無自由參數型混合格式

王來，吳頌平

(北京航空航天大學 航空科學與工程學院，北京100191)

氣動聲學以及電磁波傳播的數值模擬在過去幾十年里大量采用高階數值格式.如今在湍流的大渦模擬以及直接數值模擬等數值模擬中，高階數值格式也得到了廣泛的應用.湍流問題中存在大范圍的時間/空間尺度，低階格式由于耗散過大，往往無法捕捉到流動中不穩定的、微小的尺度.高階格式精度更高，有著很好的應用前景.然而，高階格式在求解超音速可壓縮流動問題時，僅有高精度還不能滿足實際需求.為了準確地捕捉流動中的間斷，還需要做到基本無數值振蕩，并且具有較高的間斷分辨率.總而言之，精度高、分辨率高、捕捉間斷能力強、魯棒性好的數值格式，是學者們不斷追求的目標［1-2］.

有限差分格式可以分為顯式格式和隱式格式.其中高階的顯式格式以ENO格式和WENO格式［3-4］為代表.這類格式能夠實現高精度、高分辨率，并且具有良好的捕捉激波的能力.但是，在湍流的數值模擬中，ENO和WENO格式往往會表現出過大的耗散.WENO-Z［5-7］格式通過對傳統的WENO-JS格式中權重算子的改進，一定程度上減小了耗散，提高了分辨率.

緊致格式是隱式格式.Lele［8］最早系統地給出了具有類譜方法分辨率的非守恒型中心型緊致格式，能夠在較小的模板上輕松地獲得很高的精度.但是，由于這類緊致格式的耗散誤差為零，最早只被應用于不可壓縮流動問題的求解.Liu等［9］對守恒型中心緊致格式進行了系統的介紹.爾后，學者們通過各種手段將緊致格式推廣到可壓縮流動問題的模擬.其中，Adams等［10］將 ENO格式與緊致格式結合，以實現捕捉間斷的能力.Pirozzoli［11］依照同樣的思路，將 WENO 格式與緊致格式結合起來.然而這些混合格式中，兩種子格式間的相互切換顯得有些“突然”，往往會在格式切換的附近造成數值振蕩.為此，Ren等［12］提出了新的權重計算方法，其中引入了自由參數rc.國內學者也提出了不同的引入自由參數的混合格式權重算法［13-14］.它們都表現出了優異的激波捕捉能力以及分辨率特性.但是，這類自由參數往往需要根據經驗進行選取，需要進行大量的嘗試，這就造成了使用上的不便.

本文的目標就是要構造出一種無自由參數的權重算法［15］，在保持混合格式的高精度、高分辨率特性的同時，提高格式的易用性和魯棒性.

1 混合格式的構造

1.1 控制方程

考慮雙曲型標量守恒律方程:

將計算區域等距離劃分 xj=jΔx，j=0，1，…，N.守恒形式的半離散有限差分格式為

為了提高數值格式的魯棒性，通常將數值通量分裂為正通量和負通量2個部分:

由于這2個部分的對稱性，本文只討論正通量的計算過程.

1.2 守恒型緊致格式

本文構造了2種守恒型緊致格式［9，11］

這2種緊致格式的截斷誤差分別為

截斷誤差的第1和第2兩項分別為格式中耗散誤差以及色散誤差的主項.不難看出，第2種緊致格式的耗散誤差更小.

1.3 WENO-Z 格式

本文的混合格式采用 WENO-Z格式［5-7］.相比WENO-JS格式［4］，WENO-Z格式在極值點附近能夠更好地保持高精度.為了論文的完整性，這里給出五階WENO-Z的基本形式.

式中，qr3為候選模板的數值通量，詳見文獻［4-5］;ωr(r=0，1，2)是模板 r的權重:

式中，cr為理想權重;ε為一個極小數;βr為候選模板的光滑因子:

1.4 兩種子格式的混合

混合格式權重的理想狀態是:在間斷區域WENO-Z格式的權重為1，從而提高格式對間斷的捕捉能力;在光滑區域緊致格式的權重為1，這樣一來就能夠保持混合格式在光滑區域的低耗散特性.本文將按照這一標準構造新的權重算子.

混合格式的模板為［xj－2，xj－1，xj，xj+1，xj+2］，對光滑因子 β0，β1，β2進行 Taylor展開分析:

本文為混合格式中緊致格式的權重設計了新算子:

式中ε是一個極小的數，可以取計算機所能存儲的最小浮點數，因此這并不能算作是自由參數.在光滑區域:

也就是說，在光滑區域，緊致格式的權重幾乎就是1.當混合格式的總模板存在間斷時，τ遠大于，如此一來，緊致格式的權重就接近0.本文將這種新型算子稱為Z型權重算子.

Pirozzoli在文獻［11］中定義了一個簡單的權重算子，這種算子造成了混合格式中兩種子格式的切換過于突然，切換點會產生不容忽視的數值振蕩乃至污染流場.為了克服上述問題Ren［12］和武從海等［14］提出了一個新的權重算子:

這種權重算子表現出了良好的分辨率以及對激波的精確捕捉能力.但是，該算子較為復雜，格式的表現很大程度上依賴算子中自由參數rc的選取，rc過小會造成計算無法進行.本文將這類算子稱作R型算子.

新權重算子Z避免了自由參數的引入以及邏輯判斷的使用［15］.為了測試新算子的特性，主要將新算子的計算結果與R型算子的結果進行比較.本文用HCW-U表示式(5)型緊致格式與WENO-Z的混合格式，用HCW-UL表示式(6)型緊致格式與WENO-Z的混合格式.HCW-UL-Z型格式即為采用Z型權重的式(6)型迎風型低耗散緊致格式與WENO-Z格式的混合格式，文中提到的其他簡稱構成與此類似.

2 數值試驗結果

本文所涉及到的一、二維算例控制方程均為歐拉方程，時間離散采用三階龍格庫塔(RK)方法，這里不再贅述，詳見文獻［4］.

2.1 激波管問題

LAX問題是1D激波管問題的典型算例之一.在區間［－5.0，5.0］之內，以原點為分界點，左右兩側的氣體初始狀態不同.初始條件如下:

計算網格為200，計算終止時刻為t=1.3，CFL=0.3.本算例中R型權重算子取值為rc=0.5.

由圖1、圖2不難發現HCW-U以及HCW-UL采用Z型權重算子時，對激波以及接觸間斷的捕捉與采用R型權重時差不多.值得注意的是，這兩種混合格式在采用R型權重算子時在膨脹波頭造成的數值振蕩都比采用Z型權重時嚴重，詳見圖2中的局部放大圖.

圖1 HCW-U，HCW-UL，LAX 問題，密度值Fig.1 HCW-U，HCW-UL，LAX problem，density

圖2 HCW-U，HCW-UL，LAX 問題，壓強值Fig.2 HCW-U，HCW-UL，LAX problem，pressure

2.2 激波與熵波的干涉

本算例描述的是激波與熵波的干涉問題，其數值結果包含了間斷以及不同尺度的波.該算例能夠很好地測試數值格式對間斷的捕捉能力以及分辨率特性.計算區域為［0，10］，初始條件如下:

計算網格為301，計算終止時刻為t=1.8，CFL=0.1.混合格式采用 R 型權重時，rc=0.5.該問題沒有精確解，但是可以用五階WENO格式在網格數為1 601下的數值計算結果作為近似的精確解.為了便于觀察，本文給出了密度在區間［5，7.4］內的數值結果，這一區間內密度的數值結果能夠很好地說明格式的分辨率、耗散性質以及對間斷的捕捉能力.

從圖3、圖4可以清楚地看到，對于HCW-U以及HCW-UL格式，Z型權重與R型權重都表現出了對間斷的良好捕捉能力以及對不同尺度波的分辨能力，混合格式相比于WENO-Z格式耗散大大降低，分辨率有了明顯的提高.對比圖3、圖4，HCW-U以及HCW-UL計算效果并沒有太顯著的區別，盡管后者在理論上來說耗散比前者更小.

圖3 HCW-U，Osher-Shu問題，區間［5，7.4］密度值Fig.3 HCW-U，Osher-Shu problem，density in［5，7.4］

圖4 HCW-UL，Osher-Shu問題，區間［5，7.4］密度值Fig.4 HCW-UL，Osher-Shu problem，density in［5，7.4］

2.3 2D雙馬赫反射

強激波的雙馬赫反射(DMR)問題是測試數值格式的分辨率以及對間斷的捕捉特性的標準算例之一.該問題的計算區域為［0，4］×［0，1］，初始條件為:馬赫數為10、與x軸成60°斜激波在x=1/6處與底部邊界相遇，激波上游(ρ，u，v，p)=(1.4，0，0，1)，下游參數滿足 RH 關系式.計算域的上邊界條件是激波傳播的精確解，左邊界以及底部段為入流邊界條件，右邊界為出流邊界條件，底部段為壁面邊界.計算終止時間t=0.2，CFL=0.5.計算網格為 801 ×201.

混合格式采用R型權重時，rc=0.5.由于主要的流場信息都在［0，3］×［0，1］區間之內，本文僅僅給出了該區域內的密度云圖，所有云圖的等值線均為將區間2～22均分為50等份.對比圖5、圖6，可以清楚地看到，HCW-U-Z與 HCWU-R都很好地分辨出了滑移線的卷曲.HCW-ULZ的計算結果由圖7給出，HCW-UL-R的計算結果略去.值得注意的是，采用R型權重計算時，如果rc過小(以rc=0.3為例)，計算無法進行.Z型權重由于未引入自由參數，魯棒性提高，在針對陌生問題進行數值求解時，則可以避免自由參數取得不當造成計算無法進行的問題，與此同時，保持了很好的分辨率特性.

圖5 HCW-U-R，DMR問題，密度云圖，50條等值線Fig.5 HCW-U-R，DMR problem，density contour，50 levels

圖6 HCW-U-Z，DMR問題，密度云圖，50條等值線Fig.6 HCW-U-Z，DMR problem，density contour，50 levels

圖7 HCW-UL-Z，DMR問題，密度云圖，50條等值線Fig.7 HCW-UL-Z，DMR problem，density contour，50 levels

3 結論

1)新權重算子(Z型)對間斷的捕捉能力良好，同時相比R型權重能夠抑制間斷處數值振蕩的傳播.

2)相比于WENO-Z，采用Z型權重算子的混合格式HCW-Z耗散降低，分辨率提高.HCW-U與HCW-UL的數值結果并無明顯區別.

3)Z型權重算子的數值特性與R型權重算子(rc=0.5)相比區別不明顯，但是R型權重算子的計算效果依賴rc的選取，使用受到局限.

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