讓你著迷的那些數

石頭

數學，一個多么熟悉的詞，平凡而又美麗。你也許會說：“數學不就是幾個阿拉伯數字嘛，那也談得上美麗？”然而，正是它的簡潔，造就了它的美麗與神奇。它在無形之中讓你的思維變得敏捷，讓你在考慮事情時不再那么偏激，那么單一。

極其完美的完全數

數學中非常稀少而又完美的數是完全數，它只需要滿足一個條件：它的值恰好等于各真因子（除了本身以外的因數）之和。根據定義，我們很容易就找到最小的完全數6。除本身外，能整除6的數有1、2、3，把這些真因子加起來，它們的和正好等于6，即1+2+3=6。

下一個完全數是28，因為1+2+4+7+14=28。我們似乎找到了尋找完全數的方法，那就是通過把某個數因數分解，然后把它的全部真因子相加，從而驗證這個數是不是完全數。當然，方法是沒錯的，可不幸的是，用這個方法尋找完全數是一件很費勁的事情，因為下一個完全數是496，再下一個是8128。看到8128如此大的數，或許你想自信地認為只存在4個完全數，那樣我們就不用再往下驗證了。可是，這時卻有人激動地和你說，他找到了下一個完全數。

大約在公元前500多年，古希臘有位名叫畢達哥拉斯的著名數學家，他年輕時曾多次外出旅行，到過古代的巴比倫、地中海東岸各國和埃及（據一些歷史文獻記載，他很可能還到過印度）。后來，他在故鄉辦了一所學校，課上他總是會把數與圖形聯系起來。例如，他用石子來代表數，1個石子代表1，3個石子代表3等，他還把許多石子擺成一定的形狀。接著，他發現某些數竟然可以擺成“三角形”，于是便把這些自然數叫“三角形數”。

1是第一個三角形數，3是第二個三角形數（1+2=3），6是第三個三角形數（1+2+3=6），10是第四個三角形數（1+2+3+4=10），15是第五個三角形數（1+2+3+4+5=15）……令人驚訝的是，我們任選一個三角形數，將它乘以8再加1，最后總會得到一個平方數。

假設我們取三角形數6，那么我們可以得到6×8+1=49，而49=72。這是怎么回事呢？下面，我們將用算子來進行演示：

如圖，我們要做的就是把算子所擺成的三角形推成直角三角形，并在它的上面加算子，制成一個長方形。接下來，你會發現這個長方形有3×4枚算子，值得注意的是，長比寬多出了一枚算子。這意味著如果把4個這樣的長方形放在一塊，并在中間添加一枚算子，你就會得到下面的圖形：

回文，是文學創作中的一種修辭手法。這種修辭手法講究語言文字的排列技巧，順讀倒讀，流暢自如，給人一種循環往復的情趣。如“霧鎖山頭山鎖霧”和“天連水尾水連天”等詩句，讓人在反復玩味中擊節稱奇，嘆為觀止。在數學中也有類似的回文現象。有這樣一些數，它們無論從左往右讀，還是從右往左讀，都是同一個數，我們稱其為“回文數”。如88、818、8448等都是回文數。

對于回文數，我們可以嘗試著這樣構造：任意一個自然數，加上它的倒序數（它的數字順序倒過來所組成的數），再對所得的和重復這個步驟，經過有限次這樣的加法運算后，我們就能得到一個回文數。

如84+48=132，132+231=363，只經過兩步計算，就得到了回文數363。

又如，95+59=154，154+451=605，605+506=1111，1111也是個回文數。

但并不是所有的自然數通過上述步驟反復計算，最終都會得到一個回文數。如196就是個例外，因為無論你怎么逆加，最終都得不到回文數，據說有人曾用計算機算了10萬步也沒有獲得回文數。

其實，有一些算式也具有類似回文數的特點。如6×21=126，把算式中的“×”和“=”去掉就會得到回文數。更奇妙的是將某些算式的因數交換相乘，也會出現回文現象，如12×42=24×21，把等式兩邊的因數交換位置得42×12=21×24。我們把這些算式叫作“回文算式”。

數一下算子的數目，每個三角形里有6枚算子，因此這個正方形一共有6×8+1=49（枚）算子，也就是72枚算子。如果你有足夠多的算子可以用來演示，你就會發現任何一個奇數的平方數都可以通過三角形數演變而得來。

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