基于灰色模型與三次樣條插值的預(yù)測研究

楊程　鄭蘭香　李春光

摘要：選擇灰色模型和三次樣條插值相結(jié)合，對3個不同領(lǐng)域的非等時距數(shù)據(jù)樣本進(jìn)行了預(yù)測。結(jié)果表明，該算法能夠較為準(zhǔn)確地對非等時距樣本進(jìn)行預(yù)測，且簡單易行，預(yù)測值精度高于文獻(xiàn)算法。在工程實際中，該算法更加實用，并能夠應(yīng)用于多種工程領(lǐng)域。

關(guān)鍵詞：非等時距；灰色模型；三次樣條插值；模型精度

中圖分類號：TU12 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：0439-8114（2015）22-5729-03

Abstract： A combination forecasting algorithm based on gray model and cubic spline interpolation was proposed.Using this method to predict the data samples from non-isochronous， they belong to three different fields. The results show that： the proposed algorithm can more accurately predict the samples from non-equal interval， and simple， the accuracy of the predicted values are also higher than the literature. In the project， the proposed algorithm is more practical， and can be used in a variety of engineering fields.

Key words： non-equal interval； gray model； cubic spline interpolation； accuracy of the model

20世紀(jì)80年代，鄧聚龍?zhí)岢龌疑到y(tǒng)理論，該理論是一種研究少數(shù)據(jù)、貧信息和不確定性問題的新方法[1]，已被廣泛應(yīng)用于工程控制、社會生態(tài)、管理、農(nóng)業(yè)等領(lǐng)域的評價中。經(jīng)典的GM（1，1）模型是以等時距序列為基礎(chǔ)的，但在實際中，監(jiān)測得到的樣本是非等時距的。在利用灰色模型對其進(jìn)行預(yù)測研究時，主要有兩種思路：①對灰色模型進(jìn)行改進(jìn)，構(gòu)造非等時距的灰色模型[2-7]；②采用插值方法對非等時距樣本進(jìn)行處理，然后利用灰色模型進(jìn)行預(yù)測研究。本研究選擇三次樣條插值算法與非等時距灰色模型結(jié)合，對非等時距樣本進(jìn)行預(yù)測，并與實測值和文獻(xiàn)采用的方法進(jìn)行對比分析。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 采用三次樣條插值算法處理原始樣本

樣條插值可以使用低階多項式，避免了使用高階多項式所出現(xiàn)的龍格現(xiàn)象。三次樣條插值（簡稱Spline插值）是通過一系列形值點的一條光滑曲線，在數(shù)學(xué)上是通過求解三彎矩方程組得出曲線函數(shù)組的過程。三次樣條插值具有二階光滑度，在工程上應(yīng)用比較廣泛。其具體定義如下：函數(shù)S（x）∈C2[a，b]，在每個小區(qū)間[xj，xj+1]是三次多項式，其中a=x0

采用三次樣條插值算法，對非等時距樣本進(jìn)行處理即選擇合適的時間間隔，采用三次樣條插值算法，將原始樣本處理為等時距的樣本。由于該算法的收斂性和誤差估計有著嚴(yán)格的理論依據(jù)，故將處理后的樣本作為新的原始樣本而產(chǎn)生的誤差，對預(yù)測計算精度的影響是可控的。

1.2 級比檢驗

1.3 GM（1，1）建模

模型精度p越大預(yù)測精度越高，后驗差比值C越小預(yù)測誤差的離散型越小。一般根據(jù)p和C，將預(yù)測精度分為4級，如表1所示。

3 實例驗證

3.1 實例一

文獻(xiàn)[5]對某防洪大堤施工階段部分沉降數(shù)據(jù)進(jìn)行了預(yù)測。本研究利用該數(shù)據(jù)，采用文中提出的簡單組合算法進(jìn)行預(yù)測，并與文獻(xiàn)算法結(jié)果進(jìn)行對比分析，結(jié)果如表2所示。

由表2可知，與文獻(xiàn)算法預(yù)測值相比，本研究算法的模型精度為0.985 4，后殘差比值為0.000 3。該模型精度為1級，并且預(yù)測值的平均相對誤差也較小。

3.2 實例二

文獻(xiàn)[7]構(gòu)造非等時距加權(quán)灰色模型與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合算法，對軌道不平順進(jìn)行預(yù)測研究。根據(jù)文獻(xiàn)實測數(shù)據(jù)，采用本研究算法對其預(yù)測，與實測值和文獻(xiàn)[7]預(yù)測結(jié)果進(jìn)行對比分析，結(jié)果如表3所示。

由表3可知，與文獻(xiàn)算法預(yù)測值相比，本研究算法的模型精度為0.983，后殘差比值為0.147 4。該模型精度為1級，并且預(yù)測值的平均相對誤差也較小。

3.3 實例三

文獻(xiàn)[10]采用4種算法進(jìn)行預(yù)測、對比，其中支持向量回歸機(jī)（SVR）算法的模擬、預(yù)測精度最高，其次是BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法。采用本研究構(gòu)造的算法對樣本進(jìn)行模擬，并將預(yù)測值與文獻(xiàn)[10]中兩種算法的預(yù)測值進(jìn)行對比，結(jié)果如表4所示。

由表4可知，本研究算法計算的平均相對誤差最小。SVR算法的預(yù)測值的p=0.98，C=0.0918；BP算法的預(yù)測值的p=0.97，C=0.1019；本研究算法的預(yù)測值的p=0.99，C=0.0492。該模型精度為1級。

4 小結(jié)

對工程中采用非等時距樣本進(jìn)行高效的預(yù)測是非常重要的。本研究對其預(yù)測的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了研究，考慮到工程中需要簡單易行、精度高的算法，提出基于傳統(tǒng)灰色模型和三次樣條插值的組合算法，對3個不同領(lǐng)域的非等時距的數(shù)據(jù)樣本進(jìn)行預(yù)測，并將結(jié)果與實測值和文獻(xiàn)算法得到的預(yù)測值進(jìn)行對比分析。結(jié)果表明，本研究提出的組合算法簡單易行，模型精度為1級，算法預(yù)測值的精度高于文獻(xiàn)中的算法。故對于工程而言，本研究算法更實用，且能應(yīng)用于多種領(lǐng)域。

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（責(zé)任編輯 屠 晶）