基于擴展Kalman濾波的水庫水量預報研究

李建華，張 坡，邢棣堂

(山西省澮河水庫管理局，山西臨汾 043400)

1 澮河水庫概況

澮河水庫是一座具有灌溉、防洪、養殖、旅游等綜合利用功能的中型水庫。下游保護著曲沃縣、侯馬市的五個鄉鎮五萬畝良田和十五萬余人口的安全，以及澮河二庫、南同蒲鐵路大橋、大運高速公路、大運公路、侯馬502廠、新降紡紗廠等企業設施的安全。水庫建庫以來為曲沃、侯馬兩縣市供水達13億m3，對兩縣市的工農業生產，以及保障下游人民群眾的生命財產安全等作出了巨大的貢獻。澮河水庫防洪標準為100年一遇洪水設計，1000年一遇洪水校核。100年一遇洪水起調水位481.70m，最高洪水位為485.07m，相應庫容為7728.14萬m3。1000年一遇洪水起調水位為481.70m，最高洪水位為488.84m，相應庫容為10336萬m3，低于大壩壩頂1.02m，低于防浪墻頂2.22m。目前澮河水庫在汛期由專人負責收看每日電視氣象分析并及時記錄，專人接收上游大交水文站傳汛，但水庫的入庫洪水過程目前還無法提前確定，沒有入庫洪水預報，這是影響澮河水庫洪水調度的首要問題。由于流域實測資料有限，對水庫而言，入庫洪量是重要的調度指標，這里研究基于擴展卡爾曼濾波技術的澮河水庫洪量預報方法，旨在提高水庫洪量預報的精度，為澮河水庫防洪調度提供科學依據。

2 擴展Kalman濾波方法

R．E．Kalman在1960年對離散數據的線性濾波遞歸解法做了描述(即卡爾曼濾波方法)，之后卡爾曼濾波方法逐步得到完善，并成為現代控制理論研究歷史上一個新時代的標志。卡爾曼濾波技術在彈道計算、導航、制導、工業及自動化等很多領域得到大量的應用。

卡爾曼濾波能根據觀測數據對線性系統狀態矢量進行更新，它對觀測數據不斷吸收以便使狀態矢量和真實模型不斷接近。在一些非線性系統的實際應用中，引進了卡爾曼濾波變形的形式(如:擴展卡爾曼濾波等)，使其實際應用得到拓展，其中擴展卡爾曼濾波方法把非線性系統變換為近似的線性系統［3］，從而使卡爾曼濾波擴大了實際應用范圍。

卡爾曼濾波方法中假設洪水預報系統(含觀測算子、預報模式)是線性的，誤差為白色高斯型的噪音，把第n個時刻真實的狀態變量定義為，預報模式設為M，設為第n－1個時刻到第n個時刻的模式誤差，則第n個時刻真實的狀態變量可寫為:

可從前一次估計的狀態變量中通過模式預報得到背景場(先驗信息):

那么:

式(6)中K為增益矩陣，是一個待定系數。

這里假設背景場的誤差與模式的誤差不相關，Bn為第n個時刻背景場誤差的協方差，An為分析誤差的協方差，On為觀測誤差的協方差，Qn為模式誤差的協方差，則第n個時刻洪水預報狀態變量的誤差協方差為:

同樣再假設背景場誤差與觀測誤差也不相關，則第n個時刻洪水預報系統分析誤差的協方差為:

因為卡爾曼濾波的最優標準是分析誤差的最小方差，可以找出一個增益矩陣K使分析誤差的方差達到最小，最終得出卡爾曼濾波分析公式，其方差元素為協方差矩陣對角線的元素，協方差矩陣An的方差記作Tr(An)，則:

式(10)可作為K的函數，由于協方差矩陣為正定矩陣，則等式的右端一階導數為零時 Tr(An)達到最小:

所以有:

則原分析誤差的協方差為:

An=(I－KH)Bn(13)

前面介紹的卡爾曼濾波中假設洪水預報系統(含預報模式、觀測算子)為線性的計算流程，而洪水預報模式實質上是非線性的，觀測算子一般也是非線性的，針對非線性的洪水預報問題，提出了擴展卡爾曼濾波，可以把非線性模式的預報方程寫為:

xn=Mn－1(xn－1)+ ηn－1(14)

其中 Mn－1(xn－1)≡ Mn，n－1(xn－1)可能非線性地依賴于xn－1，它表示了系統狀態從時間tn－1到時間tn的轉移算符，把非線性觀測預報的模式寫為:

式(15)中的Hn(xn)非線性地依賴于xn，這樣，擴展卡爾曼濾波就把預報方程、分析方程分別寫為:

擴展卡爾曼濾波的預報模式是非線性模式，在預報誤差的協方差矩陣演變方程中擴展卡爾曼濾波使用了切線性模式。

3 擴展Kalman濾波模型試驗研究

由于澮河水庫的入庫洪水實時數據有限，這里開展利用水庫的日平均水位轉換為水量并考慮下泄水量進行預報的水量校正試驗。面平均雨量選用翼城站降水、續魯峪降水、河沄站降水資料，時間選擇1982年的7月1日～8月31日。試驗結果如下圖所示。

1982年澮河水庫逐日實際水量與預報水量對比圖

分析澮河水庫1982年入庫水量預報成果:實際最大庫水量為1621萬m3，預報最大庫水量為1636.2萬m3，峰值絕對誤差為15.2萬m3，平均絕對誤差為27.1萬m3，確定性系數為0.9625，參考《水文情報預報規范》，試驗預報結果等級達到甲級，預報取得一定效果。

4 結論

在水庫水量預報中應用實時校正技術是當前的發展趨勢。實時校正技術是通過多種實測數據不斷更新計算結果，準確表述系統狀態的有效方法，也是一種有效的水庫水量預報方法，這種方法能在物理學或動力學方面為水庫水量預報提供有效的數據分析。本文對澮河水庫進行水量預報試驗，表明應用擴展Kalman濾波方法進行實時校正的水庫水量預報可以有效提高水庫水量預報的精度。■

［1］ Kalman R E．A new approach to linear filtering and prediction theory［J］．Journal of Basic Engineering，1960，82D:35-46．

［2］ 李江，楊慧中．一種基于擴展Kalman濾波器的神經網絡學習算法［J］．東南大學學報(自然科學版)，2004，(34):230-233．