本質有窮的亞純函數的Borel例外值

蔡惠京

(中山市廣播電視大學，廣東中山，528402）

本質有窮的亞純函數的Borel例外值

蔡惠京

(中山市廣播電視大學，廣東中山，528402）

對于復平面上的亞純函數，推廣通常的增長級為p階增長級，引進本質有窮的概念，進而研究本質有窮的亞純函數的Borel例外值的存在性。將通常意義下有限級全純函數的Hadamard因子分解定理和關于整函數組的Borel定理推廣到本質有窮的亞純函數上來，在此基礎上，將熟知的有限級亞純函數的Borel例外值定理推廣到本質有窮亞純函數的情形。

亞純函數；增長級；例外值

1 引言與主要結果

定理A 如果f(z)是超越的，則對于任意有限或無限的復數a，方程

f(z) = a

有無窮多個解，至多有兩個a值例外。

人們稱上述定理中的例外值為亞純函數f(z)的Picard值。

為了推廣Borel定理，Nevanlinna引進了亞純函數f(z)的特征函數T(r,f)的定義，在此基礎上給出了亞純函數的增長級的概念，進而給出如下：

則對于任意有限復數a，都有

人們稱定理B中的例外值為亞純函數f(z)的Borel值。

為f(z)的p階增長級，這里

相應地，我們還要推廣定義1為如下的：

據此，本文將定理B推廣為如下：

我們稱上述定理中的例外值為亞純函數f(z)的p階Borel值。

Valiron曾經將Borel值進行了細分，并對于全純函數將Borel定理推廣為[7]：

(3) 如果a是f(z)的一個Borel值，則對于任意復數的單零點序列的收斂指數都等于f(z)的增長級。

Singh和Gopalakrishna將Valiron的結果推廣到了有限級亞純函數的情形[8,9]。本文我們可以進一步將他們的結果推廣到本質有窮的亞純函數的情形。我們將證明如下：

2 幾個引理

為證明我們的結論，需要用到幾個引理。

引理1 （Nevanlinna第一基本定理）設f(z)是亞純函數，則對于任意有限復數a，皆有

由此可知，p階有窮的亞純函數全體關于加法和乘法運算形成一個域。

不難得到：

便得到(2.1)式。

便得到(2.2)式。

引理證畢。

引理證畢。

是全純函數，且成立：

便易得證引理結論。

3 亞純函數的Hadamard因子分解定理

本節，我們借助于引理4，將Hadamard關于整函數的因子分解定理推廣為：

且成立下述結論：

證明：由引理3知，f(z)的零點序列和極點序列都是p階有窮的。用表示f(z)的全部零點序列形成的典型乘積，表示f(z)的全部極點序列形成的典型乘積，再由引理3和引理4，就得到(4.2)式。

因而可得：

至此，定理4得證。

這是我們在文[6]中給出的本質有窮的全純函數的Hadamard因子分解定理。

作為定理4的應用，我們可以給出下列：

這就得到

于是由

定理5得證。

上述定理表明：本質有窮的全純函數關于復合運算是封閉的。

4 全純函數組的Borel定理

Borel曾經對于全純函數組證明了一個在整函數值分布研究中有著極其重要作用的結論[11]：

而由條件(2)，上式右端亞純函數的p階增長級小于左端函數的p階增長級，矛盾！這一矛盾說明假設是不對的，因而定理結論成立。

對(4.4)式兩端求導數，得到：

解微分方程，有：

故得證定理。

作為定理6的一個應用，我們可以將全純函數的Borel例外值定理推廣為關于Borel例外函數的定理。

至多有一個小函數例外。

5 定理1的證明

再結合(5.1)式，有：

以及

由上一段的討論知，這也不可能。

于是定理1得證。

6 定理2的證明

本節，我們來證明定理2。為此，先借助定理4證明如下：

這就完成(1)的證明。

至多有兩個值例外。

這就完成了定理2的證明。

7 定理3的證明

以及

由上式和(7.2)式，便得到：

此即：

這就完成了定理3的證明。

8 導函數的Borel值

Hayman曾經給出關于亞純函數及其導數的Picard值的一個結果[13]：

這就完成了定理9的證明。

【參考文獻】

[1]Nevanlinna R. Le théorème de Picard-Borel et la théorie des fonctions méromorphes[J]. Paris, 1929.

[2]Nevanlinna R. Analytic functions[M]. Berlin: Springer, 1970.

[3]儀洪勛，楊重駿. 亞純函數的唯一性理論[M].北京：科學出版社，1995.

[4]Sato D. On the rate of growth of entire functions of fast growth[J]. Bull. Amer. Math. Soc., 1946, 52: 1046-1052.

[5]蔡惠京.關于高階線性微分方程解的p階增長性[J].廣東廣播電視大學學報，2014，6（23）：99—104.

[6]蔡惠京.本質有窮的全純函數及其導數的Borel例外值[J]. 數學理論與應用,2015,2（35）:1-12.

[7]Valiron G. Lectures on the general theory of integral functions[M].New York: Chelsea Pub. Co., 1964.

[8]Singh S.K., Gopalakrishna H.S. Exceptional values of entire and meromorphic functions[J]. Math. Ann., 1971, 191: 121-142.

[9]Gopalakrishna H.S., Bhoosnuemath S.S. Borel exceptional values of differential polynomials[J]. Rev. Roum. Math. Fures et. Appl. 1978, 721-726.

[10]Pólya G. On integral function of an integral function[J]. J. London Math. Soc., 1926, 112: 12-15.

[11]Borel E. Sur les zéros des fonctions entières[J]. Acta Math.1897, 20: 357-396.

[12]楊樂. 值分布及其新研究[M].北京: 科學出版社, 1982.

[13]Hayman W. Picard values of meromorphic functions and their derivatives[J]. Ann. Of Math., 1959, 70: 9-42.

（責任編輯：楚和）

Borel Exceptional Values of Meromorphic Functions withEssentialFinite

CAI Hui-jing
(Zhongshan Radio & TV University, Zhongshan, Guangdong,China,528402)

In this paper, we fi rst introduce the concept of essential fi nite generalizing the common order of growth to the p-order of growth for meromorphic functions. Then the existence of Borel exceptional values of essential fi nite meromorphic functions and their derivatives are investigated. The Hadamard theorem has been proved for essential finite meromorphic functions. Therefore the famous Borel theorem has been generalized to essential fi nite meromorphic functions too. Finally, the existence theorem of Picard exceptional values of meromorphic functions and their derivatives are generalized to the existence theorem of Borel exceptional values of essential fi nite meromorphic functions and their derivatives.

meromorphic function; order of growth; Borel exceptional value

O174.52

A

2095－932x（2015）05－0100－09

2015－05－05

蔡惠京（1957－），男，湖南攸縣人，中山市廣播電視大學教授。