基于Bayes理論改進的系統可靠性綜合MML法

【基礎理論與應用研究】

基于Bayes理論改進的系統可靠性綜合MML法

楊仁

(中船重工第710研究所, 湖北 宜昌443003)

摘要：針對可靠性綜合MML法面對無失效數據時存在的不足，提出了基于Bayes理論改進的MML法，利用Bayes方法對0失效單元的可靠度進行點估計，通過實例驗證了改進的合理性，因其利用了驗前信息，避免了直接利用試驗數據導致的冒進且也不保守，能夠較好的解決試驗結果中零失效的情況；應用改進后的MML法關鍵是要正確利用驗前信息，才能使系統可靠性綜合結果真實反映產品可靠性水平。

關鍵詞：Bayes理論；可靠性綜合；MML法；數據轉換

收稿日期：2015-02-17

作者簡介：楊仁(1980—)，男，高級工程師，主要從事質量與可靠性研究。

doi:10.11809/scbgxb2015.09.039

中圖分類號：TJ610

文章編號：1006-0707(2015)09-0158-04

收稿日期：2015-03-20

基金項目全軍軍事類研究生資助課題“陸軍無人化作戰體系效能評估方法研究”(2014JY185)

本文引用格式：楊仁.基于Bayes理論改進的系統可靠性綜合MML法[J].四川兵工學報，2015(9):158-161.

Citationformat:YANGRen.ImprovedMMLMethodofSystemReliabilitySynthesisBasedonBayesianTheory[J].JournalofSichuanOrdnance,2015(9):158-161.

ImprovedMMLMethodofSystemReliabilitySynthesis

BasedonBayesianTheory

YANGRen

(No.710ResearchandDevelopmentInstitute,ChinaShipbuildingIndustryCorporation,Yichang443003,China)

Abstract:In order to solve the problem that MML method cannot be directly used for reliability synthesis in the case of zero-failure date, an improved MML method based on Bayesian theory was proposed, and it used Bayesian method to estimate the reliability of zero-failure unit. Through analysis and comparison, the rationality of improved MML method had been validated. The results are neither aggressive nor conservative. In order to make the reliability synthesis more close to the true value, the prior information should be used correctly.

Keywords：Bayesiantheory;reliabilitysynthesis;MMLmethod;datetransform

系統可靠性綜合評估通常采用“金字塔”式的評估模式[1]，按照組部件——分系統——系統的順序，依據系統可靠性結構框圖逐級向高一級進行可靠性綜合，最后得出系統的可靠性評估值。

魚雷、水雷等現代武器裝備，采用的技術越來越先進，結構越來越復雜且可靠性指標也越來越高，分配到各分系統、組部件的可靠性指標就更高，按傳統的評估方法需要的樣本量將十分驚人，成本非常之高昂，采購方和承制方都難以接受，因此采用適宜的可靠性綜合方法對系統可靠性指標進行評估成為一種可行的方式。目前，工程上進行系統可靠性綜合常用的方法有：MML法(修正極大似然估計方法)、SR法(逐次壓縮方法)、L-M(Lindstrom)方法等，通過隨機模擬比較，MML方法是成敗型串聯系統幾種偏保守方法中最不保守的[2]，即近似限比較準確，但是存在不能考慮無失效單元的缺點。在高可靠性產品試驗時，出現0失效單元的情況是經常存在的，因此需要對MML法進行優化以提高其適應性。本文基于Bayes理論提出了MML法的一種改進方法，彌補其在高可靠性產品系統可靠性綜合時存在的不足。

1試驗數據等效轉換

可靠性綜合評估的首要工作是將不同類型的試驗數據等效轉換為統一類型的試驗數據，對成敗型產品進行可靠性綜合，按照單元服從總體的思路，需要把系統組成單元、部件的非成敗型試驗數據按照一定的方法折算為成敗型數據進行處理；另一方面，在不知道產品的壽命分布時，如果取產品的試驗時間等于任務時間，并在試驗時間終止時記錄產品是否失效，這樣得到的試驗數據即為成敗型數據。MML法是將系統看作二項分布進行系統可靠性綜合，對于非成敗型數據需要將其轉化為成敗型數據，目前常用的轉換方法是點估計下限法[3]：

對成敗型產品，假設進行了N次試驗，成功了S次，則可靠度的極大似然估計為

(1)

其置信度為γ的經典非隨機化可靠度最優置信下限RLC為[4]

(2)

在已知待轉換單元的壽命分布時，可以按照該分布特征求可靠度極大似然估計值及其置信下限，基于可靠度極大似然估計和γ置信度下可靠度最優置信下限分別相等的思想，可以建立如下等效數據轉換公式：

(3)

用不完全貝塔函數還可以表示為

(4)

其中， N′為折算成成敗型試驗的等效試驗次數，S′等效成功次數,N′，S′可取非負小數。

2MML綜合方法的不足與改進

2.1MML綜合方法介紹

(5)

(6)

(7)

則系統級的等效試驗數N，失效數F分別為

(8)

其中：(ni,fi)為第i個單元的試驗數及失效數，i=1,2，…，m。(n0,f0)為系統級試驗數及失效數。

現假定某系統由3個單元串聯組成，系統級試驗數據為(2,0)，3個單元試驗數據分別為：n1(5,0)、n2(10,0)、n3(60,0)，求置信度γ=0.7時的系統可靠度下限。

針對上述試驗數據，用MML綜合方法式(7)可以發現分子和分母都出現了為0的情況，此時MML法根本無法用；若僅有個別單元失效數為0時，其可靠度的極大似然估計為1，計算結果顯然會比較冒進。

此例雖然可以利用L-M法進行綜合，但若各單元的試驗數據為n1(5,0)、n2(5,0)、n3(5,0)時，通過計算可以看出，應用L-M計算的系統可靠度下限完全一致，也就說單元2、3進行10次、60次無故障試驗與均進行5次無故障試驗評估出的系統可靠度置信下限是一樣的，這顯然沒有充分利用單元的試驗信息，評估的結果比較保守。

MML法作為系統可靠性綜合中一種較好的方法，唯一的不足是沒有考慮0失效單元。因此，針對高可靠性產品經常出現0失效單元的情況，需要對MML法做適當改進，才能擴大其應用范圍，得到較為精確的評估結果。

2.2改進的MML綜合方法

MML法的不足在于對0失效單元可靠度的點估計上，當失效數為0時，其極大似然估計為1，顯然不合理，而且0失效單元越多，利用MML法得到的可靠性結果無疑是很冒進的。因此0失效單元不能簡單的用1作為其可靠度點估計，一個單元出現0失效說明其可靠度較高，而且隨著試驗量越大，其可靠度值越大，越接近1，但不能等于1，此時我們可以利用Bayes方法對0失效單元進行點估計，使其更接近真值。此處以二項分布為例，其他分布試驗數據可以轉化為二項分布試驗數據。二項分布的共軛驗前分布服從β(R|s0,f0)[6]，有先驗信息時根據先驗信息求出參數(s0,f0)。

當無先驗信息時，驗前分布有3種取法[7]，即

1) Reformulation 方法：

2) Box-Tiao方法：

3) Bayes假設：

在以上3種方法中，Box-Tiao方法評定結果與精確置信限最接近，因此建議采用Box-Tiao方法進行無信息Bayes評定[8]。

設產品的成功率為R，對其進行n次試驗，失效f次，記為(n，f)，其似然函數為

(9)

先驗分布為π0(R)時，其后驗分布為

(10)

在平方損失函數下，參數R的Bayes估計為

(11)

先驗分布采用Box-Tiao方法選取時，R的點估計為

(12)

基于Bayes理論改進的MML法主要是對0失效單元點估計的計算，改進后的MML公式

(13)

式(13)中

當單元的失效數為0時，由于Bayes評定理論利用了驗前信息，使0失效單元的點估計無限接近1而非1，避免了評定結果的冒進性。

3實例分析

某型武器裝備由電子單元(指數分布)、安全保險單元(二項分布)、火工品動作單元(二項分布)、火箭發動機(二項分布)4個單元串聯組成，其中系統級試驗進行了10次，失效0次，各組成單元試驗數據如下：

電子單元：試驗T=3 120 h，失效r=1次，任務時間為t0=100 h；

安全保險單元：試驗n2=100次，失效f2=1次；

火工品動作單元：試驗n3=60次，失效f3=0次；

火箭發動機：試驗n3=40次，失效f3=0次；

試評估γ=0.7時，系統可靠度置信下限。

根據試驗數據可以發現，4個單元中只有電子單元試驗數據需要轉換為成敗型數據，計算步驟如下：

可靠度置信下限：

下面分別用改進MML法、MML-SR、L-M法對該系統進行可靠性綜合：

1) 采用改進MML法。4個單元中火工品動作單元和火箭發動機在試驗中均出現了失效數為0的情況，因此需要利用Bayes方法求點估計，在此試驗前雖然進行了部分試驗，但技術狀態未完全固化，且出現故障后進行了改進，這里按無驗前信息進行處理，采用Box-Tiao方法，計算可得：

利用式(13)計算得系統等效試驗數：N′=41.03, F′=2.49

綜合后系統級的試驗數和失效數分別為

2) 采用CMSR法[9]。由于上述試驗數據中，無失效單元的試驗次數不是最小的，因此MML-SR法不對試驗數據進行壓縮，計算公式等同與MML法，試驗數據帶入式(7)計算得：

系統等效試驗數和失效數分別為N′=38.12, F′=1.57。

則系統級的試驗數和失效數分別為N=48.12, F=1.57。

由于MML-SR法未對無失效單元試驗數據進行壓縮，仍然采用MML法公式進行計算，得到的結果依然有些冒進，由此也可以看出MML-SR法在某些情況下也難以修正MML法存在的冒進估計。

3) 采用L-M法[10]。系統級的等效試驗數及失效數分別由下式確定：

試驗數據帶入上式計算得系統等效試驗數和失效數分別為N′=37.71, F′=1.92。

系統級的試驗數和失效數分別為N=47.71, F=1.92。

通過3種方法計算比較可以發現：采用改進后的MML法綜合得到的結果介于MML-SR法和L-M之間。采用MML-SR法計算時，由于無失效單元的試驗次數不是最小的，因此MML-SR法未對無失效單元試驗數據進行壓縮，仍然直接使用火工品動作單元和火箭發動機的可靠度極大似然點估計1進行計算，因此綜合的結果無疑是冒進的；眾所周知L-M法計算的結果比較保守，也就是說基于Bayes理論改進的MML法計算的結果介于冒進和保守之間，通過實例可以看出基于Bayes理論改進的MML法的合理性。

4結束語

在武器裝備可靠性較高,試驗結果中無失效經常存在的情況下，MML法的局限性導致難以直接應用其進行系統可靠性綜合，基于Bayes理論改進后的MML法能夠較好的解決試驗結果中零失效的情況，因其利用了驗前信息，避免了直接利用試驗數據導致的冒進且也不保守，因此是進行武器裝備系統可靠性綜合較好的方法。應用改進后的MML法關鍵是要正確利用驗前信息，才能使系統可靠性綜合結果真實反應產品實際可靠性水平。

由于系統組成各單元相互間會有影響，各單元獨立模擬進行試驗很難跟實際情況一致，無論哪種可靠性綜合方法都難以考慮這種影響，因此應盡可能多的開展系統級可靠性試驗，減少可靠性綜合方法無法消除的誤差，才能有效提高系統可靠性評估近似限。

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(責任編輯楊繼森)