新型三軸離心機系統構型及數學建模

常樂，劉正華，溫暖，吳森堂

(北京航空航天大學 自動化科學與電氣工程學院，北京100191)

現代軍事、國防領域對某些無人高速飛行器的機動性能要求很高，即要求其具有很強的承受機動過載的能力［1-2］.國內外的實踐證明，如果某些產品只做地面普通試驗，不測試其承受高過載下的性能，可能會導致產品在機動飛行中失效［3］，為了在地面上驗證無人高速飛行器的整體強度，就需要有一套可以模擬其在運動中承受載荷的設備［4］.查閱國內外相關文獻，發現國內外至今缺乏對其的研究資料，固體火箭發動機高速旋轉試驗臺［5］雖然實現了高速旋轉條件下固體火箭發動機推力、壓力的同時測量，但此試驗臺不能實現對飛行器進行離心過載的模擬試驗.根據離心機系統可以通過高速旋轉產生幾十倍重力加速度的超重環境這一特性［6］，本文設計了一套小型無人高速飛行器載荷模擬系統，通過理論分析計算，實現模擬3個方向連續變化的動態過載，從而驗證產品是否有較好的機動性能［7］.與常見的臥式螺旋離心機［8］和三足式離心機［9］不同，本文提出的離心機由1臺底座和3個轉動框架組成，這種結構形式在之前的國內外文獻中研究很少.

1 過載模擬系統結構

過載模擬系統的機械結構如圖1所示，由底座、地面導軌輔助支撐機構和3個轉動框架組成.其中地面輔助支撐機構主要用來解決大轉動慣量外框的配平問題［10］，同時增加整個離心機系統的剛度和強度;轉動機構通過外框主軸的精確速度控制，形成綜合的離心加速度，同時通過改變內框、中框兩軸的角度轉換得到負載需要的3個法向過載力.從圖1可知，外框沿著主軸以角速率ω轉動，內框可以繞附軸Ⅱ轉動，設轉動的角度為θ1，中框可以繞附軸Ⅰ轉動，設轉動的角度為θ2.考慮到機械結構，質量塊放置時沿附軸I高出內框水平平面0.1 m，通過改變內框、中框兩軸的角度和外框的轉速，可以實時準確模擬出如圖1所示的x，y，z 3個方向連續變化的動態過載.

圖1 過載模擬系統機械本體三維圖Fig.1 Three-dimensional structure of overload simulation system

2 數學建模

2.1 過載的定義

設N為作用在對象上的除重力G以外的所有外力的合力，定義過載為n=N/G，方向與N一致［11］.

1)離心機過載.

定義離心機過載為外框高速旋轉(角速度為ω，角加速度為dω/dt)時，在離心機質心處產生的過載(距離主軸回轉中心距離為R).此處受到法向過載GN、切向過載GT分別為

2)機動過載.

無人高速飛行器在飛行過程中承受的載荷，也是過載模擬系統需要模擬的過載.通過改變轉角θ1，θ2以及外框轉速ω可以改變伺服機構受到的過載大小以及方向.

2.2 坐標系的建立及繞旋轉矩陣的定義

在研究初期，忽略控制機構對旋轉平臺產生耦合帶來的影響，僅考慮x，y，z 3個方向上的過載.建立如圖2所示的坐標系.3個坐標系的建立均以中框旋轉軸線與內框旋轉軸線的交點為公共原點建立.Ox1y1z1坐標系為內框坐標系，固連于內框.Oz1軸與內框軸線重合，質量塊可在Oz1軸上滑動(±200 mm)，Oy1軸垂直于內框載臺表面，Ox1軸按右手定則與其他兩軸成90°關系.因質量塊可以沿著z軸(即附軸Ⅱ)移動，設移動后的質心為OL.Ox2y2z2為中框坐標系，Oz2軸與 Oz1軸重合，Ox2垂直于中框所在鉛垂平面，指向如圖2所示，Oy2與其他兩軸按右手定則成90°關系.Ox3y3z3為外框坐標系，Oy3與Oy2軸重合，Oz3軸垂直于中框軸線與外框軸線所在平面并與Oy3軸垂直，Ox3按右手定則與其他兩軸成90°關系.各坐標系中坐標軸的正方向如圖2所示.

圖2 過載模擬系統坐標系示意圖Fig.2 Coordinate system schematic diagram of overload simulation system

按照以上方法建立坐標系后，質量塊在載臺上做指定運動時，其質心在內框坐標系的坐標表示為(0，0.1，z).下面介紹三框坐標系的變換關系.

設內框坐標系內的一點(x1，y1，z1)，其坐標變換到中框坐標系中，有

式中L(θ1)為旋轉矩陣，且

中框坐標系內的該點(x2，y2，z2)，其坐標變換到外框坐標系中，有

式中L(θ2)為旋轉矩陣，且

綜合以上變換有

前面提到，當質量塊在載臺上滑動(±200 mm)時，其質心在內框坐標系的坐標表示為(0，0.1，z).則轉換到外框坐標系內為

2.3 數學模型

當外框繞主軸旋轉時，質量塊有離心趨勢，此時受到了可以按內框坐標系分解的3個方向的過載，假定力的正方向為坐標軸的正向，則變換到外框坐標系中:

式中G的下標*1，*2，*3分別代表在各自坐標系內 x，y，z軸上的分量.

設外框旋轉角速度為 ω，則在 x3，y3，z3軸方向上的過載［G31G32G33］為

3 運動學分析

3.1 離心機以恒定的角速率ω做勻速轉動

1)在x3軸方向上過載由向心力在該軸上的一個分量產生，即G31=rω2.其中r為質量塊繞回轉中心勻速轉動的半徑在x3軸上的投影長度.由于回轉中心在外框坐標系內的坐標為(R，0，0)，而質量塊坐標為

則由距離計算公式知:

2)外框轉動時，近似認為在y3軸方向上加載為0，即G32=0.

3)離心機做勻速轉動，不產生切向加速度，但z3軸方向上的過載由向心力Gc在該軸上的一個分量產生，即 G33=Gcsin θ0，θ0為外框轉角.其中，由加載的矢量合成，可得 Gc=對于 sinθ0的計算，有

圖3中，OM為外框回轉中心，質量塊在原點處質心為O，移動z后質心為Oz，構造直角三角形后，得 OzA=zcosθ2，OMA=R+zsinθ2.因為即使在z=±200 mm的情況下，OMA和OMOz依然是近似相等的，因而簡化計算，可以用OMA代替OMOz，則得到3個坐標軸上的過載為

式中z為質量塊沿z1軸上滑動的距離，延z軸正向為正.

圖3 轉角計算圖Fig.3 Calculating diagram of θ0

由上述方程組中的第2個式子解得

由式(10)第3個等式得

通過 Matlab 可以求出 θ2，θ2∈(－ π/2，π/2).求出了θ1和θ2，通過方程組第1個式子可以得出轉速ω為

特殊情況:當z=0時，有

這樣，如果已知內框加載塊3個方向的過載［G11G12G13］，就可以求得 θ1，θ2和 ω.

3.2 離心機以加速度α做勻加速轉動

離心機做勻加速轉動，則z3軸上合力產生切向過載，即G33=rα，同樣近似認為外框轉動時在y3軸方向上加載為0，即 G32=0，在 x3軸方向上有法向過載 G31=rω2=r(αt)2.其中 r=R+z′+y′，z′為質量塊沿 z1軸上滑動的距離在 x方向產生的距離，y′為質量塊在y向上的100 mm偏心在x方向上產生的距離.

得到以下方程組:

由上述方程組中的第2個式子解得

這種情況沒有解析解，但可以算出切向過載G33對坐標系 OLx1y1z1下過載［G11G12G13］帶來的影響［G1tG2tG3t］為

4 仿真驗證

給定如圖2所示x1，y1，z13個方向的過載大小和質量塊在Oz1軸上的位移z，且給定質量塊質量m=15 kg;距離主軸回轉中心距離為R=0.8 m，重力加速度 g0=9.806 m/s2;依據以上解算方法，得到θ1，θ2和ω的仿真曲線及切向加速度對x1，y1，z13個方向加載產生的影響如下(見圖4～圖9):

1)過載大小恒定且為最大過載，即x1向過載為45g0;y1向過載為40g0;z1向過載為15g0.

2)x1，y1，z13方向的過載為如圖7～圖9所示的正弦曲線.

圖4 恒定加載時3方向過載及質量塊位移Fig.4 Overload in three directions and displacement of mass at constant loading

圖5 恒定加載時模擬系統各變量曲線Fig.5 Variable curves of simulation system at constant loading

圖6 恒定加載時切向加速度產生的誤差曲線Fig.6 Error curves caused by tangential acceleration at constant loading

圖7 加載變化時3方向過載及質量塊位移Fig.7 Overload in three direction and displacement of mass at variational loading

圖8 加載變化時模擬系統各變量曲線Fig.8 Variable curves of simulation system at variational loading

圖9 加載變化時切向加速度產生的誤差曲線Fig.9 Error curves caused by tangential acceleration at variational loading

5 結論

通過仿真曲線可以看出，該系統可以通過改變內框、中框的角度以及外框的轉速，準確地模擬出各方向連續變化的動態過載，證明文中提出的過載模擬系統及反解算法是正確且有效可行的.

但是從仿真結果也可以看出反解出的過載和給定過載之間存在誤差，產生誤差的原因有:

1)進行過載模擬時，所需要的持續性過載由法向過載提供，但在離心機外框角速度改變時，會出現瞬時的切向過載，該切向加速度會對過載需求［G11G12G13］帶來影響，但從圖中可以看出誤差在1.5g0之內.

2)文中提出的建模和解算方法是假設過載模擬系統是剛性體，并且軸系傳動有很好的剛度，但過載模擬系統在實際運行時特別是在離心機高速轉動時，結構上一定會產生形變［12］，這也會對最終結果帶來影響.

3)從仿真結果可以看出，當給定的過載大小和頻率變化較快，解算出的內框、中框的角度值和外框的轉速變化也會復雜，這就對離心機的數字伺服控制系統提出了很高的要求，要求其能滿足對內框、中框角度及外框轉速的高動態、精確跟蹤控制，控制中的滯后、非線性和外界未知干擾［13］也會對結果帶來誤差，因此必須通過設計先進的自適應控制器［14-15］使系統擁有很強的干擾抑制和穩定特性.

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