小波濾波在變形分析中的應(yīng)用

王亞賓

摘要：受儀器精度、測量環(huán)境等影響，監(jiān)測成果經(jīng)常含有噪聲甚至粗差，不利于穩(wěn)定性判斷或變形分析。本文利用小波濾波對變形數(shù)據(jù)進行濾波處理，并采用能量比（SER）與噪聲模（NM）以及光滑性和相似性等準則進行濾波效果評價，得到了較好的效果。

關(guān)鍵詞：變形監(jiān)測；變形分析；小波濾波；濾波效果評價；GPS測量

1.概述

濾波是將信號中特定波段頻率濾除去的操作，是抑制和防止干擾的一項重要措施；也是根據(jù)觀察某一隨機過程的結(jié)果，對另一與之有關(guān)的隨機過程進行估計的概率理論與方法。變形分析中的濾波簡單之即為剔除或減少觀測數(shù)據(jù)中的噪聲（誤差），獲取較為真實的變形過程。

由于小波具有良好的“時間（空間）-頻率”特性，它被廣泛地應(yīng)用于信號處理、圖像處理、量子場論、地震勘測、話音識別與合成、音樂、雷達、CT成像、彩色復(fù)印、流體湍流、天體識別、機器視覺、機械故障診斷與監(jiān)控、分形及數(shù)字電視等科技領(lǐng)域。在小波分析中，應(yīng)用最廣泛的無疑是信號處理和圖像處理，而在這兩個領(lǐng)域應(yīng)用最多的就是信號（圖像）濾波后和壓縮。由于正交小波中，正交基的選取比傳統(tǒng)方法更接近實際信號本身，所以通過小波變換可以更容易地分離出噪聲或其他我們不需要的信息，因此在這類應(yīng)用中小波分析有著傳統(tǒng)分析方法無可比擬的優(yōu)勢。

圖1顯示了小波濾波和粗差探測的效果，a是一個被加性白噪聲污染的信號，b為其對應(yīng)的濾波后的信號；c是在a中的第400個分量模擬了一個粗差，d為其對應(yīng)的濾波后信號。從該圖可以看出，利用小波分析不僅能很好的分離出噪聲，而且能夠準確地探測出粗差。

對于離散的觀測序列值（信號），如各種變形監(jiān)測點的離散觀測序列，由于受觀測環(huán)境、儀器精度等影響，也可能存在噪聲甚至粗差，可利用小波變換對這類信號進行濾波分析，以剔除噪聲并探測粗差。

2.小波濾波

2.1小波濾波方法

小波分析以小波變換為基礎(chǔ)。與傅里葉變換（基均為正弦函數(shù)）不同的是，小波變換的基不是唯一的，所有滿足小波條件的函數(shù)都可以作為小波函數(shù)。常用的小波函數(shù)（或變換）有Haar小波、Daubechies小波、SymletsA（symN）小波系等。圖2和圖3分別表示了信號與噪聲的離散小波變換；其中，最上方分別為某信號f和高斯白噪聲g，往下依次是在四個尺度上對應(yīng)的小波變換。比較兩圖，可以看出：信號的小波系數(shù)在每個尺度上都有反映，而噪聲的能量卻集中在小尺度上，其小波系數(shù)的幅值隨著尺度的增加而迅速衰減。

小波濾波，就是利用具體問題的先驗知識，根據(jù)信號和噪聲的小波系數(shù)在不同尺度上具有不同性質(zhì)的機理，構(gòu)造相應(yīng)規(guī)則，在小波域采用一定的數(shù)學(xué)方法對含噪信號的小波系數(shù)進行處理。處理的實質(zhì)在于減小甚至完全剔除由噪聲產(chǎn)生的系數(shù)，同時最大限度地保留真實信號的系數(shù)，最后由經(jīng)過處理的小波系數(shù)重構(gòu)原信號，得到真實信號的最優(yōu)估計。其中，“最優(yōu)”是依賴于應(yīng)用的要求。

由于信號和噪聲在不同尺度上有不同的特征表現(xiàn)，基于這一原理，發(fā)展出了不同的濾波方法，主要有模極大值重構(gòu)濾波、空域相關(guān)濾波和小波閾值濾波等，近年來基于提升小波理論發(fā)展而來的提升小波濾波方法也得到了較多的應(yīng)用。不同的濾波方法具有不同的特點，適應(yīng)的信號也不盡相同，表1為上述濾波方法的定性比較，實際應(yīng)用時可根據(jù)信號特點進行靈活選擇。

2.2小波濾波效果的評價

小波濾波方法很多，如何評價濾波的效果，是濾波分析的一個重要環(huán)節(jié)。常用的評價方法包括：均方根誤差（RMS，即濾波后信號與原信號較差即噪聲的均方根，簡稱均方根誤差，反映了濾波后信號與原信號間的相似程度）、信號偏差（BLAS，為濾波后信號與原信號之間的偏差，其實質(zhì)是噪聲的算術(shù)平均值）、信噪比（SNR，濾波后信號能量與噪聲能量的比值）和信噪比增益（GSNR，濾波后的信噪比與濾波前的原信噪比的比值）。

均方根誤差RMS、信號偏差BLAS、信噪比SNR和信噪比增益GSNR都是從噪聲的角度來評價濾波的效果，其中均方根誤差RMS和信號偏差BLAS是直接考慮噪聲本身，而信噪比SNR和信噪比增益GSNR是根據(jù)噪聲與信號的能量比及其變化。由于噪聲的未知性，使用這些方法就難以對濾波效果作出正確的評價。為此，針對變形監(jiān)測數(shù)據(jù)特點，筆者提出以下評價指標：

（1）信號能量比（SER）與噪聲模（NM）：濾波后信號能量與原信號能量之比，它反映了濾波后信號與原信號間的相似程度；噪聲模即噪聲的模或能量，它反映了“噪聲”的總體水平。

（2）光滑性與相似性：光滑性和相似性是信號濾波后的兩條重要準則。其中光滑性是指大部分情況下，濾波后信號應(yīng)該至少和原信號具有同等的光滑性；相似性是指濾波后信號和原信號較差的方差估計應(yīng)該在最壞情況下的最小。光滑性一般可通過濾波前后的信號曲線直接判斷；相似性在計算上比較困難，一般也可通過比較濾波前后的曲線進行判斷，要求濾波后信號曲線要整體上保持與原信號相同的特點：信號過程、信號強度、信號趨勢，以及信號的特征點（如拐點）等。

信號能量比SER可按測量中通用的3σ（或2σ）原則進行評價，即SER>99.7%（或95.0%）時，認為濾去的都是噪聲；換言之，從能量的角度，可認為噪聲為小概率事件。以此為前提，認為剔除的噪聲越多越好，即NM值越大越好。噪聲模NM還通過以下方式進行定量檢查：

設(shè)f=f（i）（i=1，2，…，n）為由n個測量值組成的信號序列，其測量誤差為σ0，由誤差傳播率，該信號序列的誤差為σ=mσ0n（m=1，2，3，…），以此為限差，可對噪聲模NM進行定量檢查。

因此，信號能量比SER和噪聲模NM都具有實際意義，并且都能從定量的角度進行檢查。信號能量比和噪聲模是從定量的角度來評價濾波效果，而相似性和光滑性兩條準則是從圖形的角度來評價濾波效果，是一種定性的方法，將這兩者結(jié)合起來，就形成了從定性到定量、從信號到噪聲的全面、綜合的濾波效果評價方法。

3.應(yīng)用分析

（1）應(yīng)用一

某邊坡布設(shè)有AL02C、AL03C和TP01～TP11共13個監(jiān)測點，平面監(jiān)測精度為9mm。利用sym4小波對其中的3個點TP01～TP03累計40期平面監(jiān)測數(shù)據(jù)進行濾波分析，分析結(jié)果如圖4所示，對應(yīng)的指標值如表2所示。

從表2可以看出，濾波后的信號能量比（SER）很高，幾乎都達100%，而噪聲模（NM）都較小。再結(jié)合圖4，濾波后的曲線不僅很好地滿足相似性和光滑性兩條準則，而且特征點（拐點）更突出，可以很清晰的看出變形過程和變形趨勢。

圖5為采用提升小波對TP01的濾波結(jié)果。比較圖4和圖5，可以發(fā)現(xiàn)，提升小波具有和傳統(tǒng)小波相同的濾波功能，且濾去的“噪聲”更多，濾波后的曲線更為光滑。以監(jiān)測精度σ=9mm為限差，即較差小于σ的即認為是“噪聲”，由圖5，TP01濾去的噪聲均在±4mm以內(nèi)，遠小于監(jiān)測精度，因此，可以認為濾去的都為“噪聲”。

（2）應(yīng)用二

圖6是針對某邊坡大地高進行濾波生成的變形過程線對照圖，表3為其對應(yīng)的SER值。受測量環(huán)境、大地高測量精度等影響，大地高成果反映出的垂直位移過程線波動較大且趨勢不明顯；但濾波后的過程線不僅與原信號保持了較高的相似性（SER值均>95.0%），且直觀地反映出各監(jiān)測點的變形態(tài)勢，即：各監(jiān)測點大地高從首期觀測至第7期復(fù)測無明顯變化（垂直方向基本穩(wěn)定），且累計變化值在±10mm范圍內(nèi)；第7期至第11次復(fù)測期間，各監(jiān)測點大地高逐步增大（垂直方向緩慢抬升），最大抬升約17mm；第11期至第15期復(fù)測期間，各監(jiān)測點大地高逐步減小（垂直方向逐步下沉）；第15期復(fù)測以后，各監(jiān)測點大地高又基本無變化（垂直方向趨于穩(wěn)定）。

根據(jù)上述分析，采用濾波方法對監(jiān)測數(shù)據(jù)進行處理，獲取的變形過程線不僅光滑性好，且保持了與原始過程線一致的趨勢特征；利用濾波后的過程線，可以更直觀、準確地判斷監(jiān)測點的變形態(tài)勢（變形趨勢、量級等信息）。

4.總結(jié)

受儀器精度、測量環(huán)境等影響，監(jiān)測成果經(jīng)常含有噪聲甚至粗差，不利于進行變形態(tài)勢評定或穩(wěn)定性分析。采用濾波方法對監(jiān)測數(shù)據(jù)進行去噪處理，可以獲取“干凈”的變形信息，以助于直觀、準確判斷變形態(tài)勢，且可有助于建立準確的數(shù)學(xué)模型以進行深入的變形分析，如聚類分析、回歸分析、變形預(yù)報等。

本文利用小波濾波對變形數(shù)據(jù)進行濾波處理，并采用能量比與噪聲模（NM）以及光滑性與相似性等準則進行濾波效果的綜合評價，得到了較好的效果，可為監(jiān)測數(shù)據(jù)尤其是測量精度較低、測量環(huán)境復(fù)雜的監(jiān)測數(shù)據(jù)分析提供參考。

參考文獻：

[1]鄧勇.滑坡變形分析與預(yù)報現(xiàn)代方法的研究.武漢大學(xué)博士學(xué)位論文，2008.6

[2]陳永奇等.變形監(jiān)測分析與預(yù)報.北京：測繪出版社，1997

[3]吳子安.工程建筑物變形觀測數(shù)據(jù)處理.北京：測繪出版社，1989

[4]黃聲享，尹暉，蔣征.變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理.武漢：武漢大學(xué)出版社，2004.7

[5]尹暉.變形分析與預(yù)報方法綜述.東北測繪，2000.1