利用改進牛頓-拉夫遜法的高速圓柱滾子軸承打滑分析

金海善,朱愛斌,陳渭

(西安交通大學現代設計及轉子軸承系統教育部重點實驗室,710049,西安)

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利用改進牛頓-拉夫遜法的高速圓柱滾子軸承打滑分析

金海善,朱愛斌,陳渭

(西安交通大學現代設計及轉子軸承系統教育部重點實驗室,710049,西安)

在考慮油氣阻力和保持架與滾子之間的摩擦力的基礎上,推導了圓柱滾子軸承擬動力學分析模型。提出采用改進的牛頓拉夫遜法求解大規模非線性方程組,可以克服傳統算法對初值要求較高、方程組規模較大時迭代很難收斂的問題,在分析高速滾子軸承打滑時具有較好的效果。通過與已有的分析和實驗結果進行對比后發現:滾動軸承保持架打滑與軸承所受徑向載荷有關,在一定范圍內增大徑向載荷,可明顯抑制打滑現象;在高速滾動軸承非承載區,滾子轉速與保持架轉速相關,且隨保持架轉速的增加而增加,而當保持架轉速接近理論轉速時,滾子打滑程度與徑向載荷無關。

大規模非線性方程組;圓柱滾子軸承;擬動力學;打滑分析

滾動軸承是一種應用極為廣泛的機械零部件。近年來,伴隨著航空航天、核能、裝備制造業的發展,現代工業對滾動軸承的要求越來越高,在轉速較高的情況下,軸承打滑失效已成為滾動軸承的主要失效形式之一。所謂軸承打滑,是指在軸承運轉過程中,由于轉速和載荷等其他因素的作用,軸承零件實際轉速小于理論轉速的一種現象,軸承打滑會使軸承內部摩擦生熱加劇,造成打滑蹭傷,縮短軸承的壽命。隨著軸承工業的發展,國內外各種軸承動力學模型也日趨完善,其中以Gupta提出的完全動力學模型[1]最為突出,然而該模型考慮的因素眾多,結構極為復雜,計算時間較長。Harris提出的擬動力學分析方法[2],在預測滾動軸承打滑方面得到了廣泛的應用,而且分析結果較易得到實驗驗證,例如:Boness首次測得了滾動體的轉速[3];Poplawski試圖給出與Boness實驗相符的計算結果,在他的模型中計入了油氣阻力、保持架偏心旋轉及殘余不平衡量的影響,能夠計算滾子與保持架之間的相互作用力[4];Rumbarger等用該模型分析了由滾子軸承支撐的軸承-轉子系統[5];陳國定等采用多重網格法對油膜牽拽力進行了分析,并且通過實驗證明,Harris的模型經改進之后也適用于高速輕載的狀況[6];胡絢等將Harris模型應用于航空發動機中介軸承滾子的打滑及受力分析[7];陳渭等在Harris模型的基礎上分析了高速軸承保持架渦動對滾子打滑的影響[8]。以上這些研究充分說明,Harris模型具有較大的潛在應用價值。事實上,雖然Harris模型給出了一個看似完美的非線性動力學平衡方程組,但由于該方程組規模較大,如果采用傳統的牛頓-拉夫遜法,即使經對稱簡化之后,迭代仍然很難收斂,因此Harris不得不采用更加簡化的模型,以便取得方程組的收斂解。

本文提出一種改進的牛頓-拉夫遜法,無需對模型進行簡化即可求得方程組的收斂解;在求得各滾動體轉速的基礎上,對高速滾子軸承的打滑狀況進行了計算分析,并與已有的分析和實驗結果進行了對比。

1 理論分析

1.1 軸承零件之間的運動關系

為了分析軸承各零件間的受力情況,有必要先弄清楚它們之間的運動關系。在通常情況下,軸承內圈旋轉、外圈固定,若各零件之間的運動關系是理想的,即不存在相對滑動,則滾子自轉速度ωjm和保持架公轉速度ωcm與內圈轉速ω有如下關系[9]

(1)

(2)

但是在實際工作過程中,保持架和滾子的自轉速度一般會小于理論轉速,從而產生打滑現象,這就需要建立新的運動學模型。以滾子為參照物時[2],滾子與內、外圈滾道之間的相對滑動速度分別為

(3)

(4)

滾子和內、外滾道對潤滑油的卷吸速度分別為

(5)

(6)

式中:dm為節圓直徑;Dw為滾子直徑;ωc為保持架實際工作轉速;ωj為滾子實際工作時的自轉速度。

求得滾子和滾道之間的相對滑動速度和卷吸速度之后,可用Dowson-Higginson彈流潤滑經驗公式求得兩零件表面間的相互作用力。在引入經驗公式之前,需要對速度進行歸一化處理,具體過程詳見文獻[2]。

1.2 力學模型

本文的力學理論模型仍然采用Harris的經典擬動力學模型[2],不同的是本文計入了保持架與滾子間的摩擦力以及油氣阻力對滾子轉速的影響。軸承的載荷分布如圖1所示,圖中Fr為外載荷,Qφj為角度φj處滾子的載荷。由力學平衡條件[10]可得

Fr=Qφ0+2∑Qφjcosφj

(7)

(8)

式中:K為滾子的剛度系數,對于鋼質滾子和滾道,K=1.14×107l8/9,其中l為滾子的長度;δφj為第j個滾子與滾道之間的接觸變形

δφj=(Pd/2+δ0)cosφj-Pd/2

將K和δφj的表達式代入式(7)、式(8)中,即可得到各個滾子與內圈之間的接觸負荷。

根據Qφj是否大于0,將滾子分為承載區和非承載區2種受力情況,分別見圖2、圖3。圖中:Qyij、Qyoj為內、外圈滾道作用在滾子上的法向作用力,其中Qyij=Qφj;Fij、Foj為油膜牽拽力;Qxij、Qxoj為套圈和滾子之間產生的流體動壓作用力的切向分量;Fdj為保持架對滾子的作用力;fdj為保持架與滾子之間的摩擦力;Fω為滾子的離心力;Foa為滾子所受的油氣阻力。對于非承載區,由于滾子受到內圈的油膜牽拽力及摩擦力較小,故假設滾子由保持架驅動,而對于承載區滾子,則假設滾動體驅動保持架旋轉。

圖2 承載區滾子受力

圖3 非承載區滾子受力

對于一個滾子而言,有如下平衡方程:

力平衡

Qyij+Fω-Qyoj-fdj=0

(9)

Fij+Qxij-Qxoj-Foj-Foa±Fdj=0

(10)

式中:Fdj對于承載區滾子取負號,對于非承載區滾子取正號。

力矩平衡

(11)

式中:Jw為滾子繞軸線的轉動慣量。

保持架受力平衡

(12)

對式(9)～式(12)中的各個力進行歸一化[2,11],可以得到如下方程:

滾子受力平衡

(13)

(14)

力矩平衡

(15)

保持架受力平衡

(16)

式(13)～式(15)中

(17)

(18)

(19)

(20)

γ=Dw/dm

1.3 算法說明

由式(15)、式(16)組成的方程組非線性較強,當滾子數量較多時,該非線性方程組的規模較為龐大,采用牛頓-拉夫遜法迭代時收斂較為困難。為了簡化計算,通常采用2種方法:一種是胡絢等提出的方法,將滾動軸承沿受載方向視為對稱的情況,同時假定非承載區滾子受力情況相同,將未知參數的數量減少到只剩(Zl+1)/2+2個(Zl為承載區滾子的數量)[7];另一種是Harris采用的更為簡化的模型,假定承載區各滾子與保持架之間受力大小相同,非承載區各滾子與保持架之間的受力大小也相同,同時假定非承載區滾子以理論速度自轉,即非承載區滾子和滾道之間沒有打滑現象產生,最后僅剩ωc及最大承載滾子轉速ω12個參數[2]。本文認為,實際上不需要進行上述簡化,使用改進的牛頓-拉夫遜法[12]即可對式(15)、式(16)進行分析。將由式(15)、式(16)構成的非線性方程組記為如下的形式

F(X)=0

(21)

其中X=(ωc,ω1,ω2,…,ωz),則傳統牛頓-拉夫遜法的迭代格式為

Xk+1=Xk-J-1(Xk)F(Xk)

(22)

式中:Xk為第k次迭代之后的值;Xk+1為第k+1次迭代之后的值;J(Xk)為第k次迭代時的雅可比矩陣。

式(22)可以寫為如下形式

ΔXk=J-1(Xk)F(Xk)

(23)

參照文獻[12]對牛頓-拉夫遜法進行改進,其一維迭代格式為

(24)

推廣到高維,可以得到

(25)

(26)

式中:λ為迭代修正系數。如果

|F(Xk+1)|>|F(Xk)|

(27)

則λ減半。但是,這種方法的計算量比經典牛頓-拉夫遜法的要大,影響了計算速度,因此只在前幾步使用。改進的牛頓-拉夫遜法降低了初值誤差對計算收斂性產生的影響,同時保留了傳統牛頓-拉夫遜法迭代收斂速度快的優點。

2 結果分析

2.1 保持架打滑分析

軸承打滑是高速滾動軸承的主要破壞形式之一,而評判軸承打滑情況的重要指標是保持架的打滑程度。本文以Harris采用的高速軸承[2]為例進行計算,并與其計算結果和實驗結果進行對比,此外還給出了Harris模型未經簡化的計算結果。具體的軸承參數如下:

滾子數量Z=32;節圓直徑dm=182.88mm;

滾子長度l=20mm;滾子直徑Dw=14mm;

徑向游隙Pd=0.063 5mm;內圈轉速為6 500r/min;潤滑油牌號為MIL-L-7808。

圖4 保持架轉速與徑向載荷的關系

圖4給出的是對原方程組未經簡化、并且考慮油氣阻力和滾子與保持架的摩擦力時,保持架轉速隨載荷的變化情況,從中可以看出,隨著徑向載荷的不斷增大,保持架的轉速也越來越高,這是因為載荷越大,內圈對承載區滾子的摩擦力和油膜牽拽力也越大,相應地通過滾子施加于保持架的作用力就越大,當載荷達到一定值時,保持架打滑率幾乎為0。本文的計算結果和Harris的簡化計算結果差異很小,說明了本文所用方法的正確性。

2.2 滾子打滑分析

由于Harris的簡化模型[2]無法給出各滾子的轉速情況,為了與現有分析結果進行對比,本文采用文獻[7]中使用的航空發動機中介軸承,型號為D1002928NQK,軸承的具體結構參數及所用潤滑油見文獻[14]。軸承外圈固定,內圈轉速為24 873r/min,各滾子的轉速見圖5(滾子的編號規則如圖1所示,最大承載滾子的編號為1,采用逆時針編號)。

圖5 載荷為6 kN時各滾子的轉速

圖6 圖5中本文計算結果的局部放大圖

圖7 滾子與套圈之間的接觸力

圖7中編號為1～3的滾子在載荷為2～6kN的情況下,雖然徑向載荷增加了2倍(可參見文獻[7]中的圖7),但自轉速度變化極小。此現象和分析結果也可從Crecelius的技術報告[15]中得到印證。因此,本文的分析所得到的結果更符合高速重載圓柱滾子軸承的實際情況。

3 結 論

(1)本文提出的改進的牛頓-拉夫遜法克服了傳統算法對初值要求較高、方程組規模較大時迭代很難收斂的問題,可以用來求解大規模非線性方程組,特別是在求解滾動軸承擬動力學平衡方程組時應用效果良好。

(2)滾動軸承保持架打滑與軸承所受徑向載荷有關,在一定范圍內增大徑向載荷可明顯抑制打滑現象。

(3)在高速滾動軸承的非承載區,滾子轉速與保持架轉速相關,隨著保持架轉速增加,滾子轉速也相應增加,而在保持架轉速接近理論轉速時,高速滾動軸承非承載區的滾子轉速與徑向載荷無關。

本文方法在輕載狀況下的應用受到了限制(如圖4中載荷為500N時的情況),主要是由于擬動力學計算中采用了Dowson-Higginson油膜厚度經驗公式,該經驗公式在輕載的狀況下對油膜牽拽力的估算存在較大偏差(Dowson等建議僅當歸一化油膜厚度H<10-5時適用該經驗公式),因此需要引入彈流潤滑理論重新進行分析。

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(編輯 葛趙青)

Skidding Analysis of High-Speed Cylindrical Roller Bearings Using Improved Newton-Raphson Method

JIN Haishan,ZHU Aibin,CHEN Wei

(Key Laboratory of Education Ministry for Modern Design and Rotor-Bearing System, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

Considering the roller pocket friction and churning loss, a roller bearing quasi-dynamics model was established. An improved Newton-Raphson method was proposed to solve the large-scaled nonlinear equations. This method can overcome the difficulty of conventional method in finding an appropriate initial value and accelerating the iteration converge when the nonlinear equation is in a large scale. Compared with the experimental results in a literature, the proposed method gives better results than other methods in analyzing the skidding of high-speed roller bearing. It is found that: 1) the cage skidding is related to the radial load, and in a certain range, increasing the radial load can significantly suppress skidding; 2) the unloaded rollers’ rotational speed is related to the cage speed, and the unloaded rollers’ rotational speed accelerates when the cage speed increases, while the unloaded rollers’ speed is unrelated to the radial load when the cage speed is close to the theoretical speed.

large-scaled nonlinear equations; roller bearing; quasi-dynamics; skidding analysis

2014-04-23。

金海善(1989—),男,碩士生;朱愛斌(通信作者),男,副教授。

國家“973計劃”資助項目(2011CB706601)。

時間:2014-10-23

10.7652/xjtuxb201501022

TH113.2

A

0253-987X(2015)01-0133-06

網絡出版地址:http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20141023.1635.011.html