domain method and the proposed frequency domain method are respectively used to calculate the natural frequency and damping ratio of a piezoelectric cantilever beam. The results show that the proposed algorithm has a higher calculation accuracy and better adaption of signal to noise ratio. Comparisons with the traditional frequency fitting method show that the new algorithm is simpler and its computational efficiency is higher.

damped signal; frequency spectrum correction; natural frequency; damping ratio; piezoelectric cantilever

2015-03-16 。 作者簡介:孟慶虎(1983—),男,博士生;朱永生(通信作者),男,教授,博士生導師。 基金項目:國家自然科學基金資助項目(51275380)。

時間:2015-05-21

10.7652/xjtuxb201508001

TN911.72

A

0253-987X(2015)08-0001-05

網(wǎng)絡出版地址:http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20150521.0901.001.html