利用路徑提升推廣范數(shù)強(qiáng)制定理

夏 云

（連云港財(cái)經(jīng)高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校，江蘇 連云港222003）

設(shè)f 是空間X,Y 之間的可微映射，x0∈X 若在處存在x0的開鄰域U 和f（x0）的開鄰域V，使得f（U）=V 且f／U：U→V 是全局微分同胚，則稱f 是局部微分同胚.全局微分同胚是指f 是1-1 的且其逆映射也是可微的。 但是f在每一點(diǎn)處都是局部微分同胚并不能保證單射或滿射，更不用說全局微分同胚，一個(gè)典型的例子就是映射：

非線性分析中一個(gè)重要的問題就是尋找保證局部微分同胚成為全局微分同胚的條件，利用路徑提升為工具，我們?cè)诎湍煤湛臻g探討了這個(gè)問題，其基本前提條件是巴拿赫空間X,Y 之間的一個(gè)C1映射f:X→Y：f＇（x）∈Isom（X，Y），∨x∈X.

由反函數(shù)定理可知f 在每一點(diǎn)都是局部微分同胚.

設(shè)X、Y 是Banach 空間， 非線性映射,fDcX→Y 其中D 是X 中開集，考慮非線性方程f（x）＝0，連續(xù)性的思想就是根據(jù)考慮的問題引入?yún)?shù)t 構(gòu)造一簇連續(xù)映射H(x,t)，使得t 為某一特定值，例如t=1 時(shí)，H(x,t)就是映射f（x）＝0，而當(dāng)t=0 時(shí)，H(x,t)就是映射f0（x），并使f0（x）＝0 的解x0已知或容易求出。于是f（x）＝0 的問題就轉(zhuǎn)化為求參數(shù)方程H（x，t）＝0 的解x（t），這里x：〔0.1〕→X 依賴于t，它表示X 中的一條細(xì)線， 其中一端表示給定的點(diǎn)x0＝x（0），而另一端點(diǎn)是f（x）＝0 的解x＊＝x（1），這種方法一般稱作路徑提升，下面給出一些相關(guān)的概念定義如下：

定義1 (范數(shù)強(qiáng)制）： 映射F：DCR→Rn在一個(gè)開集D0CD 上是范數(shù)強(qiáng)制的，如果對(duì)任何r＞0，存在一個(gè)閉的有界集合DrCD0，使得對(duì)所有x∈D0：Dr‖F(xiàn)X‖＞r。

如何保證H（x，t）＝0 存在唯一性的連續(xù)解曲線x（t），就成了連續(xù)法可行性的關(guān)鍵。 范數(shù)強(qiáng)制性定理給出了這個(gè)問題的一個(gè)解答。

引理2：假定F:Rn→Rn在整個(gè)上是連續(xù)可微的，又設(shè)F'（x）對(duì)所有x∈Rn 是非奇異的.那么，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，F(xiàn) 是將Rn映上Rn的同胚。

定理3（ 范數(shù)強(qiáng)制性定理）：設(shè)D 是開的和道路連通的，又假定 在D 的每一點(diǎn)是一個(gè)局部同胚。 那么，當(dāng)且僅當(dāng)F 在D 上是范數(shù)強(qiáng)制的時(shí)，它是一個(gè)將D映上Rn的同胚。

引理4： 假設(shè) 在開集D 的每一點(diǎn)是一個(gè)局部同胚，如果對(duì)所有線性函數(shù)q（t）＝（1－t）y0＋ty1，t∈[0.1]，其中y0、y1∈R 是任意的，F(xiàn) 具有延拓性，那么，F(xiàn)D=Rn。

筆者在參考文獻(xiàn)1 中曾對(duì)范數(shù)強(qiáng)制定理做過推廣，并對(duì)推廣定理的實(shí)際應(yīng)用作了簡單的探討，推廣定理表述如下：

定理5（推廣定理）：假定F：Rn→Rn在Rn上是連續(xù)可微的，又設(shè)對(duì)所有x∈Rn，.那么，‖F(xiàn)＇（x）－1‖＜r＜＋∞那么，F(xiàn) 是一個(gè)將Rn映上Rn的同胚.

由于全局性的同胚條件要求較高，一般很難實(shí)現(xiàn)，對(duì)于一些條件比較壞的方程， 我們可以在小范圍局部同胚的條件下實(shí)現(xiàn)推廣定理的應(yīng)用，即：定理6（應(yīng)用定理）：設(shè)F：DCRn→Rn在D 上連續(xù)可微，又假定有一個(gè)開球S＝S（x0，r）cD，使得對(duì)x∈S 及r＞r‖F(xiàn)x0‖，有‖F(xiàn)＇（x）－1‖＜r.那么，F(xiàn)x＝0 在S 內(nèi)有解。

本文在以上內(nèi)容的基礎(chǔ)上， 利用路徑提升吸引盆的方法，對(duì)范數(shù)強(qiáng)制定理再次進(jìn)行推廣，首先假設(shè)X,Y 是巴拿赫空間，D 是一個(gè)連通開集，且Φ≠D∈X,f:D→Y 是一個(gè)局部微分同胚的C1映射.為了方便證明結(jié)論，我們

再給出幾個(gè)引理.

引理7：假設(shè)x0∈D，那么對(duì)于任意x∈D，路徑提升問題

存在唯一的定義在最大開區(qū)間Ix=（tx－，tx＋），－∞＜tx－＜0＜＋∞的連續(xù)解t→rx（t）.并且集合是中的開集，映射是連續(xù)映射且具有性質(zhì)

定義8 在引理7 的假設(shè)條件下，的吸應(yīng)盆是指集合

A＝｛x∈D：tx＋＝＋∞｝.

引理9：在引理7 的假設(shè)條件下，的吸應(yīng)盆是X 中的開集，且：

（1）f 在A 上的限制f｜A 是1-1 映射；

（2）f 是以y0：＝f（x0）為中心的星狀形態(tài)；

（3）A 是包含x0且具有性質(zhì)（1）和（2）的D 中的最大的連通開子集.

定義10 （L 條件） 連續(xù)映射f：D∩X→Y 滿足 （L 條件），是指對(duì)任意的連續(xù)函數(shù)q：［0.1］→D（其中q（0）∩f（D））和每一個(gè)x0∩f←（q（0）），都存在一個(gè)連續(xù)函數(shù)，p：［0，b］→D 其中p（0）＝x0，使得f（p（t））＝q（t），0＜t＜b，且存在一個(gè)序列，當(dāng)時(shí)，有 存在且在D 中.

現(xiàn)在考慮柯西問題

它等價(jià)于

L 條件則可以替換為“x（t）定義在［0，＋∞］區(qū)間上”.x0的吸引盆A 是指所有定義在［0，＋∞］區(qū)間上的x（t）所對(duì)應(yīng)的x 的集合，也就是當(dāng)t→＋∞時(shí)，x 點(diǎn)會(huì)沿著x（t）被吸引到x0點(diǎn).那么f 在A 上的限制f｜A是1-1 的，局部微分同胚轉(zhuǎn)化為全局微分同胚的條件則是當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)所有的x∈D，x（t）定義在R 區(qū)間上.

引理11 假設(shè)X,Y 是巴拿赫空間，D 是一個(gè)連通開集且Φ≠X，f∶D→Y 是一個(gè)局部微分同胚的C1映射.那么f 是到Y(jié) 上的全局微分同胚當(dāng)且僅當(dāng)rx（t）對(duì)所有的x∈D 都定義在R 上.

定理12 在引理11 的假設(shè)條件下，f 是到Y(jié) 上的全局微分同胚當(dāng)且僅當(dāng)rx （t） 對(duì)所有的x∈A 都定義在R上，也就是說：rx（t）也可以延伸到－∞.

證明 首先假設(shè)對(duì)所有的x∈Arx（t）都定義在R 上.若存在x1∈D 的rx1（t）不是都定義在R 上，那么令y1：＝f（x1），則有ε＞0，使得y0＋ε（y1－y0）∈f（A）.又因?yàn)閒 在A 上是全局微分同胚，設(shè)x＝f｜A（y0＋ε（y1－y0））－1，則

于是有rx（lnε）＝rx1（0），從(1)式，可以得到rx1（t）也是定義在R 上的.

引理13 設(shè)X 是巴拿赫空間，a，b∈R，P：[a,b]→X 是[a,b]上的C1映射，那么‖P（t）‖幾乎處處具有導(dǎo)數(shù)‖P（t）‖＇且對(duì)a＜t＜b｜‖＇｜＜‖p＇（t）‖.

證明因?yàn)楹瘮?shù)x→‖x‖是Lipschitz 連續(xù)且P （t）∈C1［a，b］，所以t→‖P（t）‖局部絕對(duì)連續(xù)且?guī)缀跆幪幘哂袑?dǎo)數(shù)，并且

推廣定理： 假設(shè)X,Y 是巴拿赫空間，，f∈C1（X，Y），f＇（x）∈lsnm（X，Y），x∈X.f 從X 到Y(jié) 上的全局微分同胚的條件是存在一個(gè)連續(xù)遞增的函數(shù)ω∶R+→R+/0,使得

對(duì)于是上述條件的特例.

證明 對(duì)于x∈X 我們考慮柯西問題那么解x（t）就是rx（t）并且f（rx（t））－f（x0）＝e－t（f（x））－f（x0））.

下面證明在給定條件下，rx（t）對(duì)每一個(gè)都定義在R上.用反證法假設(shè)rx（t）定義在（a，＋∞）且－∞＜a＜0，，從(3)式可知

對(duì)于推廣定理的一些相關(guān)推論及應(yīng)用，將在以后的文章中繼續(xù)探討，這里不再多述。

[1]夏云，王文相.范數(shù)強(qiáng)制性定理及其推廣[J].牡丹江教育學(xué)院學(xué)報(bào),2014

[2]雷晉干，陳銘俊，匡蛟勛，沈祖和.數(shù)值分析的泛函方法[M].高等教育出版社，1996