基于粒計(jì)算的k值選取及其應(yīng)用

卞彩峰，邱建林，陳燕云，陸鵬程，陳璐璐

（1.南通大學(xué) 電子信息學(xué)院，江蘇 南通226019；2.南通大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇 南通226019；3.南通大學(xué) 工程訓(xùn)練中心，江蘇 南通226019）

0 引 言

k－means算法存在聚類(lèi)數(shù)目難以確定，選取初始聚類(lèi)中心隨機(jī)性比較大等問(wèn)題。Al－Shboul等［1］通過(guò)結(jié)合遺傳算法選擇最優(yōu)的初始聚類(lèi)中心，提高了聚類(lèi)的準(zhǔn)確性；文獻(xiàn)［2，3］為了提高k－means算法的準(zhǔn)確性和有效性，提出了結(jié)合系統(tǒng)的方法來(lái)選擇初始聚類(lèi)中心，但是沒(méi)有考慮到k值選取的問(wèn)題；文獻(xiàn) ［4，5］以BWP為聚類(lèi)有效性評(píng)價(jià)指標(biāo)確定最佳聚類(lèi)數(shù)目，但時(shí)間復(fù)雜度較高且會(huì)受到噪音點(diǎn)的干擾；周濤［6］提出了一種自適應(yīng)粗糙k－means算法，降低了對(duì)噪聲的敏感度；Dutta等［7］通過(guò)自動(dòng)選取k值與人為經(jīng)驗(yàn)結(jié)合來(lái)確定k－means算法中的參數(shù)。聚類(lèi)是在一個(gè)統(tǒng)一的粒度下分析問(wèn)題，是基于相似度函數(shù)需找一個(gè)最優(yōu)的粒度［8］。本文通過(guò)引入粒計(jì)算改進(jìn)類(lèi)間距和類(lèi)內(nèi)距離來(lái)均衡聚類(lèi)有效性函數(shù)，從而選取合適的k值，并通過(guò)UCI機(jī)器學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)庫(kù)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)集驗(yàn)證算法的正確性和可行性。將改進(jìn)的算法應(yīng)用于數(shù)字農(nóng)業(yè)玉米良種選育中，對(duì)玉米品種進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)，從而選出玉米良種。

1 相關(guān)知識(shí)

1.1 k－means聚類(lèi)算法簡(jiǎn)介

k－means算法是由MacQueen提出的，自提出以來(lái)，引起了國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者的關(guān)注。它基于 “物以類(lèi)聚，人以群分”的思想，是一種常用的劃分聚類(lèi)算法，通過(guò)將聚類(lèi)對(duì)象劃分到距離最近的均值中心所在的簇，然后不斷更新均值中心的方法，得到聚類(lèi)結(jié)果。聚類(lèi)結(jié)果滿(mǎn)足同一個(gè)簇中的對(duì)象之間具有較高的相似度，而不同簇中的對(duì)象的差異度較高。k－means算法的基本思想就是隨機(jī)選取k個(gè)對(duì)象作為初始聚類(lèi)中心 ｛c1，c2，…，ck｝，然后將剩余的對(duì)象按照某種相似性度量分配給相應(yīng)最近的簇中心Ci，得到k個(gè)簇C1，C2，…，Ck，再計(jì)算每個(gè)簇的中心作為新的聚類(lèi)中心，重復(fù)此過(guò)程，直到簇中心不再變化。

1.2 粒計(jì)算相關(guān)理論

設(shè)K ＝（U，R）是一個(gè)知識(shí)庫(kù)，P ∈R 為論域U 上的等價(jià)關(guān)系，稱(chēng)為知識(shí)＝｛X1，X2，…，Xn｝；知識(shí)P ∈R 的粒度，記為

定義1 粒子密度。設(shè)U 為論域，知識(shí)P 在U 上的劃分為｛X1，X2，…，Xn｝，則粒子X(jué)i的密度定義為［9］

定義2 屬性的分辨能力。樣本集U 根據(jù)第l個(gè)屬性值al劃分為｛X1，X2，…，Xn｝，則屬性l的分辨能力［10］為

式中：U—— 論域，n——?jiǎng)澐謮K數(shù)；ωl值越大，表明屬性l的分辨能力越弱，反之越強(qiáng)。

定義3 樣本相似度。設(shè)K ＝（U，R）為聚類(lèi)空間，U 為論域，R 是屬性集合，樣本相似度函數(shù)定義為

樣本個(gè)數(shù)為n，則平均相似度可表示為

1.3 DTOPSIS綜合評(píng)價(jià)法

DTOPSIS 法［10］（dynamic technique for order prefe－rence by similarity to ideal solution）即逼近理想解的排序法，它借助于多目標(biāo)決策問(wèn)題的 “理想解”和 “負(fù)理想解”進(jìn)行排序，將每個(gè)指標(biāo)都化為可比較的規(guī)范化指標(biāo)，找出每個(gè)規(guī)范化指標(biāo)的 “理想解”和 “負(fù)理想解”，因其能詳細(xì)比較各指標(biāo)間的差異而被廣泛應(yīng)用于評(píng)價(jià)問(wèn)題中。其步驟為：

（1）將所需評(píng)價(jià)的樣本指標(biāo)建立為評(píng)價(jià)矩陣

（2）進(jìn)行無(wú)量綱化處理

（3）建立加權(quán)的規(guī)范化決策矩陣R，其中元素Rij＝WjZij，Wj是第j個(gè)指標(biāo)的權(quán)重；

（4）求出品種形狀的 “理想解”和 “負(fù)理想解”

（5）得到各品種與理想解和負(fù)理想解的距離

2 基于粒計(jì)算的k－means算法的改進(jìn)

k－means算法的改進(jìn)主要有以下幾個(gè)方面：一是在聚類(lèi)中心的選取上進(jìn)行改進(jìn)；二是對(duì)k 值的選取上進(jìn)行研究；三是在相似度度量方法和適應(yīng)度函數(shù)上的改進(jìn)；四是其它算法結(jié)合。

本文通過(guò)將粒計(jì)算應(yīng)用到k－means算法中，選擇密度最大的粗糙粒子的均值作為聚類(lèi)的初始中心點(diǎn)；將屬性權(quán)重與屬性分辨能力結(jié)合，計(jì)算聚類(lèi)后類(lèi)間距和類(lèi)內(nèi)距，準(zhǔn)則函數(shù)是由類(lèi)內(nèi)距離和類(lèi)間距離共同作用，本文采用的優(yōu)化準(zhǔn)則函數(shù)能有效地均衡類(lèi)內(nèi)距離和類(lèi)間距離的作用。當(dāng)聚類(lèi)函數(shù)有效性值最高時(shí)，表明聚類(lèi)的結(jié)果最好。

2.1 準(zhǔn)則函數(shù)

（1）類(lèi)內(nèi)距離。根據(jù)聚類(lèi)目的，通過(guò)類(lèi)內(nèi)距離來(lái)表示樣本對(duì)象間的相似性，平均類(lèi)內(nèi)距離越小則類(lèi)內(nèi)樣本相似性越高。其定義式為

其中，考慮到每個(gè)屬性對(duì)于決策的重要度不同，采用屬性分辨能力和屬性權(quán)重對(duì)數(shù)據(jù)共同影響 （ω ＞0）。

（2）類(lèi)間距離。用來(lái)評(píng)價(jià)各個(gè)類(lèi)之間的差異性，隨著k增加，類(lèi)間差異程度增加。為了使類(lèi)間距離和類(lèi)內(nèi)距離達(dá)到一個(gè)平衡狀態(tài)，為類(lèi)間分離程度設(shè)置參數(shù)w

式中：Ci，Cj——第i類(lèi)和第j類(lèi)的聚類(lèi)中心——聚類(lèi)中心之間距離的個(gè)數(shù)。

（3）準(zhǔn)則函數(shù)。聚類(lèi)的目的是盡量縮減類(lèi)內(nèi)距離，增加類(lèi)間距離。本文的聚類(lèi)有效性函數(shù)綜合考慮了類(lèi)內(nèi)距離，類(lèi)間距離以及k 值的作用。當(dāng)有效性函數(shù)值達(dá)到最大時(shí)，得到最優(yōu)的聚類(lèi)結(jié)果。在保證聚類(lèi)結(jié)果最優(yōu)的情況下，k值選取越小越好。定義準(zhǔn)則函數(shù)為

2.2 算法描述

輸入：包含n個(gè)樣本對(duì)象的數(shù)據(jù)集。

輸出：聚類(lèi)結(jié)果。

步驟1 樣本歸一化處理，并計(jì)算每個(gè)屬性的分辨能力ωl和屬性權(quán)重w；

步驟2 根據(jù)樣本之間的相似函數(shù)S，構(gòu)造樣本間的不可辨識(shí)矩陣M，并歸類(lèi)得到粗粒度集｛X1，X2，…，Xn｝；

步驟3 按式 （2）計(jì)算每個(gè)粒子的密度，選取密度值最大的前k個(gè)粒子的均值作為聚類(lèi)中心；

步驟4 進(jìn)行k－means聚類(lèi)，并更新聚類(lèi)中心；

步驟5 根據(jù)式 （12）計(jì)算聚類(lèi)有效性函數(shù)值f，f 取值最大時(shí)對(duì)應(yīng)的k值即為最佳聚類(lèi)數(shù)k；

2.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為測(cè)試算法的正確性及可行性，在UCI機(jī)器學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)庫(kù)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)集上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)環(huán)境為Windows 7操作系統(tǒng)下MATLAB 2010b 編程環(huán)境，硬件條件為Intel（R）Core（TM）i3－3220CPU＠3.30GHz，2GB內(nèi)存。

2.3.1 算法的正確性驗(yàn)證

通常聚類(lèi)數(shù)目k的最小值為2，對(duì)于k的最大值的選取，楊善林研究了k值最優(yōu)解kopt及其上界kmax的條件，驗(yàn)證了經(jīng)驗(yàn)規(guī)則kmax≤的合理性，n為樣本數(shù)目。Frey等提出了AP算法來(lái)確定最大的k值，該算法能夠快速有效的縮小kmax。由AP算法可知，iris數(shù)據(jù)庫(kù)的最高聚類(lèi)數(shù)為6；wine數(shù)據(jù)庫(kù)的最高聚類(lèi)數(shù)為9，而pima－indians－diabetes的最好聚類(lèi)數(shù)為8。經(jīng)MATLAB運(yùn)算對(duì)于不同k值情況下有效性函數(shù)值，如圖1～圖3所示。

圖1 iris數(shù)據(jù)集

圖2 wine數(shù)據(jù)集

圖3 pima－indians－dibetes數(shù)據(jù)集

由圖1，對(duì)于iris數(shù)據(jù)集，當(dāng)k＝3時(shí)，聚類(lèi)的有效性函數(shù)最大，此時(shí)聚類(lèi)效果最優(yōu)，與UCI數(shù)據(jù)庫(kù)中描述分為三類(lèi)相符；由圖2 可知，對(duì)于wine數(shù)據(jù)，當(dāng)k＝3 時(shí)，聚類(lèi)的有效性函數(shù)最大，此時(shí)聚類(lèi)效果最優(yōu)，與UCI數(shù)據(jù)庫(kù)中描述分為三類(lèi)相符；由圖3 可知，對(duì)于pima－indians－dibetes數(shù)據(jù)，當(dāng)k＝2時(shí)，聚類(lèi)的有效性函數(shù)最大，此時(shí)聚類(lèi)效果最優(yōu)，與UCI數(shù)據(jù)庫(kù)中描述分為三類(lèi)相符。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，算法能夠保證k值選取的正確性。

2.3.2 算法的可行性驗(yàn)證

將改進(jìn)的聚類(lèi)有效性指標(biāo)、DB指標(biāo)、CH 指標(biāo)、Dunn指標(biāo)、Sil指標(biāo)、BWP指標(biāo)都應(yīng)用于上述數(shù)據(jù)集，從而比較各聚類(lèi)有效性指標(biāo)的性能。

由表1可以看出，改進(jìn)的聚類(lèi)有效性指標(biāo)確定最佳聚類(lèi)數(shù)的準(zhǔn)確率比其它幾種聚類(lèi)有效性指標(biāo)都高。因此可以驗(yàn)證改進(jìn)的聚類(lèi)有效性指標(biāo)的可行性。

3 基于粒計(jì)算的k－means算法的應(yīng)用

本文選取南通市農(nóng)業(yè)信息組2006 年玉米數(shù)據(jù)集 （Y組）為樣本集 （見(jiàn)表2）。該玉米信息表由多張表構(gòu)成，涉及到的屬性多達(dá)二十幾種，分別為全生育期、株高、穗高、雙穗率、穗長(zhǎng)、穗粗、穗形、穗行數(shù)、行粒數(shù)等等。

表1 聚類(lèi)結(jié)果比較

表2 原始玉米樣本集 （Y 組）

3.1 玉米樣本集S的k值選取

取玉米子類(lèi)數(shù)據(jù)進(jìn)行屬性約簡(jiǎn)，得到約簡(jiǎn)后的屬性為｛全生育期，穗高，穗粗，行粒數(shù)，千粒重，出籽率，小區(qū)產(chǎn)量｝，即可得約簡(jiǎn)后的數(shù)據(jù)集見(jiàn)表3。

計(jì)算約簡(jiǎn)后數(shù)據(jù)集的屬性分辨能力和初始聚類(lèi)中心點(diǎn)，然后進(jìn)行k聚類(lèi)。由于樣本個(gè)數(shù)為51，k值的選取為2～7。經(jīng)MATLAB運(yùn)算，可得數(shù)值見(jiàn)表4。

根據(jù)有效性函數(shù)得出最佳k值為3，即kopt＝3。算法運(yùn)行每次會(huì)有些許差別，對(duì)整體聚類(lèi)效果影響不大，聚類(lèi)結(jié)果如下：

第一類(lèi)：Y1，Y30；

第二類(lèi)：Y3，Y5，Y6，Y7，Y9，Y11，Y12，Y15，Y17，Y18，Y19，Y20，Y21，Y25，Y33，Y34，Y38，Y40，Y41，Y42，Y45，Y49，Y50，Y51；

第三類(lèi)：Y2，Y4，Y8，Y10，Y13，Y14，Y16，Y22，Y23，Y24，Y26，Y27，Y28，Y29，Y31，Y32， Y35，Y36，Y37，Y39，Y43，Y44，Y46，Y47，Y48。

由原始數(shù)據(jù)分析可知，第一類(lèi)中兩個(gè)樣本中Y1穗高和千粒重特別低，Y30的株高和產(chǎn)量都很低，可作為異常點(diǎn)刪除。第二類(lèi)的沒(méi)有明顯的優(yōu)勢(shì)特征，品種一般。第三類(lèi)的特點(diǎn)較為突出，株高、穗高、千粒重、穗粗、區(qū)產(chǎn)量都很高，符合我們所需要的良種要求，適合用于育種。由以上分析可知第三類(lèi)為玉米良種集。

表3 經(jīng)屬性約簡(jiǎn)后的玉米樣本集 （Y 組）

3.2 玉米種子的綜合評(píng)價(jià)

對(duì)聚類(lèi)后的良種集中的玉米種子進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)，對(duì)其進(jìn)行排名。采用DTOPSIS法對(duì)玉米種子進(jìn)行排序，具體步驟前文已經(jīng)介紹，不再贅述。經(jīng)計(jì)算，第三類(lèi)中玉米良種樣本的相對(duì)接近度 （保留四位有效數(shù)值）。

表4 不同k值下的各項(xiàng)指標(biāo)的數(shù)值

將相對(duì)接近度按大小進(jìn)行排序，可得精英玉米良種為Y47，Y8，Y22，Y36，Y35。這一實(shí)驗(yàn)結(jié)果與南通市農(nóng)業(yè)信息組給出的玉米排名吻合。

為確保我們所得的玉米良種的質(zhì)量，對(duì)玉米樣本集進(jìn)行了k－means算法聚類(lèi)，這樣使得優(yōu)良品種聚集在一起，減少了盲目選種的復(fù)雜性和工作量。綜合得分比較高的玉米品種作為最后的玉米良種，減少了誤把劣種作良種的可能，使得到的玉米良種更加優(yōu)良。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文將粒度概念引入到準(zhǔn)則函數(shù)中，綜合考慮類(lèi)間距和類(lèi)內(nèi)距，用改進(jìn)后的準(zhǔn)則函數(shù)來(lái)判斷聚類(lèi)有效性函數(shù)選取最佳的聚類(lèi)數(shù)目。采用UCI國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)集驗(yàn)證了算法的正確性和可行性，解決了k－均值聚類(lèi)算法需要事先給定合適k值的問(wèn)題。最后將其應(yīng)用的實(shí)際的玉米良種選育中，得出所需要的玉米良種。為了提高計(jì)算效率，還可以對(duì)初始聚類(lèi)中心進(jìn)行優(yōu)化，提高算法性能，減少算法的運(yùn)行時(shí)間，這方面有待進(jìn)一步研究。

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