開放題問題解決的契機與實施
——以小學數學教學為例

◆江蘇省泰興市襟江小學 蔡文平 李海東

開放題問題解決的契機與實施
——以小學數學教學為例

◆江蘇省泰興市襟江小學 蔡文平 李海東

問題解決是學校數學教學的核心。培養學生在數學開放題中的問題解決能力需要教師根據各種開放題的特征，準確把握契機，才能事半功倍；實施開放題問題解決時，教師要努力做到：解讀文本信息，整體規劃思路；遵循認知規律，逐層推進研究；強化彼此關聯，達成能效最優。

開放題；問題解決； 契機 ；實施

全美數學教師協會（NCTM）認為，問題解決是學校數學教學的核心，學生在問題解決方面的成績是衡量學校數學教育成敗的有效標準。以問題解決為旗幟的數學教學改革由此揭開了序幕，并在各國數學教育中占有了重要位置。我國的《義務教育數學課程標準》對問題解決的具體教學目標是“初步學會從數學的角度發現問題和提出問題，綜合運用數學知識解決簡單的實際問題，增強應用意識，提高實踐能力；獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣性，發展創新意識；學會與他人合作交流；初步形成評價與反思的意識”。對照問題解決目標，我們有必要加強對問題解決的認識和實踐。現以小學數學教學中的開放題為例，談談開放題問題解決的契機與實施。

一、數學開放題問題解決的契機

數學開放題就是“具有多種不同的解法或者有多種可能的解答的問題”。從學生學習行為的表現形式看，開放題可以分為操作型開放題、表現型開放題、陳述型開放題和綜合型開放題等。數學開放題問題解決就是“以適應客觀世界運動變化之需要為目的的辯證的動態思維過程”。其問題是指學生“綜合地、創造性地應用各種數學知識去解決那些并非單純練習題形式的問題，包括實際問題和源于數學內部的問題”。不同的開放題，問題解決的契機也各不相同。

所謂操作型開放題，就是考查學生動手技能的開放題，如數學實驗等。數學實驗操作是一種定向的心智活動，其方向決定于教學目標，其過程和結果要有利于揭示實驗過程中知識間的內在聯系。如教學蘇教版六年級上冊“百分數”時，教材中有這樣一道開放題：在一個盤子里鋪幾層濾紙或紗布，噴灑適量的水，并均勻地鋪上50粒黃豆或蠶豆種子做發芽試驗。每天記錄發芽的種子數，7天后算出發芽率。問題解決的契機可以在學生學習這道題時進行操作，也可以由教師提前布置（學生學百分數之前就可以開始實驗，也可以在不同季節進行實驗操作，以便不同季節的發芽率等）。不同契機的操作，不同的操作對象，實驗結果未必完全一致。

所謂表現型開放題，就是考查學生的口頭表達能力與交流溝通能力的開放題，如編數學故事等。天才數學家阿貝爾（近世代數的開山鼻祖）認為，很多問題因為沒有好的表述，導致看起來很難，其實不過如此。換句話說，教師如果要幫助學生理解并掌握數學概念，可以設計表現型開放題讓學生進行問題解決，以便既培養學生的表達能力，又幫助學生進一步把數學概念更加數學化、具體化和形象化。教學“方程的意義”時，學生認識了方程的意義后，教師可以出示方程3x=24，讓學生根據方程編數學故事，學生可以根據自己的生活經驗和知識經驗編出各種不同的數學故事，其問題解決的契機是學生學習了相關內容尚未完全理解和掌握時。應用表現型開放題一方面能幫助學生強化對方程式概念的理解，另一方面能幫助學生提升語言表達能力和交流溝通能力。

所謂陳述型開放題，就是考查學生綜合處理信息能力與書面表達能力的開放題，如數學小論文、數學小調查等。蘇教版教材中有很多小調查需要學生借助書面陳述才能實現問題解決，其契機就是學生調查后如實寫出自己的體會。如蘇教版六年級上冊“算出它們的普及率”就需要學生對擁有電話和電腦的家庭數進行調查，整理并計算，最后寫出調查體會。這樣的開放性問題需要學生把自己調查后的感想概要寫下來，雖然不是面面俱到，但需要學生根據調查結果和體會進行分析問題、提出問題和解決問題，從而使學生在問題解決過程中形成敏銳的觀察力、綜合處理信息的能力和書面表達能力，從而增強創新意識，提高創新能力。

所謂綜合型開放題，就是考查學生綜合應用信息解決實際問題能力的開放題，如論述題等。這類開放題需要學生對題目給出的幾種方案做出合理選擇，從而得出一種最優化方案。問題解決的關鍵是通過對開放題的信息進行全面分析，綜合比較，判斷優劣，從中尋得適合題意的最優方案。如“我們一起去游園”中，某班有學生48人，準備一起坐汽車去游園，可以租的汽車有兩種：一種汽車每輛120元，限乘客12人；另一種汽車每輛160元，限乘客18人。可以怎么租車？需要多少錢？這里的方案有幾種，學生需要綜合運用所學知識，并且聯系生活實際考慮，不但能讓所有學生都能一起坐汽車，還能盡量少花錢、不浪費。其問題解決的契機是學生有了相關知識基礎，并且能結合生活經驗進行思考問題，從而達到綜合運用所學知識，理解數學本質。

二、數學開放題問題解決的實施

數學開放題的問題解決教學，需要教師通過創設情境激發學生強烈的求知欲望，使學生能充分體驗和感受分析問題、解決問題的全過程，有效培養學生的應用意識、探索精神和實際操作能力。實施時，學生的主體作用和教師的主導作用要努力做到相輔相成，不可偏廢。

1.解讀文本信息，整體規劃思路

問題解決的基礎是認真進行文本解讀，深入挖掘文本內涵和弄清文本信息。同樣的文本，不同的人有不同的閱讀感受。同樣的文本，不同教師處理的方法也不同。究其原因，就在于各人對文本的解讀不同。文本解讀應真正體現以人為本。解讀文本信息，教師要努力從學生角度對文本作全方位、多層面、立體式的細究與深讀，獲得閱讀體驗后，再從文本中“走出來”，用自己的智慧在學生與文本之間發現一個平衡點，然后從教師角度思考、整體規劃問題解決的思路，實現問題解決的目標。

蘇教版六年級下冊（2014年版）第96頁有這樣一道習題：

倉庫里有以下4種規格的長方形、正方形鐵皮。

①長0.6米，寬0.4米；②長0.6米，寬0.5米；

③長0.5米，寬0.4米；④邊長0.4米。

張師傅想從中選5張鐵皮，焊接成一個無蓋的長方體（或正方體）水箱，可以選哪幾種規格的鐵皮，各要選幾張？你能找到多少種不同的選法？在下表中填一填。

規格① 規格② 規格③ 規格④ 容積/m3選法一選法二選法三選法四

這是一道綜合性數學開放題。解決這個問題，教師首先要讀懂文本中的信息：有4種鐵皮，規格各不相同，要焊的水箱只有5個面，可以是長方體形狀或者正方體形狀的，選擇方法有很多，表中只需要選4種，并要求算出各種選法的容積。文本中的隱藏條件應該是每種鐵皮的張數是足夠的（或者說是可以忽略考慮的）。問題解決的目標應該是通過學生探究發現不同的選法，一方面幫助學生鞏固所學的長方體和正方體知識，另一方面培養學生的空間觀念和發散思維，發展學生的數學綜合素養。根據這個目標，教師應引導學生經歷問題解決的探究過程，使學生在獨立思考、小組交流的基礎上形成各組的方案，最后全班交流形成共識，優化方案，其基本過程是“創設問題情境——確定探究問題——確定解決方案——執行解決方案——總結反思評價”。綱舉目張，有了方案，問題解決就就不會太難。

2.遵循認知規律，逐層推進研究

課堂教學是培養學生問題解決能力的重要途徑，但僅僅通過課堂教學還不夠，還要教師引導學生在具體實踐探索活動中發展與提高。問題解決的實踐探究是學生為解決問題而開展的探究活動，包括資料搜集、實地考察和動手操作等實踐方式。教師在引導學生實施開放題問題解決時，要充分遵循學生的認知規律，才能事半功倍，否則，事倍功半。由于小學生年齡小，思維以形象思維為主，抽象思維還有所欠缺。因此，教師要有的放矢地按照由感性到理性、由具體到抽象的教學思路，引導學生從實物操作開始，從學生已有的生活經驗出發，密切聯系學生的生活實際，為學生提供有趣味的、與生活背景有關的素材，啟發學生思考，逐層推進研究，最終得出結論，達成問題解決的目標，并促進學生把在實際問題解決中所用的數學思維方法，能遷移類推到后續遇到的相關問題中。

在用鐵皮焊水箱的案例中，教師先出示開放題中的鐵皮規格信息，然后引導學生根據這些信息思考，說說自己能發現什么數學問題并且提出來。有的學生提出了“水箱的鐵皮總面積是多少？”的問題；有的學生提出了“水箱的體積是多少？”的問題；有的學生提出了“水箱各條棱的棱長總和是多少？”的問題；有的學生提出了“有幾種焊接方案？”的問題……在此基礎上，筆者出示問題“比一比，誰選的方案最多？”。原來的問題情境變成了一個比賽情境。這樣創設情境，有利于激發學生的探究興趣，而且有助于學生確認自己所要解決的問題，防止浪費時間解決可能根本不存在的問題，還有利于促進學生在情境中思考、探索和合作。果然，學生很快進入問題情境，先獨立分析問題，再解決問題。小組交流時，學生展示了不同的解決方案：有的從形狀方面考慮，先正方體形狀后長方體形狀；有的從不同規格的鐵皮張數考慮，先1種規格，再2種不同規格，后3種不同規格；有的從水箱的面考慮，先考慮底面再考慮側面……全班交流后，所有方案都全了，但體積只有4種可能，分別是0.4×0.4×0.4=0.064（立方米）、0.4×0.4×0.5=0.08（立方米）、0.6×0.4×0.5=0.12（立方米）和0.6× 0.4×0.4=0.96（立方米）。學生為解決問題進行的實踐，是學生通過探究和動手操作逐層研究問題的過程，是發展學生問題解決能力不可忽視的途徑。

3.強化彼此關聯，達成能效最優

現代教學觀認為，學生發展的本質是學生自己通過活動促使自身內部運動的結果，外部作用只能促進學生的自身內部運動，肯定起不了替代作用。因此，學生問題解決能力的發展歸根結底是自我實現的過程。問題解決后，教師要努力引導學生溝通問題解決各環節之間的關聯，力求達成能效最優。這是因為學生是學習主體，也是發展主體，教師的主導作用只有通過學生主體才能發揮作用。也就是說，教師要引導學生反思從發現問題、提出問題到分析問題、解決問題的全過程，進而引導學生評價自己在問題解決過程中的表現。當然，學生反思和評價的目的，不是為了證明自己的方案正確，而是為了對大家提出的所有方案逐一反思和評價，再對方案不斷矯正、不斷優化，以便將來解決類似問題時能使用最優化問題解決的方案。

鐵皮焊水箱的案例中，學生反思時，筆者引導學生先努力回憶自己解決問題的全過程，并對解決問題的每個階段分別進行追問，“我這樣思考有沒有遺漏其他信息？”、“除了這種方法，能不能采用其他方法解決問題？”、“我用的這種方法可不可以進一步變得更簡潔？”……經過這樣追問，學生就能重新回憶起自己經歷問題解決的全過程，從而發現自己的不足，甚至發現解決問題的更好方法。反思和總結過程也是對問題解決能力有所欠缺學生的一次補救，同樣能促進學生問題解決能力的提升。

總之，小學生進行開放題問題解決，不僅需要相關領域的數學知識，而且要能對這些知識進行有意義的組合，這樣才能形成問題解決方案，并從各種解決方案中尋求一種最滿意的方案，在基礎上解決問題，反思整個問題解決過程，從而使問題解決對新課程標準中的相關理念傳播和有效實施起到積極的推動作用。

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社,2011.11.

[2]黃光榮.數學思維,數學教學與問題解決[J].大學數學,2004（4）.

[3]張奠宙,宋乃慶.數學教育概論[M].北京：高等教育出版社, 2004.

[4]鄭毓信.問題解決和數學教育[M].南京：江蘇教育出版社,1994.

[5]張雨強,馮翠典.開放題編制的理論與技術研究[M].上海：華東師范大學出版社,2009.

[6]楊傳岡,徐正洲.小學數學開放題舉一反三[M].江蘇：南京大學出版社,2014.

（組稿：楊傳岡 編輯：胡 璐）

蔡文平，中共黨員，中小學高級教師，江蘇省優秀教育工作者，泰州市學科帶頭人，多次在市基本功比賽中獲一等獎，先后有多篇文章在省級刊物發表；李海東，中小學高級教師，泰州市學科帶頭人，多次在市基本功比賽中獲一等獎，先后有30多篇文章在省級刊物發表。

本文系全國教育科學“十二五”規劃教育部重點課題“數學開放題對小學生思維發展的具體影響評測”研究成果，項目編號：DHA140327。

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1671-0568（2015）34-0088-03