雙曲正弦非線性跟蹤微分器設計

卜祥偉,吳曉燕,張蕊,朱付景

(空軍工程大學防空反導學院,710051,西安)

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雙曲正弦非線性跟蹤微分器設計

卜祥偉,吳曉燕,張蕊,朱付景

(空軍工程大學防空反導學院,710051,西安)

針對傳統跟蹤微分器算法復雜、參數整定困難和噪聲抑制能力有限的不足,設計了一種新型雙曲正弦非線性跟蹤微分器(HNTD)。引入終端吸引子函數和雙曲正弦函數構造了HNTD的跟蹤函數,并證明了其全局一致漸近穩定性。通過仿真分析設計參數變化對HNTD頻域特性的影響,為其設計參數的整定提供參考。雙曲正弦函數既能保證HNTD狀態收斂的快速性,又能有效避免平衡點附近的顫振現象;終端吸引子函數則保證了HNTD對噪聲良好的抑制效果。仿真結果表明,HNTD的跟蹤和濾波效果與傳統跟蹤微分器相比,不僅結構形式簡單、設計參數相對較少、整定規則明確,而且在跟蹤精度、響應速度和濾波能力等方面均具有一定的優勢。

非線性跟蹤微分器;終端吸引子函數;雙曲正弦函數;抑制噪聲

微分信號的精確提取對PID控制、反演控制和動態滑模控制等控制方法都有十分重要的意義,且在信號處理和參數估計中也有廣泛應用。文獻[1-3]提出的高階滑模微分器的設計參數選取異常困難,且抖振問題無法解決,由于其在每一層滑模面上均含有輸入信號,因此極易受到噪聲污染。文獻[4-5]雖然提出了一些改進措施,但并無突破性成果。我國韓京清研究員首次提出了跟蹤微分器的概念,并給出了3種具體形式的跟蹤微分器[6],但其跟蹤和微分效果并不理想。文獻[7]提出了一種新型跟蹤微分器,但是跟蹤精度不高,且微分輸出存在抖振。文獻[8]設計了一種高增益跟蹤微分器,但是噪聲抑制能力不強。為了改善微分器性能的不足,文獻[9-12]提出了幾種改進的跟蹤微分器,它們基于一個共同的改進策略:在微分器設計中同時引入非線性環節和線性環節,在狀態遠離平衡點時,非線性環節可以保證微分器收斂的快速性;在狀態接近平衡點時,線性環節可以保證微分器線性無顫振收斂。但是,這樣設計的微分器結構形式過于復雜,待整定參數較多,微分器參數整定規則很難獲取,工程實用性差。文獻[13]設計了一種反正切形式的新型跟蹤微分器,但是設計參數過多,且噪聲抑制能力有限。

基于以上分析,本文設計了一種新型雙曲正弦非線性跟蹤微分器(HNTD)。雙曲正弦函數可以保證HNTD收斂的快速性并能有效消除平衡點附近的輸出顫振,終端吸引子函數使得HNTD對噪聲不敏感。通過仿真分析了設計參數變化對微分器頻域特性的影響,為其設計參數的整定提供了參考。最后進行了實例仿真,并與幾種改進的微分器進行比較來驗證HNTD在跟蹤、微分和濾波性能上的優勢。

1 HNTD設計

定理1 給定如下系統

(1)

如果滿足a1>0,a2>0,b=q/p,q、p為終端吸引子設計參數[4-5],即p>q>0且q、p均為奇數,那么系統(1)在(0,0)全局一致漸近穩定。

雙曲正弦函數sinh(·)變化過程和系統(1)的收斂過程如圖1所示。

(a)變化過程 (b)收斂過程圖1 sinh(·)變化過程和系統收斂過程

由圖1可知:當系統狀態離平衡點較遠時,sinh(·)的非線性特性可以保證系統(1)以較快速度收斂;當系統狀態離平衡點很近時,sinh(·)的線性特性可以保證系統(1)的平滑無抖收斂。因此,采用雙曲正弦函數構造HNTD的跟蹤函數,可以保證HNTD較好的跟蹤、微分和濾波性能。

圖1中的x、sinh(x)、z1(t)、z2(t)等狀態都沒有具體的物理意義,因此沒有具體的物理單位。圖3、圖4中的輸入信號、跟蹤信號和微分信號也都沒有具體的物理單位。

為了證明定理1,先給出如下引理。

引理1[14]考慮時不變系統

(2)

(3)

對W(z1,z2)求時間的全導數并結合式(1)得

(4)

定理2 對于如下系統

(5)

如果滿足R>0,a1>0,a2>0,b=q/p,p>q>0且q、p均為奇數,那么對任意常數T>0、可積函數υ(t),且υ(t)有界,則系統(5)的解x1(t)滿足

(6)

即x1(t)平均收斂于υ(t),x2(t)弱收斂于υ(t)的廣義導數。

為了證明定理2,先給出如下引理。

引理2[6]如果系統

(7)

的解都滿足:y1(t)→0,y2(t)→0(t→∞),則對任意常數T>0和可積函數υ(t),且υ(t)有界,有系統

(8)

由引理2和定理1可知,定理2成立。系統(5)即為本文設計的新型HNTD,HNTD設計形式較簡單,易于工程實現,且僅有R、a1、a2、b共4個設計參數,便于參數整定。利用HNTD可以同時實現對輸入函數υ(t)及其一階導數的有效估計。

2 HNTD參數整定規則

制定較為實用的設計參數整定規則,對于提升HNTD的實用價值和應用范圍很有幫助。系統的開

環頻域特性可以反映其響應速度和噪聲抑制能力等信息,通過掃頻測試[15]可以較精確地獲取HNTD的頻域特性。進行掃頻測試仿真,分別分析設計參數R、a1、a2、b的取值變化對HNTD的頻域特性帶來的影響,可為這些設計參數的整定提供參考。設計參數的具體取值見表1,對應的HNTD頻域特性如圖2所示。通過分析圖2并結合式(5)可知:增大R可以加快HNTD響應速度并提高跟蹤和微分精度,但會降低噪聲抑制能力,過大的R會導致跟蹤和微分輸出顫振;a1與R效果類似,其對跟蹤效果影響較大,增大可以加快跟蹤速度和提高跟蹤精度,但過大會導致跟蹤輸出顫振;a2對微分效果影響較大,增大可以提高噪聲抑制能力,但會降低響應速度;增大b可以更好地抑制噪聲,但過大會增大跟蹤誤差。因此,對HNTD進行參數整定時,首先取b為較小值,其次選擇合適的R,然后微調a1、a2來調整跟蹤和微分效果,最后通過調整b獲取理想的跟蹤、微分和噪聲抑制效果。

(a)R變化對HNTD頻域特性的影響

(b)a1變化對HNTD頻域特性的影響

(c)a2變化對HNTD頻域特性的影響

(d)b變化對HNTD頻域特性的影響

可變參數取值其他參數取值R=5，10，15，20，25，30a1=15a2=4b=09a1=1，3，5，10，15，20R=20a2=4b=09a2=1，3，5，10，15，20R=20a1=15b=09b=005，01，03，05，07，09R=20a1=15a2=4

3 仿真驗證

(1)對HNTD的跟蹤和微分性能進行仿真驗證,并與文獻[6]中改進的高穩快速非線性-線性跟蹤微分器(MTD)、文獻[12]中改進的跟蹤微分器(ITD)和文獻[13]中的反正切形式跟蹤微分器(ATD)進行仿真對比。輸入信號為受到方差為0.1的隨機噪聲污染的方波信號,仿真步長取0.001 s。4種跟蹤微分器設計參數取值見表2。由表2可知,本文提出的HNTD在4種跟蹤微分器中設計參數相對較少,仿真結果如圖3所示。由圖3b可知,4種跟蹤微分器的跟蹤輸出x1都較平滑,跟蹤誤差都能最終趨于0,但是HNTD跟蹤速度最快,且無超調,MTD跟蹤速度次之,ITD跟蹤速度最慢,ATD雖有較快的跟蹤速度,但存在較大的超調量。由圖3c可知,HNTD微分輸出x2不僅響應速度最快,而且平滑無超調,表現出對噪聲良好的抑制能力;MTD也有較快的響應速度,但噪聲抑制能力差,微分輸出曲線存在顫振;ATD、ITD不僅微分響應速度慢,且都存在顯著的輸出顫振。仿真結果充分表明,在4種改進的跟蹤微分器中,HNTD在響應速度、跟蹤精度和噪聲抑制能力方面較其他3種微分器具有一定的優勢。

表2 4種跟蹤微分器設計參數取值

(2)跟蹤受到方差為0.1的隨機噪聲污染的正弦信號sin(2πt)。對比HNTD、MTD和ATD的跟蹤效果,仿真步長取0.001 s。3種跟蹤微分器設計參數的取值見表3。仿真結果如圖4所示,可知HNTD不僅跟蹤輸出x1精度高、速度快,而且微分輸出x2較平滑、超調量小。綜合對比響應速度、濾波能力和跟蹤精度等性能,HNTD較MTD、ATD有一定的優勢。

(a)受到隨機噪聲污染的方波輸入信號

(b)跟蹤效果比較

(c)微分效果比較圖3 4種跟蹤微分器對方波信號的跟蹤效果

跟蹤微分器設計參數取值HNTDR=20，a1=10，a2=1，b=09MTDR=20，a=5，b=5，m=3ATDR=20，a1=5，a2=4，f1=f2=2

4 結 論

基于雙曲正弦函數和終端吸引子函數設計了一種新型HNTD。當狀態遠離平衡點時雙曲正弦函數表現為非線性特性,當狀態接近平衡點時表現為線性特性。利用這一特性保證了HNTD收斂的快速性和平滑輸出,并展現了良好的濾波能力。終端吸引子函數進一步增強了HNTD對噪聲的抑制能力。對參數整定規則的明確,增強了HNTD的工程實用性。仿真結果表明,HNTD不僅結構形式簡單、設計參數相對較少、整定規則明確,而且在跟蹤精度、響應速度和濾波能力等方面較幾種改進的跟蹤微分器均有一定的優勢。

(a)受到隨機噪聲污染的正弦輸入信號

(b)跟蹤效果比較

(c)微分效果比較圖4 3種跟蹤微分器對正弦信號的跟蹤效果

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(編輯 趙煒)

Design of A Hyperbolic-Sine-Based Nonlinear Tracking Differentiator

BU Xiangwei,WU Xiaoyan,ZHANG Rui,ZHU Fujing

(Air and Missile Defense College, Air Force Engineering University, Xi’an 710051, China)

A new hyperbolic-sine-based nonlinear tracking differentiator (HNTD) is presented to improve the performance of traditional tracking differentiators that are complicated, difficult to regulate parameters, and hard to restrain noises. The tracking function of HNTD is constructed by introducing a terminal attractor function and a hyperbolic sine function, and its global uniform asymptotical stability is proved. Then, the parameter regulating principle is obtained by analyzing the effects of parameters changes on frequency domain characteristics. The use of the hyperbolic sine function ensures the convergence speed of HNTD’s states and eliminates chattering near the trimmed point. An excellent noise constraint performance is achieved by using the terminal attractor function. Simulation results show that the parameters of HNTD are easy to regulate, and the performance of HNTD is better than that of the traditional tracking differentiators in tracking speed and filtering.

nonlinear tracking differentiator; terminal attractor function; hyperbolic sine function; noise restraint

2014-04-17。

卜祥偉(1987—),男,博士生;吳曉燕(通信作者),女,教授,博士生導師。

航空科學基金資助項目(20130196004);陜西省自然科學基礎研究計劃資助項目(2012JM8020)。

時間:2014-10-23

10.7652/xjtuxb201501018

TP273

A

0253-987X(2015)01-0107-05

網絡出版地址:http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20141023.1634.001.html