新的柔性結合部法向接觸剛度和接觸阻尼方程

田紅亮,趙美云,鄭金華,趙春華,趙新澤,方子帆,朱大林

(1.三峽大學機械與動力學院,443002,湖北宜昌;2.三峽大學水電機械設備設計與維護湖北省重點實驗室,443002,湖北宜昌)

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新的柔性結合部法向接觸剛度和接觸阻尼方程

田紅亮1,趙美云2,鄭金華1,趙春華1,趙新澤1,方子帆1,朱大林1

(1.三峽大學機械與動力學院,443002,湖北宜昌;2.三峽大學水電機械設備設計與維護湖北省重點實驗室,443002,湖北宜昌)

以修正分形幾何學理論和赫茲法向接觸力學方程為基礎,推導出了柔性結合部法向接觸剛度與阻尼方程。假設峰元頂端的曲率半徑為變量,提出了一種全新的求導函數而非偏導函數的求解方法,建立了單峰元與平面接觸的法向接觸剛度方程。數值模擬表明:峰元承擔的法向彈性載荷與其頂端的變形量之間符合非線性冪函數凹弧關系;降低表面粗糙度或增加法向接觸載荷都將增大實際接觸面積;當表面粗糙輪廓分形維數在較小范圍內時,實際接觸面積隨著表面粗糙輪廓分形維數的增加而增大,而當表面粗糙輪廓分形維數在較大范圍內時,實際接觸面積隨著表面粗糙輪廓分形維數的增加而變小;降低表面粗糙度或增加表面粗糙輪廓分形維數與法向接觸載荷皆將增加法向接觸剛度;法向接觸阻尼隨著表面粗糙輪廓分形維數的增加先減小后增大;當表面粗糙輪廓分形維數小于臨界值時,法向接觸阻尼隨著分形粗糙度的增大而增大,而當表面粗糙輪廓分形維數超過轉折點時,法向接觸阻尼隨著分形粗糙度的增大而減小;當法向接觸載荷增大時,法向接觸阻尼略微減小。

柔性結合部;法向接觸剛度;法向接觸阻尼;分形幾何學理論

在機械結構中,切削加工后的2個零件或部件之間相互接觸、工作時傳遞載荷的區域通常稱為柔性結合部。一個柔性結合部可含有1個或多個結合面,結合面既能為平面,亦能為曲面。柔性結合部及其性質對整個機床的振動特性有著重要的影響。例如,機床總柔度的40%～60%和總阻尼的90%以上都來源于柔性結合部,因此在機床動態設計中,要建立準確的機床動力學模型就必須考慮柔性結合部的動態特性。一般情況下,柔性結合部的動態特性能夠用柔性結合部的接觸剛度及阻尼來表達。田紅亮等雖然在宏微觀機制上定性或定量地闡述了許多因素對柔性結合部法向接觸剛度[1-8]、切向接觸剛度[9-11]、靜摩擦系數[12-17]、假想材料參數[18-19]、統計理論參數[20]的影響作用,但均未涉及柔性結合部的接觸阻尼。柔性結合部的接觸阻尼和能量耗散直接相關。能量耗散是一個多部件、多層次的系統問題,未來能量耗散指標有可能會成為評價機床產品質量的一個新指標。現有文獻大多僅通過試驗來研究柔性結合部接觸阻尼的影響因素,但關于理論模型方面的分析尚不多見,對柔性結合部的接觸阻尼鮮有確定的公認研究結果。

本文以2個切削加工的粗糙表面相互接觸組成的柔性機械結合部為考察對象,利用赫茲法向接觸力學方程和修訂分形幾何學理論對柔性結合部的法向接觸剛度進行建模分析,進而準確估計柔性結合部的法向接觸阻尼。

1 分形幾何學理論的修訂

在全體實數的定義域內,所有點連續、到處不可微分且具備統計學自相似性的Weierstrass-Mandelbrot分形函數為

(1)

式中:x為輪廓位移坐標;G為分形粗糙度;D為表面粗糙輪廓分形維數;n為頻率指數;n1為最低頻率的初始項;γ為大于1的常數。

由式(1)可得峰元頂端的變形量[21]

(2)

式中:a為峰元接觸點面積,且滿足

(3)

由式(2)可得赫茲峰元頂端的曲率半徑[22]

(4)

可見,式(4)不同于文獻[21]中的R=aD/2/π2GD-1。

峰元發生彈-塑性變形轉化的臨界變形量

(5)

式中:E為復合彈性模量;H為較軟材料的硬度。可見,式(5)不同于文獻[21]中的式(2):δc=(H/2E)2R。

將式(4)代入式(5)得

(6)

可見,式(6)不同于文獻[21]中的式(2):δc=(H/2E)2aD/2/GD-1。

式(2)除以式(6)得

(7)

式中:ac為臨界接觸點面積,并且有

(8)

可見,式(8)不同于文獻[21]中的式(3):ac=G2(2E/H)2/(D-1)。

有高有低的峰元接觸受到其他峰元接觸的影響,因此對于峰元的描述,除半徑外還應有高度參數,如峰高、峰高間距、兩表面間距、峰與表面間的距離[20]。在實際接觸面積的計算中,先接觸峰元的接觸面積隨接觸的繼續發展由小變大,隨后又有新的峰元進入接觸。峰元接觸點面積a的分布密度函數[14]為

(9)

式中:aL為最大接觸點面積。

由式(9)可得柔性結合部的實際接觸總面積[11]

(10)

峰元承受的垂直于柔性結合部的法向彈性載荷

(11)

將式(4)和式(2)代入式(11)得

(12)

可見,式(12)不同于文獻[21]中的式(4):Pe(a)=4π1/2EGD-1a(3-D)/2/3。

峰元承受的垂直于柔性結合部的法向塑性載荷

Pp(a)=Ha

(13)

設aL>ac,則柔性結合部的接觸總載荷

(14)

將式(9)代入式(14)得

P(Ar>Arc)=

(15)

式中為實際臨界接觸面積。

根據式(10)得

(16)

將式(16)代入式(15)得

由式(17)可得歸一化接觸總載荷

(18)

2 柔性結合部的法向接觸剛度

由式(2)得

a=G(1-D)/(1-0.5D)δ1/(1-0.5D)

(19)

將式(19)代入式(12)得

(20)

法向彈性載荷對峰元頂端變形量的一階導函數,即為單峰元與平面接觸的法向接觸剛度

(21)

將式(19)代入式(21)得[23-24]

(22)

由式(22)可得柔性結合部的法向接觸總剛度

(23)

將式(9)代入式(23)得

Kn(Ar>Arc)=

可見,式(24)不同于文獻[21]中的式(8)。

將式(16)代入式(24)得

Kn(Ar>Arc)=

由式(25)可得歸一化接觸總剛度

(26)

3 柔性結合部的法向接觸阻尼

固體受外力作用而變形,在變形過程中外力所做的功將轉變為儲存于固體內的能量,當外力逐漸減小時,變形逐漸恢復,固體又將釋放出儲存的能量而做功。固體在外力作用下因變形而儲存的能量稱為應變能。

由式(4)得

a=πRδ

(27)

將式(27)代入式(13)得

Pp(δ)=πHRδ

(28)

由式(28)可得峰元壓縮時的塑性應變能

(29)

將式(27)代入式(29)得

(30)

將式(2)代入式(30)得

(31)

按照式(31)可得柔性結合部的塑性總應變能

(32)

將式(9)代入式(32)得

(33)

由式(11)可得峰元壓縮時的彈性應變能

(34)

將式(27)代入式(34)得

(35)

將式(2)代入式(35)得

(36)

根據式(36)可得柔性結合部的彈性總應變能

(37)

將式(9)代入式(37)得

We=

從阻尼的產生機理可知,用損耗的振動能量和總的振動能量的比值來作為衡量阻尼的指標是完全符合阻尼物理本質的。能量法能更為直觀和普遍地分析結構的阻尼特性,由定義可得結構阻尼損耗因子的計算公式。本文以塑性應變能的大小為法向阻尼計算的依據。其實,在材料變形過程中,除了塑性變形(主要在法向發生)外,遲滯現象(在法向和切向均存在)、變形過程中的摩擦生熱(僅在切向出現)等也都耗散能量。式(33)除以式(38)可得柔性結合部的結構阻尼損耗因子

將式(16)代入式(39)得

式(40)可改寫為

η=

令粗糙表面所在的基體虛擬材料[21]的質量為m,則柔性結合部的法向接觸阻尼[25]

cn=η(mKn)1/2

(42)

由式(26)得

(43)

將式(43)代入式(42)得

(44)

由式(44)可得歸一化接觸阻尼為

(45)

將式(41)和式(26)代入式(45)得

(46a)

D=1

(46b)

(46c)

4 工程柔性結合部數值仿真與討論

兩配對灰鑄鐵HT250柔性結合部的參數為:較軟材料的硬度H=9 GPa,復合彈性模量E=130 GPa。

4.1 柔性結合部的一次加載過程

當G=1.36×10-11m時,由式(20)表示的峰元法向彈性載荷和峰元頂端變形量之間的關系見圖1。圖1表明,單峰元承擔的法向彈性載荷和單峰元頂端的變形量之間滿足非線性冪函數凹弧關系。

圖1 柔性結合部的一次加載結果

4.2 實際接觸面積的演化規律

圖2給出了實際接觸面積的變化情況,其中圖2a～2c的前提條件都是:柔性結合部在恒定歸一化法向接觸載荷的作用下。從圖2a～2d可以看出,接觸表面越粗糙,實際接觸面積就越小。從圖2a和2b可以看出,當D<1.5時,隨著表面粗糙輪廓分形維數的增加,實際接觸面積增大。從圖2a和2c可以看出,當D>1.5時,隨著表面粗糙輪廓分形維數的增加,實際接觸面積減小。圖2d反映,當法向接觸載荷增大時,實際接觸面積隨之增大。

4.3 法向接觸剛度的演化規律

圖3給出了法向接觸剛度的變化情況。由圖3a和3b可發現,法向接觸剛度隨著表面粗糙輪廓分形維數的增大而不斷增大。圖3a～3c反映,接觸表面越粗糙,法向接觸剛度就越小。文獻[26]為了使懸臂梁模型在測試中盡量避免和其他結構的耦合,設計了一種剛性框架試驗裝置。由圖3c可見,當法向接觸載荷增加時,法向接觸剛度隨之增大,這與文獻[26]的干摩擦結合部試驗數據點及其擬合曲線(如圖3d所示)是一致的。

(a) 表面粗糙輪廓分形維數對實際接觸面積的影響 (b) 分形粗糙度對實際接觸面積的影響 (P*=0.000 11) (P*=0.000 4, D較小)

(c) 分形粗糙度對實際接觸面積的影響 (d) 法向接觸載荷對實際接觸面積的影響 (P*=0.000 009 1, D較大) (D=1.4)圖2 不同參數對實際接觸面積的影響

(a) 表面粗糙輪廓分形維數對法向接觸剛度的影響 (b)分形粗糙度對法向接觸剛度的影響

(c)法向接觸載荷對法向接觸剛度的影響(D=1.4) (d)文獻[26]的法向接觸剛度試驗結果圖3 不同參數對法向接觸剛度的影響

4.4 法向接觸阻尼的演化規律

圖4給出了法向接觸阻尼的變化情況,其中圖4a針對的是一定的實際接觸面積。從圖4a和4b中可看出,法向接觸阻尼隨著表面粗糙輪廓分形維數的增大先減小后增大,最小值位于D=1.3附近。從圖4a～4c中可看出,分形粗糙度對法向接觸阻尼的影響與表面粗糙輪廓分形維數的大小有關,在D=1.55(與文獻[21]略有不同)附近出現拐點,當D<1.55時,法向接觸阻尼隨著分形粗糙度的增大而增大,當表面粗糙輪廓分形維數繼續增大至滿足D>1.55時,呈現出分形粗糙度越大,法向接觸阻尼反而減小的現象。從圖4c中可看出,當法向接觸載荷增大時,法向接觸阻尼呈略微減小的趨勢,這和文獻[26]的干摩擦結合部試驗數據點及其擬合曲線的第二階段(見圖4d)相一致。上述結果表明,文獻[21]的結論“法向載荷對接觸阻尼的影響可忽略不計”并不合理。

(a) 表面粗糙輪廓分形維數對法向接觸阻尼的影響 (b)分形粗糙度對法向接觸阻尼的影響

(c)法向接觸載荷對法向接觸阻尼的影響(D=1.4) (d)文獻[26]的法向接觸阻尼試驗結果圖4 不同參數對法向接觸阻尼的影響

5 結 論

(1)峰元承擔的法向彈性載荷與其頂端的變形量之間符合非線性冪函數凹弧關系。

(2)接觸表面越粗糙,實際接觸面積就越小。當表面粗糙輪廓分形維數在較小范圍內時,隨著表面粗糙輪廓分形維數的增加,實際接觸面積增大;當表面粗糙輪廓分形維數在較大范圍內時,隨著表面粗糙輪廓分形維數的增加,實際接觸面積減小。當法向接觸載荷增大時,實際接觸面積隨之增大。

(3)法向接觸剛度隨著表面粗糙輪廓分形維數的增大而不斷增大。接觸表面越粗糙,法向接觸剛度越小。當法向接觸載荷增加時,法向接觸剛度隨之增大。

(4)法向接觸阻尼隨著表面粗糙輪廓分形維數的增大先減小后增大。分形粗糙度對法向接觸阻尼的影響與表面粗糙輪廓分形維數的大小有關:當表面粗糙輪廓分形維數小于拐點值時,法向接觸阻尼隨著分形粗糙度的增大而增大;當表面粗糙輪廓分形維數超過拐點值時,呈現出分形粗糙度越大,法向接觸阻尼反而減小的現象。當法向接觸載荷增大時,法向接觸阻尼略微減小。

(5)盡管本文對柔性結合部法向接觸剛度與阻尼方程進行了一定研究,但是后續還有大量值得進一步深入研究的內容。首先,可以考慮峰元頂端的曲率半徑為變量,從而推導出峰元頂端曲率半徑與其變形量之間的內在關系;其次,根據峰元頂端曲率半徑與其變形量之間的內在關系,對阻尼方程進行改進。

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(編輯 葛趙青)

New Equations of Normal Contact Stiffness and Damping for Flexible Joint Interface

TIAN Hongliang1,ZHAO Meiyun2,ZHENG Jinhua1,ZHAO Chunhua1, ZHAO Xinze1,FANG Zifan1,ZHU Dalin1

(1. College of Mechanical and Power Engineering, China Three Gorges University, Yichang, Hubei 443002, China; 2. Hubei Key Laboratory of Hydroelectric Machinery Design and Maintenance, China Three Gorges University, Yichang, Hubei 443002, China)

Equations of normal contact stiffness and damping for flexible joint interface were built up following the modified fractal geometry theory and Hertz normal contact mechanics expression. Supposing the curvature radius at the tip of the asperity is a variable, a completely new calculating method of differential function, not partial differentiable function, was established to solve the normal contact stiffness equation when an asperity contacted a plane. The digital simulation reveals that there is a nonlinear power function concave arc relationship between asperity’s normal elastic load and its tip deformation. The real contact area may increase by reducing the surface roughness or increasing the normal contact load. The real contact area increases with the fractal dimension of a surface in the smaller fractal dimension of a surface rough profile, while decreases with the fractal dimension of a surface in the larger fractal dimension of a surface rough profile. The normal contact stiffness will increase by reducing the surface roughness or increasing the fractal dimension of a surface rough profile and the normal contact load. The normal contact damping decreases at first and then increases with the increase of the fractal dimension of a surface rough profile. When the fractal dimension of a surface rough profile is less than the critical value, the normal contact damping increases with the fractal roughness. When the fractal dimension of a surface rough profile exceeds the turning point, the normal contact damping will decrease with the fractal roughness. As the normal contact load increases, the normal contact damping decreases slightly.

flexible joint interface; normal contact stiffness; normal contact damping; fractal geometry theory

2014-06-20。

田紅亮(1973—),男,博士,副教授。

國家自然科學基金資助項目(51275273);三峽大學水電機械設備設計與維護湖北省重點實驗室開放基金資助項目(2012KJX02);三峽大學博士科研啟動基金資助項目(KJ2012B013)。

時間:2014-10-23

10.7652/xjtuxb201501020

TH113.1

A

0253-987X(2015)01-0118-09

網絡出版地址:http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20141023.1634.008.html