基于非線性能量阱的雙共振峰振動(dòng)抑制的力學(xué)特性研究

張也弛

（北京空間飛行器總體設(shè)計(jì)部，北京 100094）

0 引言

早在20世紀(jì)中期，Roberson 就指出：在動(dòng)力吸振器中引入非線性，可以有效地增加振動(dòng)抑制的帶寬，使得動(dòng)力吸振器的魯棒性顯著提高[1]。非線性能量阱（nonlinear energy sink,NES）是一種可實(shí)現(xiàn)高效振動(dòng)抑制的非線性吸振器，其內(nèi)部含有的強(qiáng)非線性立方剛度使其具有極為高效的振動(dòng)能量吸收能力[2]。但同時(shí)，含有強(qiáng)非線性剛度也使系統(tǒng)的 力學(xué)特性十分復(fù)雜，尤其是強(qiáng)非線性系統(tǒng)擴(kuò)充至三自由度以后，解析分析十分困難。若要對(duì)NES 的減振效果有全面認(rèn)識(shí)，則力學(xué)特性的分析必不可少。自從NES 的概念提出以來，一些學(xué)者對(duì)單自由度減振對(duì)象連接一個(gè)NES 的結(jié)構(gòu)力學(xué)特性進(jìn)行了大量研究。文獻(xiàn)[3]給出了非線性能量阱與線性吸振器的振動(dòng)抑制效果比較，證明了非線性能量阱在振動(dòng)抑制方面的優(yōu)越性。文獻(xiàn)[4-5]給出了上述 系統(tǒng)的內(nèi)在哈密頓系統(tǒng)在1:1 內(nèi)共振條件下的力學(xué)分析。文獻(xiàn)[6-7]中研究了哈密頓系統(tǒng)周期解在主脊線上的分岔現(xiàn)象，并指出該哈密頓系統(tǒng)對(duì)非保守系統(tǒng)的力學(xué)特性有重要影響[8]。線性振子與NES 間的能量傳遞被廣泛研究：文獻(xiàn)[9-10]中通過一種新的有限相位軌跡手段深入研究能量傳遞過程，并使得多種能量傳遞機(jī)制得以揭示；文獻(xiàn)[11]指出，內(nèi)在哈密頓系統(tǒng)的1:1 內(nèi)共振是引發(fā)能量傳遞的最有效機(jī)制；文獻(xiàn)[12]在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步指出，在1:1內(nèi)共振附近的“超慢”半周期是引發(fā)最優(yōu)能量傳遞的途徑。

文獻(xiàn)[13-16]通過解析和試驗(yàn)手段，在簡諧載荷作用下對(duì)一個(gè)線性振子連接一個(gè)NES 的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[13]揭示出在產(chǎn)生準(zhǔn)周期振動(dòng)時(shí)，NES具有較好的振動(dòng)抑制效果。文獻(xiàn)[14]在文獻(xiàn)[13]基礎(chǔ)上研究了系統(tǒng)周期解的分岔現(xiàn)象，給出產(chǎn)生準(zhǔn)周期振動(dòng)的兩種機(jī)制。基于對(duì)系統(tǒng)非線性力學(xué)的深入研究，Starosvetsky 等人[15-17]發(fā)現(xiàn)：NES 產(chǎn)生強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)時(shí)，其振動(dòng)抑制效果最出色，因此系統(tǒng)響應(yīng)的穩(wěn)定性問題也開始受到關(guān)注。

某些對(duì)振動(dòng)敏感的有效載荷對(duì)振動(dòng)環(huán)境的要求較高，在進(jìn)行整星振動(dòng)試驗(yàn)時(shí)，有時(shí)會(huì)發(fā)生局部振動(dòng)環(huán)境不能滿足此類有效載荷要求的情況。如果妥善應(yīng)用NES 進(jìn)行局部減振，則可在結(jié)構(gòu)定型后較方便地解決此類問題。上述研究已證明了NES對(duì)單個(gè)共振峰具有良好的振動(dòng)抑制效果，但在航天應(yīng)用背景中，振動(dòng)環(huán)境超標(biāo)現(xiàn)象有時(shí)不止出現(xiàn)在一個(gè)單一頻點(diǎn)附近，而是出現(xiàn)在一個(gè)相對(duì)單共振峰而言寬得多的頻帶范圍內(nèi)，這就要求減振裝置具備一定的寬頻振動(dòng)抑制能力，但目前對(duì)NES 的寬頻減振能力的研究是有所欠缺的。

本文研究在正弦激勵(lì)作用下，NES 對(duì)減振對(duì)象的兩個(gè)不同共振峰能否同時(shí)實(shí)現(xiàn)良好的振動(dòng)抑制效果，借此分析NES 對(duì)較寬頻帶內(nèi)的多共振峰的振動(dòng)抑制能力。為達(dá)到這個(gè)目的，構(gòu)造了一個(gè)受簡諧激勵(lì)作用的三自由度系統(tǒng)，包括一個(gè)兩自由度線性主結(jié)構(gòu)和一個(gè)連接在其末端的單自由度NES。首先提出使用增量諧波平衡法計(jì)算該系統(tǒng)的平衡點(diǎn)（周期解），之后使用Floquet 理論對(duì)周期解的穩(wěn)定性進(jìn)行判斷。通過上述解析分析揭示了該系統(tǒng)內(nèi)部存在的局部分岔現(xiàn)象，全面認(rèn)識(shí)了系統(tǒng)的力學(xué)特性。最后通過數(shù)值計(jì)算驗(yàn)證了解析分析的結(jié)果。

1 系統(tǒng)模型

為了研究NES 的寬頻振動(dòng)抑制能力，首先構(gòu)造如圖1所示的系統(tǒng)（設(shè)為S），圖中左側(cè)兩個(gè)方形質(zhì)量塊代表主結(jié)構(gòu)的兩個(gè)自由度，主結(jié)構(gòu)具有兩階固有頻率；右側(cè)的圓形質(zhì)量塊代表單自由度NES。

圖1 耦合振子結(jié)構(gòu)圖 Fig.1 Schematic diagram of the coupled oscillators

對(duì)圖1結(jié)構(gòu)建立如下方程：

式中：m1、m2和m3分別為三部件的質(zhì)量；c1、c2和c3為線性阻尼；k1、k2為線性剛度；knl為立方剛度；f為激勵(lì)力幅值；ω為激勵(lì)圓頻率；x1、x2和x3分別代表m1、m2和m3的位移。下面分析NES能否對(duì)m1、m2的兩個(gè)不同共振峰同時(shí)實(shí)現(xiàn)良好的振動(dòng)抑制效果。

2 系統(tǒng)平衡點(diǎn)的求解及穩(wěn)定性分析

2.1 基于增量諧波平衡法的平衡點(diǎn)求解

本文的研究中并不限定系統(tǒng)S 中的knl為小量，也就是說系統(tǒng)S 為三自由度強(qiáng)非線性系統(tǒng)。由于對(duì)NES 力學(xué)特性的研究多針對(duì)兩自由度系統(tǒng)，解析分析困難相對(duì)較小，目前分析手段集中于復(fù)變量-平均法（complexification-averaging method,CAM）和諧波平衡法。但對(duì)三自由度甚至更高自由度的強(qiáng)非線性系統(tǒng)來說，應(yīng)用這兩種方法簡化分析模型不僅十分煩瑣，而且由于得不到簡單的平衡點(diǎn)解析表達(dá)式，也喪失了這些方法的主要優(yōu)點(diǎn)。

增量諧波平衡（incremental harmonic balance method,IHB）法[18]基于諧波平衡法發(fā)展而來，是一種半數(shù)值、半解析的方法，具備諧波平衡法的優(yōu)點(diǎn)，適用于強(qiáng)非線性系統(tǒng)的分析，且求解多自由度非線性系統(tǒng)時(shí)，應(yīng)用IHB 法推導(dǎo)公式更簡便。因此，本文首次采用IHB 法求解含NES 的系統(tǒng)的周期解。在求解之前，首先應(yīng)該推導(dǎo)系統(tǒng)求解方程：

對(duì)系統(tǒng)S 引入時(shí)間尺度

則系統(tǒng)S 可變換為

其中：

,,分別為系統(tǒng)的質(zhì)量陣、阻尼陣和線性剛度陣，具體為

為系統(tǒng)的立方剛度矩陣，具體形式為

定義系統(tǒng)在激勵(lì)力大小為F0，激勵(lì)頻率為ω0時(shí)的振動(dòng)狀態(tài)為xi0，i=1,2,3，則其臨近狀態(tài)可以用增量形式表示為

其中Δxi、ΔF和Δω表示微小增量。將式(7)代入式(3)，忽略高階小量，可得關(guān)于Δx的線性微分方程組

其中：

方程(3)內(nèi)含有立方剛度，假設(shè)其穩(wěn)態(tài)周期解為

其中：

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)周期解可以表示為

其中：

將式(12)代入式(8)，并應(yīng)用伽遼金平均過程，則有

其中：

應(yīng)用牛頓迭代法，可對(duì)以上方程進(jìn)行求解。

2.2 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性判定

2.1 節(jié)對(duì)系統(tǒng)S 的平衡點(diǎn)建立了求解方程，本節(jié)進(jìn)一步判定平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。

由于式(3)在其周期解附近線性化后成為線性時(shí)變周期系統(tǒng)，因此在后面的分析中，本文采用Floquet 理論判斷周期解的穩(wěn)定性，求解過程如下。

將式(3)在周期解附近線性化，得到：

其中：

設(shè)X(τ1)為方程(16)的基礎(chǔ)解矩陣，則由解的周期性易知X(τ1+2π)也為方程的基礎(chǔ)解矩陣。對(duì)于這2 個(gè)基礎(chǔ)解矩陣，一定存在非退化矩陣G，使得

其中G稱為Floquet 轉(zhuǎn)移矩陣或單值矩陣。當(dāng)G的所有特征值的模小于1 時(shí)，則系統(tǒng)的周期解漸近穩(wěn)定；當(dāng)G的所有特征值的模小于等于1，且模等于1 的特征值只有一次初等因子時(shí)，則系統(tǒng)的解穩(wěn)定；當(dāng)G至少有1 個(gè)模大于1 的特征值或至少有1 個(gè)模等于1 的特征值有非一次初等因子時(shí)，則系統(tǒng)的解不穩(wěn)定。單值矩陣G的求解方法如下：

設(shè)X含有n個(gè)元素，G可采用如下積分求得

其中：y含有n2個(gè)元素；H為n2×n2的方陣，且

積分初值為

將式(21)從0 積分至2 后，則y(2π)的前n個(gè)元素即為G的第1 列，n+1 到2n個(gè)元素為G的第2 列，依次類推。

3 結(jié)果和討論

3.1 分析結(jié)果及討論

本節(jié)對(duì)系統(tǒng)S 進(jìn)行求解和分析，并用數(shù)值解法對(duì)解析求解結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，所有計(jì)算在MATLAB軟件環(huán)境下完成編程。系統(tǒng)參數(shù)取m3=0.14,k1=1.5,k2=1.2,c1=0,c2=0.005,c3=0.005,f=0.05,m1=1,m2=1.2,knl=0.2。

圖2為由IHB 法計(jì)算得到的系統(tǒng)S 中三振子的頻率和響應(yīng)圖，A1、A2和A3分別表示x10、x20和x30周期解的幅值，仿真忽略高次諧波，即有圖2中用實(shí)線表示 經(jīng)Floquet 理論判斷為穩(wěn)定的周期解，虛線表示不穩(wěn)定周期解，用小圓圈表示四階龍格-庫塔法對(duì)穩(wěn)定周期解進(jìn)行的數(shù)值驗(yàn)證，數(shù)值分析時(shí)積分初始值均為0。由圖2可見，用小圓圈表示的結(jié)果全部分布在IHB 法計(jì)算得到的穩(wěn)定解分支上，即數(shù)值結(jié)果與解析結(jié)果吻合。圖3為無NES 連接時(shí)兩振子的幅值曲線，用來比較說明NES 的減振能力。為了最大限度地排除阻尼對(duì)振動(dòng)的抑制作用，對(duì)主結(jié)構(gòu)第一個(gè)質(zhì)量塊采取極端的無阻尼假設(shè)，即令c1=0。

圖2 三個(gè)振子的幅值-頻率曲線 Fig.2 Amplitude-frequency curves of the three oscillators

圖3 無NES 時(shí)兩振子的振動(dòng)峰值 Fig.3 Amplitude of the two oscillators without NES

由圖2(a)可見，A1在ω=0.648 時(shí)的一組周期解分支上有最大值10.5，雖然此時(shí)響應(yīng)幅值較大，但與圖3(a)中A1的峰值相比，該不穩(wěn)定解分支的最大值也小于無NES 時(shí)的系統(tǒng)響應(yīng)幅值（16.7），說明在該組NES 設(shè)計(jì)參數(shù)取值下，即使在最壞情況下，NES 也不會(huì)起到放大振動(dòng)的作用。

另外由圖2(a)～圖2(c)可見，該系統(tǒng)存在兩種局部分岔現(xiàn)象。其中，隨ω變化，虛線與實(shí)線的交接點(diǎn)為Hopf 分岔點(diǎn)，當(dāng)激勵(lì)頻率穿越該點(diǎn)時(shí)，周期解的穩(wěn)定性發(fā)生改變；圖中同一個(gè)ω值對(duì)應(yīng)多個(gè)振動(dòng)幅值的現(xiàn)象說明系統(tǒng)存在鞍結(jié)分岔，在鞍結(jié)分岔區(qū)域，由于存在2～3 個(gè)解，系統(tǒng)隨初始狀態(tài)（振子的初始位移、速度或加速度）的不同，對(duì)應(yīng)的周期解的幅值、穩(wěn)定性都可能發(fā)生變化，NES的振動(dòng)抑制效果也會(huì)隨初始狀態(tài)的變化而不同。

在上述參數(shù)取值下，在ω=0.648 時(shí)，由四階龍格-庫塔法求解得到三振子的位移時(shí)程圖，見圖4。

圖4(a)中系統(tǒng)各初值均設(shè)為0，此時(shí)為調(diào)制響應(yīng)，響應(yīng)在幅值較小的不穩(wěn)定周期解附近擺動(dòng)。圖4(b)中積分初值為[x0,] =[1 0,0,20,0,20,0]，此時(shí) 初值取在幅值較大的周期解附近，可見系統(tǒng)振幅較大，響應(yīng)落在上部周期解分支附近，與圖3比較可見，此時(shí)對(duì)峰值的削減略超過30%，遠(yuǎn)不如圖4(a)中的振動(dòng)抑制效果。但由于底部周期解分支的存在，一般需要系統(tǒng)具有較大初始能量，響應(yīng)才會(huì)跳躍至上部周期解附近，而這種強(qiáng)擾動(dòng)在實(shí)際工程情況中出現(xiàn)的概率較小。因此，一般情況下，主結(jié)構(gòu) 的振動(dòng)幅值應(yīng)在底部解分支所確定的幅值附近。同時(shí)，圖4說明，在ω=0.648 時(shí)，隨初始條件的不同，系統(tǒng)確實(shí)存在2 個(gè)不同的周期解，證實(shí)了系統(tǒng)內(nèi)鞍結(jié)分岔的存在。這種力學(xué)特性使得僅靠數(shù)值計(jì)算難以得到系統(tǒng)S 的全部解，必須應(yīng)用解析方法得到系統(tǒng)的全部解分支，才能對(duì)NES 的減振效果有全面的認(rèn)識(shí)。因此應(yīng)用NES 進(jìn)行航天器局部振動(dòng)抑制時(shí)，必須注意分岔區(qū)域的解分支分布。

3.2 與無減振裝置情況的比較

經(jīng)過3.1 節(jié)的分析，對(duì)系統(tǒng)S 的周期解及其穩(wěn)定性已經(jīng)有了全面的認(rèn)識(shí)，解析結(jié)果說明系統(tǒng)內(nèi)不存在振動(dòng)放大現(xiàn)象，系統(tǒng)在一階模態(tài)附近存在鞍結(jié)分岔和Hopf 分岔，在二階模態(tài)附近的力學(xué)特性則相對(duì)簡單。下面基于前面的分析結(jié)果，使用四階龍格-庫塔法計(jì)算系統(tǒng)在積分初值為0 時(shí)的響應(yīng)，并與無附加NES 的系統(tǒng)進(jìn)行響應(yīng)能量的比較，以了解NES 的減振能力。

圖5給出了上述兩自由度線性主結(jié)構(gòu)在無NES 連接時(shí)，在與3.1 節(jié)分析中同樣激勵(lì)條件下的振動(dòng)響應(yīng)能量曲線。圖6為連接NES 后兩自由度結(jié)構(gòu)的振動(dòng)能量圖，NES 的質(zhì)量為減振對(duì)象質(zhì)量的14%。在ω=0.643 附近，周期解受鞍結(jié)分岔影響跳躍到了較高的解分支附近，造成了一個(gè)局部峰值；但與圖5中無NES 的情況相比，NES 仍使第一個(gè)振子的2 個(gè)振動(dòng)能量峰值分別降低76%和75%；第二個(gè)振子的2 個(gè)振動(dòng)能量峰值分別降低了25%和94%。

圖5 兩自由度結(jié)構(gòu)（減振對(duì)象）在簡諧激勵(lì)下的 振動(dòng)能量圖 Fig.5 Vibration energy of the two-DOF main structure (which structure for vibration suppression)under harmonic force

另外，本文未進(jìn)行NES 振動(dòng)抑制效果最優(yōu)化的研究，而通過調(diào)節(jié)NES 參數(shù)還可以取得更好的振動(dòng)抑制效果。圖7中NES 的質(zhì)量為減振對(duì)象質(zhì)量的22%。通過圖7與圖5比較可知：NES 使第一個(gè)振子的 2 個(gè)振動(dòng)峰值分別降低 99.95%和68.8%；第二個(gè)振子的2 個(gè)振動(dòng)峰值分別降低了99.9%和92.5%。可見，NES 可同時(shí)對(duì)2 個(gè)振子的2 個(gè)共振峰起到良好的振動(dòng)抑制作用。

圖6 連接NES 后兩自由度結(jié)構(gòu)的振動(dòng)能量圖 Fig.6 Vibration energy of the two-DOF main structure with an NES attached

圖7 連接NES 后兩自由度結(jié)構(gòu)的振動(dòng)能量圖 Fig.7 Vibration energy of the two-DOF main structure with an NES attached

需要說明的是，本文專注于揭示NES 的力學(xué)特性，并給出NES 用于減振時(shí)的一般性分析與設(shè)計(jì)方法，未針對(duì)某一特定問題。因此，仿真中所有參數(shù)均采用了無量綱量，但這并不與工程脫節(jié)，在本文研究基礎(chǔ)上可進(jìn)一步拓展至工程實(shí)際。例如：取m1=10 kg,m2=12 kg，NES 的質(zhì)量m3=1.4 kg,k1=15 000 N/m,c3=0.5 N/(m/s),k2=12 000 N/m,c2=0.5 N/(m/s),f=500 N。再將時(shí)間尺度縮小100 倍（τ=100t,dx/dτ=dx/100dt）即可換算得到與圖2仿真中相同的參數(shù)。相對(duì)的，圖7中2 個(gè)受到抑制的振動(dòng)峰值對(duì)應(yīng)的圓頻率分別約為68 和180 rad/s。NES 作為一種被動(dòng)的振動(dòng)抑制手段，具有不需要額外能源，魯棒性、可靠性高，簡單易用等特點(diǎn)，在航天器局部多共振峰的抑制方面具有良好的應(yīng)用前景。

4 結(jié)束語

本文對(duì)非線性能量阱連接一個(gè)兩自由度線性主結(jié)構(gòu)的對(duì)象進(jìn)行了研究，首次使用IHB 法求解了系統(tǒng)的周期響應(yīng)，并用Floquet 理論判斷了響應(yīng)的穩(wěn)定性。發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)中存在分岔現(xiàn)象，進(jìn)一步分析了該現(xiàn)象對(duì)NES 的設(shè)計(jì)和使用可能造成的影響，指出在NES 設(shè)計(jì)時(shí)有必要考慮分岔問題。分析結(jié)果表明，單自由度NES 具有良好的寬頻振動(dòng)抑制能力，使第一個(gè)振子的2 個(gè)振動(dòng)峰值分別降低了99.95%和68.8%；第二個(gè)振子的2 個(gè)振動(dòng)峰值分別降低了99.9%和92.5%。NES 在航天器局部振動(dòng)抑制、星上敏感單機(jī)振動(dòng)抑制等方面具有良好的應(yīng)用前景。

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