泡沫鋁板彎曲振動特性數值研究

王鵬飛，劉孟周，劉同輝，張成立

（北京衛星環境工程研究所，北京 100094）

0 引言

泡沫鋁是以氫化鈦為黏接劑和發泡劑，加入到純度為99.85%的熔融鋁中攪拌而制成的，是近年發展起來的一種集結構、性能一體化的新型功能材 料[1-3]。作為結構材料，泡沫鋁具有輕質、高強度的結構特點[4-5]。泡沫鋁還具有優異的物理性能、化學性能和機械加工性能，如密度小、吸收沖擊能力強、防火性強、抗腐蝕、隔音降噪、導熱率低、電磁屏蔽性高、有過濾能力、易加工、成形精度高、可進行表面涂裝。目前泡沫鋁板材已廣泛應用于航天器緩沖結構、環境控制系統、熱控系統、光學系統以及相關總裝領域[6-8]。

彎曲變形是泡沫鋁材料最常見的變形方式之一，然而對泡沫鋁彎曲振動的研究較少。總裝設計過程中要求所有外部工裝設備均需遠離艙體自身固有頻率，而艙體的頻率通常僅為個位數量級甚至更小。因此，有必要開展對泡沫鋁的彎曲振動特性的研究。

本文基于泡沫鋁的實際使用狀態，建立其彎曲振動理論模型和有限元模型，進行求解和對比分析，重點關注泡沫鋁的彎曲振動特性，以研究不同材料參數對其彎曲振動頻率及變形的影響。

1 彎曲振動特性分析

本文針對載人航天器艙內使用的泡沫鋁板，以Timoshenko梁理論為基礎，推導泡沫鋁板彎曲振動理論模型。同時利用ANSYS仿真軟件建立泡沫鋁板的有限元模型。通過對兩個模型的求解，獲得模態頻率，并進行對比分析。

1.1 結構參數

泡沫鋁的功能特性主要由金屬骨架的孔隙特征決定，包括孔的類型、孔徑、孔隙率等。不同孔隙率的泡沫鋁會有不同的結構參數，本文選取孔隙率為80%的泡沫鋁板進行分析，相關材料參數如表1所示[9]。

表1 泡沫鋁材料參數 Table1 Materials parameters of aluminum foam

1.2 振動理論模型

泡沫鋁板寬度與長度之比并不是小值，選擇以Timoshenko梁理論為基礎建立彎曲振動理論模型，為了使模型更加準確，應考慮剪切變形和轉動慣量對泡沫鋁板彎曲振動產生的影響[10-11]。

如圖1所示，取微段dz作為研究對象。圖中的虛線為忽略剪切變形的情況。當考慮微段dz剪切變形時，Timoshenko梁截面法線與梁軸線的切線將不再重合，即發生了由切應力引起的橫截面錯動（實線與虛線的位置變化），使得橫截面內各點之間存在相對位移，因此在橫截面內切應力不是恒定不變的。為簡化計算，取橫截面內的平均切應力為等效切應力[12]。

圖1 Timoshenko 梁及剪切變形 Fig.1 Timoshenko beam and shear distortion

根據材料力學與彈性力學的知識，若分別用ξ,η,ζ表示微體積元沿x,y,z軸的位移，可以得到應變分量表達式為

式中：S3和S5分別對應z軸截面的軸向應變與切應變；ψ為彎矩引起的截面轉角，以逆時針旋轉為正；s33和s55分別對應材料彈性模量和切模量的倒數；T3和T5分別對應z軸截面的軸向應力與切應力。

針對Timoshenko梁受力圖，建立力和力矩平衡方程，忽略其中高階無窮小量，得到彎曲變形過程中振動微分方程組為

式中：ρ為密度，kg/m3；A為截面面積，A=B×D，m2；Ⅰ為截面慣性矩，Ⅰ=B×D3/12，m4；κ為截面形狀系數，矩形截面κ=0.833。

在簡諧振動激勵下，假設振型函數ξ=ξ(z)· ej(ωt+?)，轉角函數ψ=ψ(z)ej(ωt+?)，其中ω= 2πf，f表示泡沫鋁板的模態頻率。

將假設振型函數和轉角函數代入式(2)，令α=ρs55/κ+ρs33，β=ρAs33ω2/Ⅰ-ρ2s33s55ω4/κ，得到不含 時間分量的振型函數ξ(z)、轉角函數ψ(z)、彎矩函數M(z)和剪力函數Q(z)的表達式為

式中：C1,D1,C2和D2為各函數項的常數系數；m為簡化計算引入的參數，m=ρs55ω2/κ；1=nⅠ0和A0分別為截面慣性矩（m4）與截面面積（m2）。

1.3 頻率求解

將泡沫鋁板等效為兩端自由的復合梁結構，由振動邊界條件建立彎曲振動力學平衡條件，如表2所示，表中L表示泡沫鋁板的長度。

表2 自由振動邊界條件 Table2 Boundary conditions of free vibration

根據表2中的邊界條件及連續條件建立矩陣形式的齊次方程組，記P×C=0，其中：P為系數矩陣，C為振型函數的常數系數矩陣，即

通過求解上述齊次方程組就可以得到泡沫鋁板彎曲振動的頻率。理論上，使矩陣P行列式的值等于0 時的頻率就是泡沫鋁板的模態頻率。本文利用MATLAB 軟件編程，對P行列式的值進行掃描。在掃描過程中，當行列式的值發生正負符號變化時，就獲得了模態頻率。

P是關于振動頻率的奇異矩陣，只能求解出振動方程中各個常數系數之間的相互關系，無法解算出各個常數系數的數值。實際上，在求解振動方程的過程中有一個條件可用來求解振動頻率?？紤]到泡沫鋁的彎曲剛度較大，是小變形問題，因此，在求解過程中假設C11=0.001。去除上述齊次方程組中任意一行，取剩余的組成方程組，代入C11和振動頻率，就可以獲得除C11以外的其余所有常數系數，進而獲得泡沫鋁板彎曲振動的振型函數ξ(z)、轉角函數ψ(z)、彎矩函數M(z)和剪力函數Q(z)。泡沫鋁板彎曲振動的振型曲線及振動頻率如圖2～ 圖4所示。為了與上述計算結果對比，利用ANSYS 建立泡沫鋁板彎曲振動的有限元模型。通過對有限元模型的模態分析，獲得模態頻率和振型曲線。表3為泡沫鋁板理論模型的解析結果與有限元模 型的仿真結果對比；圖5～7 為泡沫鋁板有限元模型經前三階模態分析后提取的振型曲線。

圖2 一階彎曲振型（f = 56.023 Hz） Fig.2 First-order bending mode(f = 56.023 Hz)

圖3 二階彎曲振型（f = 153.425 Hz） Fig.3 Second-order bending mode(f = 153.425 Hz)

圖4 三階彎曲振型（f = 298.893 Hz） Fig.4 Third-order bending mode(f = 298.893 Hz)

表3 理論模型與有限元模型結果對比 Table3 Result comparison between analytical model and FEA model

圖5 一階彎曲振型（f = 56.015Hz） Fig.5 First-order bending mode(f=56.015 Hz)

圖6 二階彎曲振型（f =154.490 Hz） Fig.6 Second-order bending mode(f=154.490 Hz)

圖7 三階彎曲振型（f=302.288 Hz） Fig.7 Third-order bending mode(f=302.288 Hz)

對比分析理論模型和有限元模型的模態頻率，可看出結果十分接近，頻率相差最大的三階彎曲振動也僅為1.12%。通過有限元分析驗證了泡沫鋁板彎曲振動理論模型的正確性，可用于分析泡沫鋁板材料參數對頻率的影響。

對彎曲振動理論模型求解，得到了泡沫鋁板彎曲振動的基頻為56 Hz 左右，遠大于艙體的基頻，完全滿足總裝技術要求。

2 材料參數對彎曲振動的影響

在制作過程中，可以通過改變材料參數以得到不同彎曲振動頻率的泡沫鋁板。本節利用前述理論模型，研究不同的材料彈性模量和密度（其他參數不變）對泡沫鋁板彎曲振動頻率的影響。

2.1 彈性模量對振動頻率的影響

分析過程中僅改變彈性模量，而其他參數保持不變（泡沫鋁材料參數見表1）。彈性模量對振動頻率的影響如圖8所示。

圖8 彈性模量對振動頻率的影響 Fig.8 Influence of elastic modulus on the vibration frequency

2.2 密度對振動頻率的影響

僅改變材料密度，其他參數保持不變（泡沫鋁材料參數見表1）。密度對振動頻率的影響如圖9所示。

圖9 密度對振動頻率的影響 Fig.9 Influence of density on the vibration frequency

2.3 小結

本節通過理論模型分析了泡沫鋁材料參數對彎曲振動的影響，可以看出，隨著彈性模量的增加，泡沫鋁板的振動頻率隨之增加；隨著密度的增加，振動頻率逐漸變小。同時通過理論求解可知，在忽略結構阻尼自由彎曲振動情況下，隨著泡沫鋁材料參數的改變，振動過程中的最大變形變化較小，但在工程應用中最大變形還與材料的結構阻尼及相應外力作用有關。

綜上所述，可以通過改變材料參數來獲得不同的泡沫鋁的振動頻率，進而可以根據該頻率選擇其具體適用環境。

3 結束語

本文利用泡沫鋁板的彎曲振動的理論模型和有限元模型開展了對比研究，驗證了彎曲振動理論模型的有效性。同時利用理論模型開展了不同材料參數對泡沫鋁彎曲振動頻率的影響。研究結果可用于指導泡沫鋁在總裝設計過程中的彎曲變形分析，以及不同的總裝工況下對泡沫鋁結構參數的合理選擇。后續將繼續開展泡沫鋁板材料的試驗研究，詳細分析泡沫鋁板材料的彎曲特性。

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