基于擴展Kalman濾波的水庫水量預(yù)報研究

李建華，張 坡，邢棣堂

(山西省澮河水庫管理局，山西臨汾 043400)

1 澮河水庫概況

澮河水庫是一座具有灌溉、防洪、養(yǎng)殖、旅游等綜合利用功能的中型水庫。下游保護著曲沃縣、侯馬市的五個鄉(xiāng)鎮(zhèn)五萬畝良田和十五萬余人口的安全，以及澮河二庫、南同蒲鐵路大橋、大運高速公路、大運公路、侯馬502廠、新降紡紗廠等企業(yè)設(shè)施的安全。水庫建庫以來為曲沃、侯馬兩縣市供水達13億m3，對兩縣市的工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，以及保障下游人民群眾的生命財產(chǎn)安全等作出了巨大的貢獻。澮河水庫防洪標準為100年一遇洪水設(shè)計，1000年一遇洪水校核。100年一遇洪水起調(diào)水位481.70m，最高洪水位為485.07m，相應(yīng)庫容為7728.14萬m3。1000年一遇洪水起調(diào)水位為481.70m，最高洪水位為488.84m，相應(yīng)庫容為10336萬m3，低于大壩壩頂1.02m，低于防浪墻頂2.22m。目前澮河水庫在汛期由專人負責收看每日電視氣象分析并及時記錄，專人接收上游大交水文站傳汛，但水庫的入庫洪水過程目前還無法提前確定，沒有入庫洪水預(yù)報，這是影響澮河水庫洪水調(diào)度的首要問題。由于流域?qū)崪y資料有限，對水庫而言，入庫洪量是重要的調(diào)度指標，這里研究基于擴展卡爾曼濾波技術(shù)的澮河水庫洪量預(yù)報方法，旨在提高水庫洪量預(yù)報的精度，為澮河水庫防洪調(diào)度提供科學(xué)依據(jù)。

2 擴展Kalman濾波方法

R．E．Kalman在1960年對離散數(shù)據(jù)的線性濾波遞歸解法做了描述(即卡爾曼濾波方法)，之后卡爾曼濾波方法逐步得到完善，并成為現(xiàn)代控制理論研究歷史上一個新時代的標志。卡爾曼濾波技術(shù)在彈道計算、導(dǎo)航、制導(dǎo)、工業(yè)及自動化等很多領(lǐng)域得到大量的應(yīng)用。

卡爾曼濾波能根據(jù)觀測數(shù)據(jù)對線性系統(tǒng)狀態(tài)矢量進行更新，它對觀測數(shù)據(jù)不斷吸收以便使狀態(tài)矢量和真實模型不斷接近。在一些非線性系統(tǒng)的實際應(yīng)用中，引進了卡爾曼濾波變形的形式(如:擴展卡爾曼濾波等)，使其實際應(yīng)用得到拓展，其中擴展卡爾曼濾波方法把非線性系統(tǒng)變換為近似的線性系統(tǒng)［3］，從而使卡爾曼濾波擴大了實際應(yīng)用范圍。

卡爾曼濾波方法中假設(shè)洪水預(yù)報系統(tǒng)(含觀測算子、預(yù)報模式)是線性的，誤差為白色高斯型的噪音，把第n個時刻真實的狀態(tài)變量定義為，預(yù)報模式設(shè)為M，設(shè)為第n－1個時刻到第n個時刻的模式誤差，則第n個時刻真實的狀態(tài)變量可寫為:

可從前一次估計的狀態(tài)變量中通過模式預(yù)報得到背景場(先驗信息):

那么:

式(6)中K為增益矩陣，是一個待定系數(shù)。

這里假設(shè)背景場的誤差與模式的誤差不相關(guān)，Bn為第n個時刻背景場誤差的協(xié)方差，An為分析誤差的協(xié)方差，On為觀測誤差的協(xié)方差，Qn為模式誤差的協(xié)方差，則第n個時刻洪水預(yù)報狀態(tài)變量的誤差協(xié)方差為:

同樣再假設(shè)背景場誤差與觀測誤差也不相關(guān)，則第n個時刻洪水預(yù)報系統(tǒng)分析誤差的協(xié)方差為:

因為卡爾曼濾波的最優(yōu)標準是分析誤差的最小方差，可以找出一個增益矩陣K使分析誤差的方差達到最小，最終得出卡爾曼濾波分析公式，其方差元素為協(xié)方差矩陣對角線的元素，協(xié)方差矩陣An的方差記作Tr(An)，則:

式(10)可作為K的函數(shù)，由于協(xié)方差矩陣為正定矩陣，則等式的右端一階導(dǎo)數(shù)為零時 Tr(An)達到最小:

所以有:

則原分析誤差的協(xié)方差為:

An=(I－KH)Bn(13)

前面介紹的卡爾曼濾波中假設(shè)洪水預(yù)報系統(tǒng)(含預(yù)報模式、觀測算子)為線性的計算流程，而洪水預(yù)報模式實質(zhì)上是非線性的，觀測算子一般也是非線性的，針對非線性的洪水預(yù)報問題，提出了擴展卡爾曼濾波，可以把非線性模式的預(yù)報方程寫為:

xn=Mn－1(xn－1)+ ηn－1(14)

其中 Mn－1(xn－1)≡ Mn，n－1(xn－1)可能非線性地依賴于xn－1，它表示了系統(tǒng)狀態(tài)從時間tn－1到時間tn的轉(zhuǎn)移算符，把非線性觀測預(yù)報的模式寫為:

式(15)中的Hn(xn)非線性地依賴于xn，這樣，擴展卡爾曼濾波就把預(yù)報方程、分析方程分別寫為:

擴展卡爾曼濾波的預(yù)報模式是非線性模式，在預(yù)報誤差的協(xié)方差矩陣演變方程中擴展卡爾曼濾波使用了切線性模式。

3 擴展Kalman濾波模型試驗研究

由于澮河水庫的入庫洪水實時數(shù)據(jù)有限，這里開展利用水庫的日平均水位轉(zhuǎn)換為水量并考慮下泄水量進行預(yù)報的水量校正試驗。面平均雨量選用翼城站降水、續(xù)魯峪降水、河沄站降水資料，時間選擇1982年的7月1日～8月31日。試驗結(jié)果如下圖所示。

1982年澮河水庫逐日實際水量與預(yù)報水量對比圖

分析澮河水庫1982年入庫水量預(yù)報成果:實際最大庫水量為1621萬m3，預(yù)報最大庫水量為1636.2萬m3，峰值絕對誤差為15.2萬m3，平均絕對誤差為27.1萬m3，確定性系數(shù)為0.9625，參考《水文情報預(yù)報規(guī)范》，試驗預(yù)報結(jié)果等級達到甲級，預(yù)報取得一定效果。

4 結(jié)論

在水庫水量預(yù)報中應(yīng)用實時校正技術(shù)是當前的發(fā)展趨勢。實時校正技術(shù)是通過多種實測數(shù)據(jù)不斷更新計算結(jié)果，準確表述系統(tǒng)狀態(tài)的有效方法，也是一種有效的水庫水量預(yù)報方法，這種方法能在物理學(xué)或動力學(xué)方面為水庫水量預(yù)報提供有效的數(shù)據(jù)分析。本文對澮河水庫進行水量預(yù)報試驗，表明應(yīng)用擴展Kalman濾波方法進行實時校正的水庫水量預(yù)報可以有效提高水庫水量預(yù)報的精度。■

［1］ Kalman R E．A new approach to linear filtering and prediction theory［J］．Journal of Basic Engineering，1960，82D:35-46．

［2］ 李江，楊慧中．一種基于擴展Kalman濾波器的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)算法［J］．東南大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2004，(34):230-233．